許明堅
[摘 要]在教學(xué)“分數(shù)的意義”的復(fù)習(xí)課時,教師應(yīng)指引學(xué)生通過實踐操作、反思、研究討論等環(huán)節(jié),不斷汲取必需的數(shù)學(xué)知識和技能,積累必備的數(shù)學(xué)思想方法和活動經(jīng)驗。
[關(guān)鍵詞]分數(shù);平均分;單位“1”
[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068(2022)02-0075-03
課程標準中關(guān)于積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的要求,不僅對新授課管用,對復(fù)習(xí)課也同樣有用。即便是在復(fù)習(xí)課中,教師也要將此要求堅決貫徹到底,不能打折扣。筆者仔細揣摩和研究了這個教學(xué)要求,結(jié)合復(fù)習(xí)課“梳理全局”“綜合應(yīng)用”“延展提高”三部曲,以“分數(shù)的意義”復(fù)習(xí)課為例,論述數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的三大策略。
一、連:梳理全局,前后貫通,夯實基本面
【片段一】
師:本學(xué)期我們進一步認識了分數(shù),現(xiàn)在再度與分數(shù)相逢,你有哪些新的收獲?
(學(xué)生討論分數(shù)的意義、分數(shù)的分類、分數(shù)單位的區(qū)別、分數(shù)與小數(shù)的關(guān)系)
師:咱們先從分數(shù)的意義切入,請講一講分數(shù)的基本意義。
(教師板書:將單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分數(shù))
師(出示課后練習(xí)第1題,見圖1):分數(shù)不但可以用圖形的涂色部分來表示,還可以用數(shù)軸上的點來表示。你能將這些分數(shù)進行分類嗎?
生1:我將這些分數(shù)分別與單位“1”比較,將分數(shù)劃分為真分數(shù)和假分數(shù)兩大類。真分數(shù)就是分子小于分母的分數(shù),其分數(shù)值小于1,反映到數(shù)軸上就排布在0和1之間,即真分數(shù)都比1小;假分數(shù)的分子大于或等于分母,假分數(shù)大于或等于1。
(教師板書:真分數(shù)<1≤假分數(shù))
師(出示課本例題與課后練習(xí)第2題與數(shù)軸):[15]處于數(shù)軸的什么位置呢?[23] 、[112] 、[54]呢?
生2:像[54]這樣的假分數(shù),可以按照一定的方法將它化成整數(shù)或者帶分數(shù),然后在數(shù)軸上找出它的位置。
師:這些分數(shù)的數(shù)值各不相同,那它們的分數(shù)單位是一致的嗎?請說一說它們的分數(shù)單位分別是什么。為何有的分數(shù)單位相同,有的不同?到底是什么決定了分數(shù)的分數(shù)單位?如果把單位“1”平均分成n份,那么無論取多少份,所得到的分數(shù)的分數(shù)單位都是[1n]。分數(shù)[52]還能用其他得到的數(shù)來表示嗎?
生3:可以,[52]=2.5。用分數(shù)的分子除以分母,計算出結(jié)果,就能得到相應(yīng)的小數(shù)。
師:剛才你們運用除法將分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù),那分數(shù)與除法之間有什么關(guān)系?[板書:[ab]=a[÷]b(b≠0)]現(xiàn)在,數(shù)軸上既有分數(shù)也有整數(shù)和小數(shù),這些數(shù)都有自己的計數(shù)單位,請你們說一說1.25、2.5、3的計數(shù)單位分別是什么,并在數(shù)軸上標出它們的位置。(學(xué)生給出的答案見圖2)
師:數(shù)軸上的一個點,倘若用分數(shù)[15]刻畫,這個數(shù)的計數(shù)單位是什么?倘若用小數(shù)0.2刻畫,這個數(shù)的計數(shù)單位是什么?這個點用分數(shù)[66]刻畫時,這個數(shù)的計數(shù)單位是什么?用整數(shù)1刻畫時,這個數(shù)的計數(shù)單位又是什么?
生4:數(shù)軸上的同一個點,如果用不同形式的數(shù)表示,那么這個數(shù)的計數(shù)單位也不同。
【反思】
蘇教版數(shù)學(xué)教材的分數(shù)內(nèi)容分為三大塊:第一塊是從認識物品開始,給出一個物品或圖形,通過切分一個物品或圖形,分出幾分之一和幾分之幾;第二塊是認識一些物品的集合體,也就是從一些物品中分出幾分之一和幾分之幾;第三塊是認識分數(shù)的算術(shù)意義,識別分數(shù)單位,區(qū)別真分數(shù)和假分數(shù),以及理解和掌握分數(shù)和除法的運算關(guān)系,在此基礎(chǔ)上學(xué)會轉(zhuǎn)化分數(shù)和小數(shù)。筆者的教學(xué)設(shè)計遵循了這一編排邏輯,先引導(dǎo)學(xué)生獨立重構(gòu)知識體系,再結(jié)合教材上的配套練習(xí)題,幫助學(xué)生鞏固有關(guān)分數(shù)的基礎(chǔ)知識。
分數(shù)具有多重意義,在不同的學(xué)習(xí)階段,學(xué)生需要掌握的分數(shù)意義是不同的。分數(shù)最原始的定義是對單位“1”的平均分,即便在這種定義下,學(xué)生對分數(shù)的書寫、表達還是有一些困惑,突出表現(xiàn)在對假分數(shù)的理解上。學(xué)生要想突破假分數(shù)這個難點,必須借助分數(shù)的第二重意義,即分數(shù)可以用來表示除法算式的商。在被除數(shù)大于除數(shù)的一般情況下,如果得不出整數(shù)商,就可以用一個假分數(shù)來表示:被除數(shù)作為分子,除數(shù)作為分母。從這個角度理解,假分數(shù)的存在是合情合理的。同時,對分數(shù)單位的梳理可以讓假分數(shù)獲得合理解釋。
二、練:綜合應(yīng)用,查漏補缺,形成基本技能
【片段二】
師:前面我們從分數(shù)的意義、分數(shù)的計數(shù)單位、分數(shù)的分類、分數(shù)與除法的關(guān)系四個方面系統(tǒng)梳理了分數(shù)的有關(guān)知識,下面我們就學(xué)以致用。
練習(xí)1.物流顯示快件已經(jīng)流轉(zhuǎn)了路線的[45]。[45]這個分數(shù)在這里作何解釋?
把(? )看作單位“1”,將其平均分成( ? )份,( )占了(? )份。[45]這個分數(shù)本身就暗含了一個除法運算的結(jié)果在里面,[45]=4÷5,如果將(? )看作4份,那么(? )就有5份。
練習(xí)2.大伯開車帶著陳鵬回家過年,在高速路上因超速受到處罰,大伯的平均車速是最高時速的[54]。這里的[54]有什么含義?
把( ? )看作單位“1”,將其平均分成(? )份,(? )占了( ? )份。改寫成除法算式就是5÷4=[54],其中(? )是5份,(? )是4份。如果該路段限速80千米/時,那么大伯的駕車速度是多少呢?
練習(xí)3.如果把武漢到中轉(zhuǎn)站杭州的一條線路平均分成4份,把始發(fā)站武漢到終點站合肥的一段路平均分成5份,你能用[45]、[54]來編一道題嗎?
【反思】
綜合練習(xí)板塊,筆者設(shè)計了一個題組,密切結(jié)合生活情境,始終圍繞[45]和[54]這兩個互為倒數(shù)的分數(shù)。先引導(dǎo)學(xué)生理解真分數(shù)[45],再引導(dǎo)學(xué)生理解和吃透假分數(shù)[54]的含義,最后通過對比,交叉滲透理解兩個分數(shù),達到辯證統(tǒng)一的目標,使學(xué)生更加深刻、全面地掌握分數(shù)的意義,以及真分數(shù)和假分數(shù)在分數(shù)意義下的統(tǒng)一性,修補學(xué)生對分數(shù)與除法關(guān)系的認識漏洞。這樣的教學(xué)設(shè)計不但達到了檢修知識體系的目的,而且還讓學(xué)生學(xué)會了應(yīng)用,幫助學(xué)生真正掌握有關(guān)分數(shù)的知識。
分數(shù)的意義的多重性常常會讓學(xué)生混淆,但是如果對分數(shù)的意義運用得當,也能起到互相促進、互利互惠的教學(xué)作用。讓學(xué)生在不同的含義之間來回穿梭,取長補短、揚長避短,如對[45]和[54]的理解,既可以根據(jù)現(xiàn)實情境,從分數(shù)的意義來理解(將一個整體平均分成5份,取其中4份),也可以從除法的角度理解(將4平均分成5份,每份是多少),還可以將兩個互為倒數(shù)的分數(shù)編進一個情境里,利用分數(shù)的第三重意義,即一個量占另一個量的幾分之幾,讓學(xué)生進一步感受分數(shù)的意義。誰占誰的幾分之幾,其實就是一個除法運算的比例問題,可以從基本意義的角度理解,一般將后者看成單位“1”,分成與實際數(shù)量相等的份數(shù),1份1個,前者與之進行一一對應(yīng),對上了幾個,就是幾分之幾,只要將兩個數(shù)顛倒,就可以生成互為倒數(shù)的兩個分數(shù),這樣不但讓學(xué)生加深了對分數(shù)內(nèi)涵的認識,而且織牢、織密了分數(shù)各意義之間的交互關(guān)系。
三、煉:延展提高,錘煉思維,積累活動經(jīng)驗
【片段三】
師(同時出示三組☆圖案):畫一畫,使○的個數(shù)分別是每組☆的[23]。
(學(xué)生展示畫法)
師:為何大家畫的○的個數(shù)不一?
生1:因為每組☆的個數(shù)不一,也就意味著單位“1”的量各不相同,所以在平均分的份數(shù)相等的情況下,每一份的量也不一樣,因此對應(yīng)的○的個數(shù)也不一樣。
師(出示面積為1平方米的長方形):請在圖中表示出[34]平方米。
(學(xué)生在長方形上涂色,表示出[34]平方米,并展示交流:把面積為1平方米的長方形平均分成4個小長方形,其中3份就是[34]平方米,實際上就是選取1平方米的[34])
師(出示一個面積為3平方米的正方形):請在圖中表示出[34]平方米。
(學(xué)生自由發(fā)揮)
師(展示學(xué)生的兩種方法:第一種是把正方形平均分成4份,給其中1份涂色,第二種是把正方形平均分成4份,給其中3份涂色):哪種方法是對的呢?
生2:第二種??梢越柚謹?shù)和除法的關(guān)系來理解,[34]寫成除法算式是3÷4,根據(jù)除法運算的意義,就是把3平方米平均分成4份,進行等分除,除法運算的結(jié)果就表示每份數(shù),也就是其中1份的量,這種方法得到的[34]平方米就表示3平方米的[14]。
師:通過以上作圖,我們認識到,[34]平方米可以是1平方米的[34],也可以是3平方米的[14],兩種理解方法都行得通。通過這次對比,你獲得了什么啟發(fā)?另外,對于[74]這個假分數(shù),你有什么全新的理解?將你的想法寫下來,與大家交流。
【反思】
延展提高部分分為兩大環(huán)節(jié),畫圓練習(xí)可以進一步滲透分數(shù)的原始意義,通過不同的畫法得出同一個分數(shù),彰顯“殊途同歸”,使學(xué)生認識到同一個分數(shù),如果參照的單位“1”的量不同,那么即便選取相同份數(shù),每份數(shù)的量也不同。畫面積,重在貫通不同分數(shù)的意義與理解方式,構(gòu)筑較為完備的分數(shù)認知體系,為寫分數(shù)打下基礎(chǔ)。寫分數(shù)的練習(xí)重在檢測學(xué)生對分數(shù)的理解情況。
分數(shù)如果僅僅作為一種新的數(shù)出場,其實不管其意義多么豐富、用途多么廣泛、內(nèi)涵多么深刻、靈活性多么強,學(xué)生都可以通過教師的講解和自主練習(xí)熟練掌握,但是分數(shù)一旦與生活中的事物掛鉤,學(xué)生就會面臨理解上的一道鴻溝。學(xué)生平常理解整數(shù)的單位量就因為缺乏量感而倍感吃力,現(xiàn)在冒出一個分數(shù),更是難以理解,因為分數(shù)的意義的特殊性、相對性和機變性在很多場合和情境下會產(chǎn)生歧義,給學(xué)生帶來理解障礙。如題:(1)一根繩子長5米,用去[13]米,還剩多少米?(2)一根繩子長5米,用去[13],還剩幾米?“用去[13]米”和“用去[13]”一字之差,分數(shù)的意義就發(fā)生翻天覆地的變化,前者表示一個數(shù)值,后者表示一個比值。再如,1米的[34]和3米的[14],意義不同,說法不同,但是最終的結(jié)果卻一致,恰是因為數(shù)據(jù)的巧合,這個用切分分析法理解很困難,而用分數(shù)的乘法運算機制則可以解釋清楚:1×[34]=3×[14]。
綜上所述,分數(shù)的意義和分數(shù)計算雖然豐富多彩、復(fù)雜多變,但是其基本意義不變,分數(shù)計算的算理是建立在兩個對比量(部分和整體或者具有對應(yīng)關(guān)系的同類量)的比率和倍率運算上的,萬變不離其宗,只要在復(fù)雜多變的形式中堅持用單位“1”來連接、貫通分數(shù)的多重意義,就能靈活處理分數(shù)問題。
(責編 黃 露)