浙江杭州市錢塘新區(qū)江灣小學(xué)（311199） 傅華峰

關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，我們可以從兩個(gè)層次進(jìn)行理解。第一層次是從宏觀角度理解，分為“數(shù)學(xué)人文”“數(shù)學(xué)意識(shí)”“數(shù)學(xué)思想”三個(gè)方面；第二層次是從微觀角度理解，包括多個(gè)方面。筆者把它們列成表格（見表1）。

表1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的兩個(gè)層次

數(shù)感、符號意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)、創(chuàng)新意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出的十大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。這些素養(yǎng)一直以來沒有本質(zhì)上的改變。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)主要借助課程改革、課堂教學(xué)、教育評價(jià)三種相互聯(lián)系的教學(xué)實(shí)踐途徑得以實(shí)現(xiàn)。本文探討的練習(xí)屬于“教育評價(jià)”范疇，而且側(cè)重目標(biāo)中的“后兩基”。因?yàn)椤扒皟苫标P(guān)注的是知識(shí)與技能，“后兩基”更注重過程和方法，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)更依賴過程和方法。

我們需要從課程改革和課堂教學(xué)中尋找蛛絲馬跡，把好的經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用到練習(xí)設(shè)計(jì)上來，這樣設(shè)計(jì)思路才不會(huì)跑偏。作為基層數(shù)學(xué)教師，把練習(xí)設(shè)計(jì)好是很有必要的。即使在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的效果不夠理想，那么設(shè)計(jì)一些好的練習(xí)也能起到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用。

一、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)的總體思路

從課程改革的要求來看，練習(xí)設(shè)計(jì)需要依附真實(shí)的問題情境，讓學(xué)生在這樣的情境中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題。因此教師在創(chuàng)設(shè)情境時(shí)既要聯(lián)系真實(shí)情境，又要聯(lián)系當(dāng)?shù)靥厣患纫骖櫄v史傳統(tǒng)，又要結(jié)合科技發(fā)展。

練習(xí)設(shè)計(jì)需要重視在真實(shí)情境下的任務(wù)驅(qū)動(dòng)，重視還原知識(shí)的形成過程，增加學(xué)習(xí)過程的體驗(yàn)成分，加強(qiáng)滲透解題方法、策略，達(dá)到考查學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)、情感態(tài)度和價(jià)值觀的目的。

根據(jù)專家對國內(nèi)外相關(guān)測評的研究，筆者認(rèn)為，對學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的測評，在維度、核心素養(yǎng)、內(nèi)容等方面的基本表現(xiàn)如表2所示。

表2 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評框架

二、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)

根據(jù)以上思路，基于教學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)主要有以下特點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性和考查全面性

數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性指的是練習(xí)的內(nèi)容要科學(xué)，語言的表述要清晰，采用的數(shù)據(jù)要符合實(shí)際?？疾槿嫘灾傅氖蔷毩?xí)要盡量體現(xiàn)本課學(xué)習(xí)目標(biāo)，在考查學(xué)生知識(shí)技能的同時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的思維。

［例題1］一個(gè)三角形的兩條邊都是6 厘米，第三條邊是10 厘米，這是一個(gè)（ ）三角形，它的周長是（ ）厘米；如果這個(gè)三角形中有一個(gè)角是50°，那么另外兩個(gè)角的度數(shù)可能是（ ）或（ ）。

本題根據(jù)“認(rèn)識(shí)三角形”的課程內(nèi)容設(shè)計(jì)，從三角形的基本特征遷移到三角形周長的計(jì)算，從邊的關(guān)系聯(lián)系到角的關(guān)系，既考查了學(xué)生的知識(shí)技能，又培養(yǎng)了學(xué)生的思維，蘊(yùn)含了對應(yīng)、轉(zhuǎn)化、聯(lián)系的思想。

2.問題開放性和難易適度性

問題開放性是指練習(xí)設(shè)計(jì)要注重問題的多樣化、思維的發(fā)散性，多設(shè)計(jì)具有研究性、探索性、開放性的問題。難易適度性是指練習(xí)設(shè)計(jì)要注重創(chuàng)設(shè)新穎的問題，構(gòu)建有一定深度和廣度的問題，但要符合學(xué)生的特點(diǎn)，難易程度適中。

這是一道典型的呈現(xiàn)形式開放、考查內(nèi)容開放、問題結(jié)果開放、解題策略開放的練習(xí)題，難易程度適宜。在解這道題時(shí)，不同的學(xué)生有不同的思路，他們給出了多種答案，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)、技能、實(shí)踐、思維、創(chuàng)新的整合。

3.突出能力立意和兼顧數(shù)學(xué)品格

基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)要注重考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，強(qiáng)調(diào)“以能力立意”，同時(shí)能考查學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)。個(gè)性品質(zhì)是指學(xué)生的情感態(tài)度和價(jià)值觀。通過巧妙的設(shè)計(jì)傳遞數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，學(xué)生在長期的熏陶下，會(huì)形成審慎的思維習(xí)慣和數(shù)學(xué)視野，體會(huì)到數(shù)學(xué)的美，逐漸養(yǎng)成數(shù)學(xué)品格。

［例題3］容積為250 升的節(jié)能水箱上裝有甲、乙兩根進(jìn)水管和一根排水管（丙），如圖1 所示，先通過甲管單獨(dú)向水箱內(nèi)注水，再通過甲、乙兩管同時(shí)向水箱內(nèi)注水，水箱注滿水后，關(guān)閉進(jìn)水管，最后通過丙管將水箱內(nèi)的水排完。（1）水箱內(nèi)原來有水（ ）升；（2）乙管每分鐘可注水（ ）升；（3）如果注滿水后，只關(guān)閉乙管，再同時(shí)打開甲管和丙管，幾分鐘可以把水箱中的水全部排完？

圖1

很明顯，這是一道關(guān)注知識(shí)技能形成過程的內(nèi)化和理解、注重解題能力的練習(xí)題，融細(xì)致觀察、比較判斷、細(xì)心計(jì)算、周密思考習(xí)慣培養(yǎng)為一體。無論是從學(xué)科角度，還是數(shù)學(xué)品質(zhì)、個(gè)性養(yǎng)成上看，都是有先進(jìn)性和風(fēng)向標(biāo)意義的。

三、基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)的方法和實(shí)施

總體思路和主要特點(diǎn)奠定了基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的練習(xí)設(shè)計(jì)的基調(diào)，但要設(shè)計(jì)質(zhì)量比較高的練習(xí)還需要一些方法。

1.設(shè)計(jì)時(shí)聚焦核心概念，運(yùn)用中形成主干知識(shí)

任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總有一個(gè)主要概念，這個(gè)概念就是核心概念，與它密切聯(lián)系的知識(shí)組成一個(gè)概念串就是一個(gè)主干知識(shí)。練習(xí)設(shè)計(jì)就要聚焦核心概念，保證基礎(chǔ)性，圍繞主干知識(shí)形成一個(gè)關(guān)聯(lián)的概念串。

［例題4］一個(gè)兩位數(shù)的十位上的數(shù)比個(gè)位上的數(shù)小5，這個(gè)兩位數(shù)最大的是多少？

本題改編自一年級下冊“100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中的習(xí)題。改編后的題目緊緊圍繞數(shù)感這個(gè)核心，把數(shù)的順序、數(shù)的大小等概念結(jié)合起來，滲透了有序思考。

2.設(shè)計(jì)時(shí)創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，運(yùn)用中提升關(guān)鍵能力

數(shù)學(xué)源于生活、寓于生活、用于生活。把數(shù)學(xué)問題生活化，把生活經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)化，將內(nèi)容與時(shí)代同步，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，才能使知識(shí)運(yùn)用起來具有更強(qiáng)的綜合性、實(shí)踐性。

［例題5］同樣一本數(shù)學(xué)課本，小明量得它的長是11，小麗量得它的長是8，小東量得它的長是5，他們量的都是同一本書，長度怎么會(huì)不一樣呢？因?yàn)樾∶魇怯没匦吾樍康?，小麗是用橡皮量的，小東是用鉛筆量的，單位長度不一樣，所以量得的長度不一樣。為此，我們必須統(tǒng)一（ ）。

長度單位是什么？為什么要用厘米作單位？對于這些問題，多數(shù)學(xué)生是懵懂的，不少教師認(rèn)為沒有必要在這些問題上多花力氣。而教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生反思練習(xí)，把學(xué)生活動(dòng)過程用一個(gè)真實(shí)情境再現(xiàn)出來，引導(dǎo)學(xué)生去思考、去感悟、去討論，就把知識(shí)記憶變成了需求體驗(yàn)，把結(jié)果變?yōu)榱诉^程，更有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

3.設(shè)計(jì)時(shí)蘊(yùn)含方法過程，運(yùn)用中培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

做練習(xí)不僅僅是復(fù)習(xí)知識(shí)，更重要的是要讓學(xué)生發(fā)展思維。練習(xí)就是要?jiǎng)?chuàng)設(shè)具體、形象的情境，把過程和方法體現(xiàn)出來，讓學(xué)生在做練習(xí)的過程中分析信息、合情推理、舉一反三，建立并使用一定的模型解決新問題。

［例題6］若圖2 中的角表示“平角”，那么“周角”可以怎樣表示？

圖2

本題針對四年級上冊“角的分類”一課設(shè)計(jì)。目的是促進(jìn)學(xué)生深度理解角的概念以及它們之間的關(guān)系。這道練習(xí)立足創(chuàng)新意識(shí)和建模思想、運(yùn)用能力，兼顧洞察力的培養(yǎng)，把垂直的角看成“平角”，那么“周角”就是“平的角”，打破了思維的習(xí)慣，學(xué)生需要借助轉(zhuǎn)換、遷移、類比等方法才能解決。

4.設(shè)計(jì)時(shí)體現(xiàn)多樣化開放，運(yùn)用中重創(chuàng)新

練習(xí)的開放性是為了給學(xué)生提供更多思考和探索的機(jī)會(huì)和空間，激發(fā)學(xué)生的求異思維，為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維打好基礎(chǔ)。加大練習(xí)的開放力度，就是要開放問題的信息，提高思維的選擇性；就是要開放結(jié)論，提高思維的廣度；就是要開放解題策略，增強(qiáng)探索性和靈活性，提高思維的嚴(yán)密性和深刻性。

［例題7］下面的圖形表示“1”，用合適的方法表示出“0.65”這個(gè)小數(shù)。

圖3

本題針對四年級下冊“小數(shù)意義”而設(shè)計(jì)。這是綜合性開放練習(xí)，它不只要求學(xué)生能清晰地回答這個(gè)小數(shù)是多少，還要求學(xué)生根據(jù)自己的理解，用一定的方法表達(dá)出這個(gè)小數(shù)的具體意義。學(xué)生通過判斷分析，對小數(shù)概念的理解更深刻，提高了綜合運(yùn)用知識(shí)能力、數(shù)形結(jié)合能力、動(dòng)手實(shí)踐能力，這對其發(fā)展求異思維及優(yōu)化思想是有益處的。

5.設(shè)計(jì)時(shí)鑲嵌層次梯度，運(yùn)用中獲得更多發(fā)展

練習(xí)的層次梯度就是指在面向全體、保證底線的前提下，立足學(xué)生主體、正視個(gè)體差異、實(shí)行目標(biāo)分層開展練習(xí)。這里說的“鑲嵌”，就是要讓層次梯度不那么明顯，把練習(xí)的難易度隱蔽起來。教師在教學(xué)中要堅(jiān)持激勵(lì)學(xué)生，借助積極評價(jià)或者提供適當(dāng)幫助，鼓勵(lì)學(xué)生在原有基礎(chǔ)上獲得更多發(fā)展。

這是六年級上冊“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)”的課后練習(xí)。本題沒有直接問分?jǐn)?shù)除法的意義是什么，而是通過對一個(gè)問題的解釋，著眼于借助圖形、符號等方法把數(shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，增加探索性、研究性和開放性，讓每一個(gè)學(xué)生都能有話說，促進(jìn)不同的學(xué)生獲得不同的發(fā)展。假如一個(gè)學(xué)生用純語言進(jìn)行描述，并且正確，這就是一般理解水平；假如一個(gè)學(xué)生能借助圖形進(jìn)行描述，并且正確，這屬于中等理解水平；假如有學(xué)生能用不同情境配合圖形進(jìn)行解釋，并且正確，這屬于高等理解水平。

6.設(shè)計(jì)時(shí)聯(lián)系實(shí)際，運(yùn)用中培養(yǎng)數(shù)學(xué)情感

設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)練習(xí)時(shí)，著力點(diǎn)放在數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用、數(shù)量關(guān)系的分析以及解析幾何上沒有錯(cuò)，錯(cuò)的是就數(shù)學(xué)說數(shù)學(xué)，忘了教育的初衷是育人。因此，練習(xí)也要有一定的“微言大義”，必須結(jié)合生活實(shí)際、歷史傳統(tǒng)、科技發(fā)展，把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和情感教育結(jié)合起來，賦予枯燥的數(shù)字生命力。這些與體驗(yàn)、精神、品味相關(guān)的東西就是數(shù)學(xué)情感。在情感培養(yǎng)方面，數(shù)學(xué)不能缺席，也不應(yīng)該缺席。

［例題9］某天，烏龜和兔子在山腳下進(jìn)行跑步比賽，一開始兔子超過了烏龜，兔子回頭一看，烏龜慢吞吞的，就得意地在路邊的大樹下睡了一覺。烏龜沒有氣餒，使勁向終點(diǎn)跑去。待兔子醒來想起比賽一事，連忙追趕時(shí)，烏龜已經(jīng)跑到了終點(diǎn)，取得了勝利！下列圖（ ）反映了這個(gè)故事。

“龜兔賽跑”的故事家喻戶曉，把故事嵌入數(shù)學(xué)練習(xí)，使學(xué)生感覺更有趣，更喜歡數(shù)學(xué)?；氐骄毩?xí)本身，盡管沒有計(jì)算、畫圖等技能訓(xùn)練，但學(xué)生要深度剖析“線”與數(shù)據(jù)、故事情節(jié)的關(guān)聯(lián)，并要結(jié)合假設(shè)做出合情推理。不是單純的知識(shí)記憶，而是興趣盎然的體驗(yàn)；沒有數(shù)據(jù)計(jì)算，卻用到了判斷、分析、推理等方法，還有人生觀、價(jià)值觀的教育意義。

上述例題都是筆者在學(xué)習(xí)、思考和實(shí)踐的基礎(chǔ)上，圍繞人教版數(shù)學(xué)教材所做的練習(xí)設(shè)計(jì)。我們再次觀察、分析這些例題，不難發(fā)現(xiàn)：基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)和評價(jià)的練習(xí)與傳統(tǒng)練習(xí)相比，在現(xiàn)實(shí)性、綜合性、開放性、實(shí)踐性、創(chuàng)新性上的體現(xiàn)更加明顯。