樊無(wú)雙 江蘇省南通市通州區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)

拜讀了張興華老師的《我的教育人生》，我感受到了一個(gè)教師的智慧、勤懇，一個(gè)教育專(zhuān)家的潛心鉆研，一個(gè)教育人的真摯、熱忱。張老師基于兒童學(xué)習(xí)心理的數(shù)學(xué)教學(xué)研究給我啟發(fā)和深思：關(guān)注并順應(yīng)兒童的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)兒童的心理發(fā)展，用精致的引導(dǎo)和靈動(dòng)的思考，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

一、充分感知，渡向抽象

張老師指出：“感知是思維活動(dòng)的窗戶(hù)，是人們深入認(rèn)識(shí)事物本質(zhì)的開(kāi)端。小學(xué)生認(rèn)識(shí)事物帶有很大的具體性和直觀(guān)形象性，特別需要先從感知窗戶(hù)得到一定的感性知識(shí)，作為升華到理性的誘因和基礎(chǔ)?！?/p>

（一）從具象到抽象

在執(zhí)教小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《解決問(wèn)題的策略》時(shí)，我就深有感觸。比如在面對(duì)組題“圍拼問(wèn)題”時(shí)，部分學(xué)生始終不太理解和區(qū)分用同一根鐵絲圍長(zhǎng)方形和用若干個(gè)小正方形拼長(zhǎng)方形這兩類(lèi)問(wèn)題的方法異同。面對(duì)學(xué)生存在的問(wèn)題，我決定從具體感知出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生先對(duì)比觀(guān)察，明確“圍拼”之區(qū)別：用一根鐵絲圍長(zhǎng)方形，鐵絲圍的是長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，而用若干個(gè)小正方形拼長(zhǎng)方形，小正方形面擺出的是長(zhǎng)方形的面積。引導(dǎo)學(xué)生再動(dòng)手圍拼，思考“圍拼”之關(guān)鍵：鐵絲圍成的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)始終是鐵絲總長(zhǎng)，小正方形拼成的長(zhǎng)方形面積始終是小正方形的面積和。引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)腦“畫(huà)”，聯(lián)想“圍拼”之本質(zhì)：圍法變化間長(zhǎng)方形周長(zhǎng)不變，拼法變化間長(zhǎng)方形面積不變。最后學(xué)生自然而然能夠?qū)⒉僮鲀?nèi)化，抓住題目關(guān)鍵，從而歸納出解題方法：一根鐵絲圍長(zhǎng)方形，周長(zhǎng)不變，即長(zhǎng)寬之和不變，依次列舉長(zhǎng)寬即可列舉出所有情況。用若干個(gè)小正方形拼大長(zhǎng)方形，總面積不變，思考一行擺幾個(gè)，擺幾行，就能確定長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，依次列舉即可得出所有情況。

正如皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論所言，小學(xué)生正處于具體運(yùn)算階段，缺乏抽象邏輯推理能力，但他們能憑借具體形象的支撐，進(jìn)行邏輯推理。在面對(duì)學(xué)生不易夠著的抽象方法時(shí)，教師不妨放慢腳步，回到學(xué)生身邊，基于兒童的認(rèn)知規(guī)律，利用具體的操作和形象的圖示，讓學(xué)生有所感、有所知，建立符合他們認(rèn)知的表象，以此為基，逐步構(gòu)建，渡向抽象。

（二）從抽象再回到具象

小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)三角形的三邊關(guān)系對(duì)該年齡段的學(xué)生來(lái)說(shuō)比較抽象難理解。教師借助教具的擺放，或是課件動(dòng)畫(huà)的演示可以給學(xué)生理解的具象支持，從而使學(xué)生獲得清晰的認(rèn)識(shí)，得出最終結(jié)論：任意兩邊之和大于第三邊，即利用較短的兩邊之和大于最長(zhǎng)邊就可以直接判斷給出的三條邊能否圍成三角形。但是在進(jìn)行相關(guān)的變式練習(xí)時(shí)，學(xué)生不易直接利用已有結(jié)論進(jìn)行具體遷移，但可以結(jié)合動(dòng)手操作和嘗試推理等解決抽象問(wèn)題的方法進(jìn)行一般遷移。比如已知三角形周長(zhǎng)，怎樣確定三角形三條邊分別是多長(zhǎng)這類(lèi)問(wèn)題，直接從三角形三邊關(guān)系入手比較困難。我們可以引導(dǎo)學(xué)生回顧探索三邊關(guān)系的過(guò)程，在嘗試擺畫(huà)的過(guò)程中，逐漸逼近極端情況：最長(zhǎng)邊是兩短邊之和時(shí)正好圍不成。此時(shí)，如果繼續(xù)增長(zhǎng)最長(zhǎng)邊更加圍不成，如果縮短最長(zhǎng)邊則開(kāi)始圍得成。在圖像和數(shù)據(jù)的同步呈現(xiàn)下，學(xué)生真正理解解決該問(wèn)題的突破口乃是首先確定最長(zhǎng)邊：最長(zhǎng)邊必須小于三角形周長(zhǎng)的一半。接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)三角形的三邊關(guān)系，通過(guò)有序列舉和簡(jiǎn)單計(jì)算就能夠確定另外兩條邊的長(zhǎng)度分別是多長(zhǎng)了。

由此可見(jiàn)，孩子真正理解抽象的概念是需要具體形象的感性材料支撐的，在理解抽象概念之后，運(yùn)用抽象概念和方法解決比較綜合的難題時(shí)，也不能保守，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生再回到具體，重拾感性材料，借助直觀(guān)圖示，深入剖析問(wèn)題關(guān)鍵，尋找解題突破口，將難題分解和降級(jí)，使理解負(fù)擔(dān)減輕，從而讓學(xué)生對(duì)具體方法運(yùn)用得更靈活，對(duì)抽象概念理解得更深刻。

二、善用變式，突出本質(zhì)

在閱讀本書(shū)的過(guò)程中，我發(fā)現(xiàn)張老師特別熱衷于也特別善于在變式練習(xí)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念的理解和對(duì)思維的提升。在鄭毓信教授的《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》中也提到了“變式理論”：具體地說(shuō)，為了防止學(xué)生將相關(guān)實(shí)例的某些特殊性質(zhì)誤認(rèn)為相應(yīng)概念的本質(zhì)屬性，我們?cè)诮虒W(xué)中就不應(yīng)局限于平時(shí)所經(jīng)常用到的一些實(shí)例（這就是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)變式”），也應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地引入一些“非標(biāo)準(zhǔn)變式”，另外，教學(xué)中我們還應(yīng)有意識(shí)地引入一定的“反例”……盡管上述分析主要是針對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)進(jìn)行的，但其主要結(jié)論對(duì)于“問(wèn)題解決”的教學(xué)顯然也是同樣適用的。

（一）概念中的變式

在概念教學(xué)中，學(xué)生往往會(huì)因?yàn)榻o出的例證過(guò)于典型，而下意識(shí)地縮小概念外延。張老師在書(shū)中就提到了梯形的概念。孩子們?cè)谏钪泻蜁?shū)本上見(jiàn)到的梯形一組不平行的對(duì)邊方向都類(lèi)似于一撇一捺，一旦遇到上底的一端超過(guò)下底這端的邊緣，孩子們自發(fā)地忽視了梯形的本質(zhì)特征，而選擇根據(jù)頭腦中典型的例證推想這不是梯形。因此有必要在學(xué)生認(rèn)識(shí)梯形的初期就適當(dāng)引入這樣的例子，完善學(xué)生對(duì)梯形的正確認(rèn)識(shí)，同時(shí)也提醒孩子在判斷時(shí)不能盲目地歸納，而要抓住概念的本質(zhì)特征進(jìn)行正確的判斷。

其實(shí)在圖形與幾何中不乏這樣的存在。就以四邊形、平行四邊形、長(zhǎng)方形和正方形的包含關(guān)系為例，學(xué)生學(xué)習(xí)了長(zhǎng)方形后，會(huì)根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)和課堂圖示，在自我歸納中形成長(zhǎng)方形的表象：兩組對(duì)邊分別平行，有四個(gè)直角，并且一組對(duì)邊為長(zhǎng)邊，另一組對(duì)邊為短邊，形狀是長(zhǎng)長(zhǎng)的或者扁扁的。在學(xué)習(xí)完正方形特征后，學(xué)生會(huì)更傾向于對(duì)兩者進(jìn)行區(qū)分，而非聯(lián)系。即使再三強(qiáng)調(diào)，學(xué)生也沒(méi)有真正認(rèn)可正方形是特殊的長(zhǎng)方形。怎樣才能讓學(xué)生從聯(lián)系的角度出發(fā)，發(fā)自?xún)?nèi)心地接受兩個(gè)圖形之間存在的包含關(guān)系呢？教師可以在學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方形和正方形概念穩(wěn)固的前提下，采用動(dòng)態(tài)的演示：將一個(gè)普通四邊形，逐步變形到平行四邊形，再到長(zhǎng)方形，最后到正方形。在變形的過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生感受圖形原有特征的不變、與原來(lái)相比產(chǎn)生變化的新增特征，在遞進(jìn)中體會(huì)圖形概念中特征的重疊，抓住幾類(lèi)圖形概念的本質(zhì)，理解逐層包含的關(guān)系，真正接納正方形是特殊的長(zhǎng)方形，也能領(lǐng)會(huì)長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形，平行四邊形是特殊的四邊形。既學(xué)會(huì)在對(duì)比中理解概念間的區(qū)別，也學(xué)會(huì)在對(duì)比中接納概念間的聯(lián)系。

（二）解決問(wèn)題中的變式

在應(yīng)用題教學(xué)中，張老師常組織一題多變、一題多解、一題多問(wèn)、一式多算等活動(dòng)，在這些活動(dòng)中增強(qiáng)學(xué)生興趣，強(qiáng)化學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)的思維能力，在日常的練習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的理性思考品質(zhì)。

在單元教學(xué)后出現(xiàn)的大量習(xí)題為了鞏固新知，往往形式和內(nèi)容上比較單一，學(xué)生極易出現(xiàn)借助經(jīng)驗(yàn)解題的情況，在這樣的練習(xí)下，如果不采取一些變式練習(xí)，教師無(wú)從真正了解學(xué)生的理解程度。因此，受到張老師的啟發(fā)，我也試著利用組題來(lái)考查學(xué)生是否真正理解問(wèn)題本質(zhì)，能夠靈活解決問(wèn)題。

比如五年級(jí)上冊(cè)的《多邊形的面積》，我們?cè)谇蟮酵恋孛娣e大小后，常常接著設(shè)計(jì)“平均每棵白菜占地9平方米”“平均每平方米需要油漆2 千克”這樣的條件，再根據(jù)這類(lèi)條件繼續(xù)求解。如果不能理解問(wèn)題實(shí)質(zhì)，這類(lèi)問(wèn)題極易混淆學(xué)生。怎樣才能讓他們經(jīng)歷思考后明確問(wèn)題本質(zhì)，做出準(zhǔn)確解答呢？我設(shè)計(jì)了以下一組題：

（1）一塊梯形菜地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果平均每棵白菜占地9 平方分米，這塊地一共可以種多少棵白菜？

（2）一塊梯形菜地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果平均每平方米需要施肥200 克，這塊菜地需要肥料多少千克？

（3）一塊梯形土地的上底是9 米，下底是12 米，高是18 米，如果每2 平方米種3 棵小樹(shù)苗，這塊地一共可以種多少棵小樹(shù)苗？

仔細(xì)一看，這組題的最后一個(gè)條件各不相同，計(jì)算的方法也不一樣，可是再深思對(duì)比，其實(shí)它們的本質(zhì)都是一樣的，那就是都要“分地”。三道題都需要按照題意對(duì)梯形的面積進(jìn)行劃分：第一題是每9 平方分米為一份，第二題是每平方米為一份，而第三題是每2 平方米為一份。在按照要求對(duì)梯形面積進(jìn)行包含除后，就能夠確定總面積里有幾份這樣的小面積，從而再確定白菜、肥料和小樹(shù)苗的數(shù)量。

在應(yīng)用題的設(shè)計(jì)、練習(xí)和講評(píng)過(guò)程中，為避免學(xué)生不加思考而直接依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)解決問(wèn)題，教師要充分利用已有素材，善于組織變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生嘗試多樣的方法，多角度去思考，真正把握問(wèn)題本質(zhì)，完成對(duì)知識(shí)的深化和對(duì)方法的靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生理性思考的品質(zhì)。

三、強(qiáng)固基礎(chǔ)，組織遷移

張老師指出，研究表明，直接影響學(xué)生遷移過(guò)程的主要有三個(gè)認(rèn)知結(jié)構(gòu)變量：一是學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)钠饛?qiáng)固作用的觀(guān)念可以利用（簡(jiǎn)稱(chēng)“可利用性”）；二是新的有潛在意義的學(xué)習(xí)任務(wù)與同化它的原有的概念系統(tǒng)的可以辨別的程度如何（簡(jiǎn)稱(chēng)“可辨別性”）；三是原有的起固定作用的觀(guān)念的穩(wěn)定性和清晰性如何（簡(jiǎn)稱(chēng)“穩(wěn)定性”）。

學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特征恰恰就是影響知識(shí)理解的重要主觀(guān)因素之一，由此可見(jiàn)，學(xué)生只有強(qiáng)固基礎(chǔ)知識(shí)，才能真正理解新知，并使新知順利同化或順應(yīng)于原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，更新并平衡認(rèn)知結(jié)構(gòu)，擴(kuò)大其規(guī)模，增厚其深度，拓寬其廣度。

（一）從負(fù)遷移到正遷移

四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了加減乘除混合運(yùn)算后，面對(duì)諸如24×5÷24×5 和25+75-25+75 這樣的綜合算式，有部分學(xué)生會(huì)根據(jù)算式中的數(shù)據(jù)所具有的對(duì)稱(chēng)特點(diǎn)，自發(fā)地被已經(jīng)學(xué)過(guò)的帶有小括號(hào)的綜合算式的運(yùn)算順序負(fù)遷移，認(rèn)為這類(lèi)算式可以先算兩邊，再算中間。在計(jì)算里，像這樣的錯(cuò)例還有很多。由此可見(jiàn)，學(xué)生在考慮運(yùn)算順序的過(guò)程中，極易被數(shù)據(jù)的特點(diǎn)影響，而忽視加減乘除四則運(yùn)算本身的運(yùn)算順序。學(xué)生之所以會(huì)存在這樣的負(fù)遷移，往往是因?yàn)檫\(yùn)算原理和方法基礎(chǔ)掌握得不夠穩(wěn)固，不同運(yùn)算類(lèi)型之間的可辨別性低。教師要在穩(wěn)固基礎(chǔ)的前提下，給學(xué)生提供更多對(duì)比、練習(xí)、提煉、歸納的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在面對(duì)計(jì)算問(wèn)題時(shí)，能夠辨別和利用的是算理而不是非本質(zhì)的數(shù)據(jù)特點(diǎn)，在利用和辨別的過(guò)程中對(duì)算理及算法進(jìn)行進(jìn)一步的鞏固理解。

（二）從水平遷移到垂直遷移

基礎(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)不僅影響著學(xué)生能否準(zhǔn)確地進(jìn)行知識(shí)方法的水平遷移，更影響著整個(gè)單元教學(xué)內(nèi)容甚至整個(gè)小學(xué)階段相關(guān)知識(shí)的垂直遷移。以圖形學(xué)習(xí)為例，學(xué)生從一年級(jí)開(kāi)始初步認(rèn)識(shí)立體圖形，再到中年級(jí)遞進(jìn)認(rèn)識(shí)平面圖形，并結(jié)合平面圖形的特點(diǎn)理解平面圖形的面積和周長(zhǎng)以及相關(guān)計(jì)算方法，再到高年級(jí)進(jìn)一步對(duì)立體圖形進(jìn)行探索和研究。要想將圖形的知識(shí)融會(huì)貫通，首先便是打好認(rèn)識(shí)圖形特征的基礎(chǔ)。比如六年級(jí)下冊(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)圓柱和圓錐時(shí)，一整個(gè)單元的教學(xué)都直指第一課時(shí)：圓柱和圓錐的特征，再向前追溯則是長(zhǎng)方體、圓形、長(zhǎng)方形等基本圖形的特征。從計(jì)算圓柱體側(cè)面積、底面積、表面積、體積，到在圓柱體上進(jìn)行彩帶的捆扎，長(zhǎng)方形、三角形的旋轉(zhuǎn)成體，從圓柱體上將商標(biāo)紙剝離……每一次知識(shí)的綜合運(yùn)用都是對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)的檢驗(yàn)。只有基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)、穩(wěn)定、可辨別，才可被準(zhǔn)確提取利用，實(shí)現(xiàn)有效地垂直遷移。因此，從一開(kāi)始就應(yīng)當(dāng)借助直觀(guān)，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確感知，發(fā)展空間觀(guān)念，利用好平面圖形和立體圖形的特征這一錨樁，將后續(xù)的綜合學(xué)習(xí)之船穩(wěn)固住。不僅僅是圖形的認(rèn)識(shí)這一領(lǐng)域，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)過(guò)程中，基礎(chǔ)知識(shí)始終占據(jù)著最為重要的位置，只有強(qiáng)固基礎(chǔ)，奠穩(wěn)基石，方能利用遷移，筑起萬(wàn)丈高樓。

（三）從特殊遷移到一般遷移

在解決問(wèn)題的策略教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生能夠在解題時(shí)，利用特殊遷移，將同類(lèi)問(wèn)題的解答做得非常棒，但是一旦問(wèn)題更綜合，類(lèi)型更豐富，題目不典型，他們往往就沒(méi)了自信，對(duì)數(shù)量關(guān)系一知半解，好像之前的知識(shí)方法的遷移在這里失效了一樣。究其原因，原來(lái)是同類(lèi)型的練習(xí)學(xué)生在解答時(shí)往往根據(jù)“經(jīng)驗(yàn)”，模仿著方法，利用特殊遷移在解題，而不是真正理解知識(shí)方法后的一般遷移。所以，在解決問(wèn)題的策略教學(xué)時(shí)，要注重學(xué)生對(duì)知識(shí)方法的真正理解，結(jié)合基礎(chǔ)練習(xí)的步驟理解、變式練習(xí)的本質(zhì)探尋、綜合訓(xùn)練的剝絲抽繭，幫助學(xué)生強(qiáng)固基礎(chǔ)，使數(shù)量關(guān)系、方法技能真正穩(wěn)固、可辨別、可利用。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的過(guò)程中，教師要關(guān)注并順應(yīng)兒童的心理特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，利用精致的引導(dǎo)和靈動(dòng)的思考，促進(jìn)兒童的心理發(fā)展和認(rèn)知發(fā)展，培養(yǎng)兒童的數(shù)學(xué)思維。教師要在兒童充分感知的前提下，利用操作和圖示，促進(jìn)學(xué)生形成表象，在直觀(guān)上理解并逐步渡向抽象，從而靈活運(yùn)用抽象概念；教師要在標(biāo)準(zhǔn)變式的基礎(chǔ)上，引入非標(biāo)準(zhǔn)變式和反例，在變式的對(duì)比思考中突出問(wèn)題本質(zhì)，完善學(xué)生的認(rèn)識(shí)，擴(kuò)展學(xué)生的思維；學(xué)生只有在基礎(chǔ)知識(shí)強(qiáng)固的背景下，才能對(duì)已學(xué)知識(shí)組織有效的正向遷移，在理解基礎(chǔ)上更新原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，才能擁有對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)連貫的學(xué)習(xí)張力。張興華老師對(duì)兒童學(xué)習(xí)心理的研究給我們最重要的啟發(fā)就是只有立足于兒童，才能成就教育教學(xué)；兒童是教育的中心，也是重心。教育人生就是成就兒童的美好人生。