李曉霞，鄭 馳，王 雪，曹櫻子，徐桂芝

(1.河北省電磁場與電器可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河北工業(yè)大學(xué))，天津300130；2.省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(河北工業(yè)大學(xué))，天津 300130)

憶阻器作為一個(gè)新型納米級(jí)二端口非線性電路元件[1]，其在混沌電路構(gòu)造[2-3]、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4-5]、邏輯運(yùn)算[6]等工程領(lǐng)域均展現(xiàn)出了巨大的研究價(jià)值和應(yīng)用前景。由于其具有可調(diào)的非線性以及特殊的記憶功能等特性，使得憶阻混沌系統(tǒng)通?？杀憩F(xiàn)出更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性以及更強(qiáng)的偽隨機(jī)性，并且更容易產(chǎn)生依賴于憶阻器初始狀態(tài)的多穩(wěn)態(tài)[7-10]或超級(jí)多穩(wěn)態(tài)特性[11-15]。因此，與普通混沌系統(tǒng)相比，基于憶阻器的混沌電路構(gòu)造具有非常重要的研究意義。

近年來，多穩(wěn)態(tài)和超級(jí)多穩(wěn)態(tài)在憶阻系統(tǒng)中的研究已經(jīng)成為了非線性動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要的研究方向。多個(gè)吸引子的共存意味著系統(tǒng)可以提供多個(gè)正常的運(yùn)行模式，即當(dāng)系統(tǒng)遭到噪聲或外部環(huán)境的干擾時(shí)，它可以切換到不同的穩(wěn)定狀態(tài)來保持系統(tǒng)的正常運(yùn)行。同時(shí)，憶阻系統(tǒng)中的多穩(wěn)定性也可以被用于信息工程領(lǐng)域中的加密信號(hào)或者偽隨機(jī)數(shù)發(fā)生器。因此，具有多穩(wěn)態(tài)或超級(jí)多穩(wěn)態(tài)的憶阻系統(tǒng)的構(gòu)建和研究具有理論意義與實(shí)際工程價(jià)值。2017年，Bao等[11]提出了一個(gè)基于憶阻器的退化的Jerk系統(tǒng)，該系統(tǒng)可以表現(xiàn)出4個(gè)線平衡和無限多吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。同年，Bao等[12]利用憶阻器替換Yang系統(tǒng)中一個(gè)耦合電阻，提出了一個(gè)具有隱藏超級(jí)多穩(wěn)態(tài)的四維超混沌系統(tǒng)。2019年，Mezatio等[13]提出了一個(gè)6D憶阻超混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出了豐富的動(dòng)力學(xué)特性，如隱藏超級(jí)多穩(wěn)態(tài)、瞬態(tài)混沌以及偏移控制等行為。目前，雖然已有部分文獻(xiàn)報(bào)道了具有超級(jí)多穩(wěn)態(tài)的混沌或超混沌系統(tǒng)并探討了其相關(guān)的動(dòng)力學(xué)特性。然而，關(guān)于5D或更高維憶阻超混沌系統(tǒng)的構(gòu)建及其復(fù)雜動(dòng)力學(xué)特性的研究相對(duì)較少，尤其是在已有的文獻(xiàn)中鮮有可同時(shí)表現(xiàn)出超級(jí)多穩(wěn)態(tài)、首次在本文研究的共存超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象、持續(xù)的混沌或超混沌行為以及偏移增量控制等豐富動(dòng)力學(xué)特性的5D憶阻超混沌系統(tǒng)。因此，此類高維憶阻超混沌系統(tǒng)的構(gòu)建對(duì)于非線性理論的研究和實(shí)際應(yīng)用的探索具有非常重要的意義。

此外，從工程應(yīng)用角度看，系統(tǒng)有時(shí)需要具有相同吸引子尺寸但極性相反的超混沌信號(hào)。通常，具有對(duì)稱極性的系統(tǒng)可以產(chǎn)生對(duì)稱的共存吸引子，而這些對(duì)稱的共存吸引子往往是由單個(gè)雙翼混沌吸引子破裂而產(chǎn)生的。因此，它們通常會(huì)伴隨著系統(tǒng)混沌動(dòng)力學(xué)的退化而不能更好地滿足工程應(yīng)用的需要。為了避免這一問題，Li等[16]提出了極性調(diào)整與偏置控制的方法來構(gòu)建條件對(duì)稱的混沌系統(tǒng)。此類系統(tǒng)可以確保系統(tǒng)在基本動(dòng)力學(xué)特性不變的情況下為工程應(yīng)用提供一對(duì)極性相反且吸引子結(jié)構(gòu)相似的超混沌或混沌信號(hào)[17-18]。然而，在已報(bào)道的條件對(duì)稱系統(tǒng)中，能表現(xiàn)出無限多對(duì)條件對(duì)稱的共存吸引子還非常少見，尤其是在憶阻超混沌系統(tǒng)中。

基于以上研究，本文提出了一個(gè)新的5D憶阻超混沌系統(tǒng)。通過理論分析和數(shù)值仿真分別探討了系統(tǒng)參數(shù)和初始值對(duì)于系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。新系統(tǒng)最顯著的特性是可以表現(xiàn)出無限多吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象以及獨(dú)特的共存超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。同時(shí)，持續(xù)的混沌動(dòng)力學(xué)以及變量偏移增量控制行為也被發(fā)現(xiàn)并研究。此外，在新系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)條件對(duì)稱的憶阻超混沌系統(tǒng)，當(dāng)選擇適當(dāng)?shù)某跏紬l件時(shí)，該系統(tǒng)可以產(chǎn)生無限多對(duì)極性相反且吸引子結(jié)構(gòu)近似一致的條件對(duì)稱的共存吸引子。最后，利用Multisim電路仿真軟件設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)了新系統(tǒng)的電路模型，驗(yàn)證了新系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

1 系統(tǒng)模型

改進(jìn)的四維超混沌Lü系統(tǒng)[19]模型為

(1)

式中：x,y,z,w為系統(tǒng)(1)的4個(gè)狀態(tài)變量；a,b,c,d為系統(tǒng)參數(shù)。

在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上，利用一個(gè)磁控憶阻器W(v)=(α+βv2)替換第1個(gè)等式中狀態(tài)變量y的耦合系數(shù)，并添加第五維方程作為憶阻器的內(nèi)部狀態(tài)變量；同時(shí)，使用狀態(tài)變量x替換第2個(gè)等式右邊的狀態(tài)變量y，一個(gè)新的五維憶阻超混沌系統(tǒng)被構(gòu)建,并且其無量綱狀態(tài)方程為

(2)

式中：x,y,z,w,v為系統(tǒng)(2)的5個(gè)狀態(tài)變量；a,b,c,e,d,f,α,β均為正實(shí)數(shù)。

本文選用文獻(xiàn)[20]中提出的光滑三次非線性磁控憶阻器，其數(shù)學(xué)模型為

(3)

式中：i和u分別為憶阻器的端電流和端電壓；W(φ) 為關(guān)于φ(t)的非線性函數(shù)，具有和電導(dǎo)一樣的量綱，稱為憶導(dǎo)，表示依賴于憶阻器內(nèi)部狀態(tài)變量φ(t)的控制；φ為磁通，表示憶阻器的內(nèi)部磁通變化量；α，β均為正參數(shù)。

2 系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性

2.1 基本動(dòng)力學(xué)分析

系統(tǒng)(2)所描述的新五維憶阻超混沌系統(tǒng)是關(guān)于z坐標(biāo)軸對(duì)稱的，其對(duì)稱性可在(x,y,z,w,v)→(-x, -y,z, -w, -v)變換后由系統(tǒng)的不變性得到。平衡點(diǎn)分析是判斷系統(tǒng)穩(wěn)定的重要方式，令系統(tǒng)(2)的右邊等于0，可以得到系統(tǒng)的平衡點(diǎn)狀態(tài)方程：

(4)

通過簡單的數(shù)值求解得，新系統(tǒng)具有一個(gè)線平衡點(diǎn)集E=(0, 0, 0, 0,μ)，其中μ為實(shí)數(shù)。由于系統(tǒng)的所有參數(shù)均為正值，根據(jù)經(jīng)典的Routh-Hurwitz判據(jù)可得，系統(tǒng)(2)具有一個(gè)不穩(wěn)定的線平衡點(diǎn)集。

2.2 參數(shù)c對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響

選取系統(tǒng)參數(shù)a=40,b=20,d=30,e=4,f=5,α=1,β=0.02且初始狀態(tài)為(0, 0.1, 0, 0, 1)，令參數(shù)c為控制變量，當(dāng)c∈[0, 50]時(shí)，狀態(tài)變量y的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜如圖1所示。需要指出的是，本文的Lyapunov指數(shù)是基于經(jīng)典的Wolf算法[21]計(jì)算得到的，步長時(shí)間和總時(shí)長分別設(shè)置為0.01 s和104s。通過對(duì)比可知狀態(tài)變量y的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜動(dòng)力學(xué)行為一致。從Lyapunov指數(shù)譜可知，當(dāng)參數(shù)c∈[0.3, 18.6]和c∈[20, 30.5]時(shí)，系統(tǒng)(2)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)參數(shù)c∈(18.6, 20)和c∈(30.5, 33]時(shí)，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)；當(dāng)參數(shù)c∈[0, 0.3)和c∈(33, 50)時(shí)，系統(tǒng)(2)處于周期狀態(tài)。

(a)狀態(tài)變量y的分岔圖

(b)Lyapunov指數(shù)譜

2.3 依賴于初始狀態(tài)的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象

選取系統(tǒng)參數(shù)a=40,b=20,c=5,d=30,e=4,f=5,α=1,β=0.02和初始狀態(tài)為(0, 0.1, 0, 0,v(0))，令憶阻器的初始狀態(tài)v(0)為控制變量。當(dāng)v(0)在[-100, 100]中變化時(shí)，狀態(tài)變量z的分岔圖和相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜如圖2所示。由分岔圖可知，系統(tǒng)(2)隨著初始條件的變化可以表現(xiàn)出無限多吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。由Lyapunov指數(shù)譜可知，當(dāng)v(0)∈(-74, -35)、v(0)∈(-28, 28)以及v(0)∈(35, 74)時(shí)，系統(tǒng)(2)處于超混沌狀態(tài)；當(dāng)v(0)∈(-78, -74)、v(0)∈(74, 79)以及v(0)∈(87, 89)時(shí)，系統(tǒng)(2)處于混沌狀態(tài)。同時(shí)，可以觀察到v(0)在[-100, 0]和[0, 100]中的分岔特性以及相應(yīng)的Lyapunov指數(shù)譜均近似關(guān)于v(0)=0對(duì)稱，表明系統(tǒng)在兩個(gè)對(duì)稱的憶阻器初始狀態(tài)范圍內(nèi)可表現(xiàn)出相似的動(dòng)力學(xué)行為。

(a)狀態(tài)變量z的分岔圖

(b)Lyapunov指數(shù)譜

為了進(jìn)一步探討新系統(tǒng)的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)特性，選擇不同的憶阻器初始狀態(tài)來繪制不同的吸引子軌道。當(dāng)取負(fù)的憶阻器初始狀態(tài)時(shí)，不同初始條件產(chǎn)生的共存吸引子在vzx空間的投影如圖3(a)所示，圖中從左向右的吸引子對(duì)應(yīng)的憶阻器初始值v(0)和相應(yīng)的吸引子狀態(tài)分別為-80(周期)、-60(超混沌)、-35(混沌)、-15(超混沌)、-1(超混沌)；當(dāng)取正的憶阻器初始狀態(tài)時(shí)，不同初始條件產(chǎn)生的共存吸引子在vzx空間的投影如圖3(b)所示，圖中從左向右的吸引子對(duì)應(yīng)的憶阻器初始狀態(tài)v(0)和相應(yīng)的吸引子狀態(tài)分別為1(超混沌)、15(超混沌)、35(混沌)、60(超混沌)、80(周期)。因此，通過共存吸引子相圖進(jìn)一步驗(yàn)證了系統(tǒng)(2)依賴于憶阻器初始狀態(tài)的超級(jí)多穩(wěn)定性以及近似對(duì)稱的動(dòng)力學(xué)特性。此外，由圖(2)的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜可知，當(dāng)僅改變憶阻器初始條件時(shí)，系統(tǒng)可以表現(xiàn)出持續(xù)的混沌或超混沌特性。因此，與其他憶阻混沌系統(tǒng)相比，系統(tǒng)(2)不僅具有依賴于初值的極端敏感性，而且可以表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)特性、更強(qiáng)的魯棒性和更大的密鑰空間。因此，新系統(tǒng)可以被更好地應(yīng)用于保密通信或圖像加密等工程領(lǐng)域。

(a)負(fù)的憶阻器初始值產(chǎn)生的吸引子

(b)正的憶阻器初始值產(chǎn)生的吸引子

特別地，改變系統(tǒng)參數(shù)c=13并保持系統(tǒng)其他參數(shù)值不變，并且令系統(tǒng)初始條件分別為X1= (0, 0.1, 0, 0,v(0))和X2=(0, -0.1, 0, 0,v(0))，其中憶阻器初始條件v(0)為分岔參數(shù)。當(dāng)v(0)在[-60, 60]中變化時(shí)，產(chǎn)生于初始條件X1和初始條件X2的共存分岔圖如圖4(a)所示。由共存分岔圖可知，系統(tǒng)在兩個(gè)初始條件下均可表現(xiàn)出無限多吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)特性。因此，這個(gè)憶阻超混度系統(tǒng)可以表現(xiàn)出一個(gè)新的基于兩個(gè)相反y初始值的共存超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。為了進(jìn)一步探索系統(tǒng)豐富的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)特性，圖4(b)展示了4對(duì)共存吸引子在vyx空間的投影，其中，處于較上位置的4個(gè)吸引子對(duì)應(yīng)于初始條件X1，相反，處于較下位置的4個(gè)吸引子對(duì)應(yīng)于初始條件X2。并且表1對(duì)圖4(b)所描述的4對(duì)共存奇異吸引子進(jìn)行了總結(jié)。此外，需要說明的是，當(dāng)選取更多的初始狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)可以表現(xiàn)出無限多對(duì)奇異吸引子共存的超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。此現(xiàn)象是由于系統(tǒng)(2)隨著參數(shù)c的增大使得系統(tǒng)的混沌動(dòng)力學(xué)退化而導(dǎo)致無限多個(gè)雙翼混沌或超混沌吸引子破裂而產(chǎn)生的。據(jù)了解，此前幾乎沒有文獻(xiàn)探討過這種獨(dú)特的基于憶阻器初始值的共存超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象。

(a)系統(tǒng)隨初始值變化的共存分岔圖

(b)共存吸引子在vyx空間的投影

表1 共存吸引子的動(dòng)力學(xué)特性

2.4 偏移增量控制

在一個(gè)確定的非線性系統(tǒng)中，當(dāng)某一狀態(tài)變量在該系統(tǒng)的右側(cè)僅出現(xiàn)一次時(shí)，向該狀態(tài)變量添加一個(gè)常數(shù)項(xiàng)將會(huì)產(chǎn)生一個(gè)可控的偏移量，從而使混沌信號(hào)從單極改變?yōu)殡p極，反之亦然。由于常數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0，所以如果當(dāng)一個(gè)常數(shù)引入到變量中時(shí)，微分方程不改變其形式。因此，偏移增量控制[22-25]可以在不改變系統(tǒng)基本動(dòng)力學(xué)特性的情況下，僅通過改變一個(gè)額外的控制常數(shù)即可實(shí)現(xiàn)混沌信號(hào)在雙極性和單極性之間相互轉(zhuǎn)換。根據(jù)系統(tǒng)(2)可知，狀態(tài)變量w僅出現(xiàn)在系統(tǒng)(2)的第2個(gè)等式右邊一次且為線性變量，因此它是很容易實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)(2)的超混沌吸引子的偏移控制。使用狀態(tài)變量w+m代替w，其中m為偏移增量控制器，則系統(tǒng)(2)可以重寫為

(5)

因此，通過在一定范圍內(nèi)改變m的大小，可以實(shí)現(xiàn)混沌吸引子在w軸的偏移控制。當(dāng)選擇參數(shù)a=40,b=20,c=5,d=30,e=4,f=5,α=1,β=0.02以及初始值為(0, 0.1, 0, 0, 1)時(shí)，圖5(a)和5(b)分別繪制了當(dāng)m為 -15、0、15時(shí)在zw和xw平面的不同位置產(chǎn)生的3個(gè)超混沌吸引子相圖，圖5(c)繪制了相應(yīng)的時(shí)序圖，圖5(d)展示了混沌信號(hào)w的平均值(用A表示)，隨偏移增量控制器m變化的偏移趨勢(shì)。

(a)zw平面的相圖

(b)xw 平面的相圖

(c)狀態(tài)變量w的時(shí)序圖

(d)信號(hào)w的平均值

由圖5(a)～5(c)可知，當(dāng)m=0時(shí)，混沌信號(hào)處于w軸的正負(fù)半軸；當(dāng)m=15時(shí)，混沌信號(hào)處于w軸的負(fù)半軸；當(dāng)m=-15時(shí)，混沌信號(hào)處于w軸的正半軸。從圖5(d)可知，當(dāng)偏移增量控制器m從-30逐漸增加到30時(shí)，混沌信號(hào)的平均值逐漸下降，即當(dāng)偏移增量控制器m取正值時(shí)，吸引子向w軸的負(fù)方向偏移；當(dāng)偏移增量控制器m取負(fù)值時(shí)，吸引子向w軸的正方向偏移。

3 憶阻超混沌系統(tǒng)的條件對(duì)稱化設(shè)計(jì)

前文已證系統(tǒng)(2)是關(guān)于z軸旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的。因此，系統(tǒng)(2)可以通過狀態(tài)變量z的一維偏置在對(duì)稱系統(tǒng)的基礎(chǔ)上來構(gòu)造新的條件旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的憶阻超混沌系統(tǒng)。首先對(duì)系統(tǒng)(2)中的z狀態(tài)變量取絕對(duì)值，為構(gòu)建條件對(duì)稱系統(tǒng)做好準(zhǔn)備工作。然后假設(shè)z→F(z)，因?yàn)镕(z)是非單調(diào)的，如果z→z+k使F(z+k)=-F(z)，那么變量替換(x→ -x,y→-y,z→z+k,w→ -w,v→ -v)將使系統(tǒng)極性達(dá)到新的平衡，新的方程為

(6)

式中F(z)=|z| -k。

為了更直觀地展示具有相反極性以及相似吸引子結(jié)構(gòu)的無限多對(duì)對(duì)稱的共存吸引子現(xiàn)象，這里選取參數(shù)a=40,b=20,c=5,d=30,e=4,f=5,α=1,β= 0.02,k=11。圖6分別展示了條件對(duì)稱共存吸引子在xz和yz平面的相圖。

(a)xz平面

(b)yz平面

由圖6可知，z軸正方向的共存吸引子產(chǎn)生于初始狀態(tài)(IC)= (0, 0.1, 11, 0,v(0))；z軸負(fù)方向的共存吸引子產(chǎn)生于初始狀態(tài)(IC)= (0, 0.1, -11, 0,v(0))，其中憶阻器初始值v(0)分別為1、20、30。同時(shí)，可以觀察到在z軸正方向和負(fù)方向產(chǎn)生的每對(duì)條件對(duì)稱的共存吸引子的大小幾乎一致。更進(jìn)一步，由于系統(tǒng)(2)具有無限多吸引子共存現(xiàn)象，因此，在適當(dāng)?shù)某跏紬l件下，系統(tǒng)(6)可提供大量的具有相反極性且吸引子結(jié)構(gòu)一致的條件對(duì)稱共存吸引子。

4 憶阻超混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)對(duì)于工程應(yīng)用是非常重要的，因此，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)簡單的模擬電路來驗(yàn)證新的憶阻超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。電路中包括線性電容、線性電阻、運(yùn)算放大器以及模擬乘法器等電路元器件。其中，運(yùn)算放大器選擇工作電壓為±12 V的LM741，模擬乘法器為AD633。為了避免運(yùn)算放大器輸出信號(hào)飽和，將混沌信號(hào)的輸出電平調(diào)小至原來的1/10，并進(jìn)行時(shí)間尺度變換，令τ=τ0t，其中t0=100。選擇參數(shù)a=40,b=20,c=5,d=30,e=4,f=5,α=1,β=0.02，則系統(tǒng)(2)可以表示為

(7)

通過相應(yīng)推導(dǎo)得到系統(tǒng)(2)的電路原理圖，如圖7所示。根據(jù)電路原理圖以及電路理論，得到以下狀態(tài)方程:

(8)

對(duì)比方程(7)和方程(8)可得圖7中的電路元件參數(shù)為：C1=C2=C3=C4=C5=100 nF，R1=2.5 kΩ，R2=3.33 kΩ，R3=1.67 kΩ，R4=0.25 kΩ，R7=2 kΩ，R8=5 kΩ，R9=100 kΩ，R12=10 kΩ，R13=20 kΩ，R16=25 kΩ，R19=100 kΩ，R5=R6=R10=R11=R14=R15=R17=R18=R20=R21=1 kΩ。采用Multisim軟件對(duì)電路進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，仿真結(jié)果如圖8所示，驗(yàn)證了該憶阻超混沌系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。

圖7 系統(tǒng)(2)的電路原理圖

(a)xz平面 (b)yz平面 (c)wz平面

5 結(jié) 論

在改進(jìn)Lü超混沌系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個(gè)新的五維憶阻超混沌系統(tǒng)。通過理論分析和數(shù)值仿真，研究了系統(tǒng)基于憶阻器初始狀態(tài)的極端敏感性和持續(xù)的混沌或超混沌特性，表明系統(tǒng)具有極其復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為。同時(shí)，利用相圖和時(shí)序圖探討了有趣的偏移控制行為。特別地，當(dāng)調(diào)節(jié)單個(gè)系統(tǒng)參數(shù)并取適當(dāng)?shù)某跏贾?，通過基于憶阻器初始狀態(tài)變化的共存分岔圖和相軌圖首次研究了共存超級(jí)多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并觀察到了無限多對(duì)共存單翼混沌吸引子。此外，在所構(gòu)建系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，通過引入絕對(duì)值函數(shù)構(gòu)造了一個(gè)新的條件對(duì)稱的憶阻超混沌系統(tǒng)。當(dāng)取適當(dāng)?shù)某跏紬l件，該系統(tǒng)可以提供無限多對(duì)具有相似結(jié)構(gòu)但相反極性的條件對(duì)稱吸引子。最后，電路實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真結(jié)果一致，驗(yàn)證了新系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。因此，新的憶阻超混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出了極其豐富的動(dòng)力學(xué)特性，可以為基于混沌理論的工程應(yīng)用提供更好的選擇。