課程思政融入線性代數(shù)課程教學(xué)的實(shí)踐

張四保

（喀什大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，新疆 喀什 844006）

線性代數(shù)作為代數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，是高等學(xué)校非數(shù)學(xué)專業(yè)理工科、經(jīng)管類等各專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)理論課.它主要研究有限維線性空間與線性變換等相關(guān)的基本理論，以矩陣為基礎(chǔ)，以行列式和矩陣的運(yùn)算為工具，以向量組的線性相關(guān)性和線性方程組的理論為核心，著重解決了方陣可對(duì)角化和化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的理論與方法問題.通過本課程的開設(shè)，使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本概念、基本理論與基本方法，以培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理與判斷能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)語言及符號(hào)的表達(dá)能力，提高學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)的基本概念、基本理論、基本方法分析問題和解決問題的能力，并逐步培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)創(chuàng)新、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的作風(fēng).

課程思政，即將思想政治教育元素，包括思想政治教育的理論知識(shí)、價(jià)值理念以及精神追求等融入到各門課程中去，潛移默化地對(duì)學(xué)生的思想意識(shí)、行為舉止產(chǎn)生影響[1].

2020 年5 月教育部發(fā)布的《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》明確指出，要把思想政治教育貫穿人才培養(yǎng)體系，全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，發(fā)揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養(yǎng)質(zhì)量.在2021年2 月初教育部高等教育司印發(fā)的《教育部高等教育司2021 年工作要點(diǎn)》中，將全面加強(qiáng)高校課程思政建設(shè)列為2021 年工作要點(diǎn)，并明確要求要緊緊抓住教師隊(duì)伍“主力軍”、課程建設(shè)“主戰(zhàn)場(chǎng)”、課堂教學(xué)“主渠道”，健全完善所有高校、所有教師、所有課程育人網(wǎng)絡(luò)，使各類課程與思政課程同向同行，構(gòu)建全員、全程、全方位育人大格局.如何高效地把思政元素貫穿于各個(gè)學(xué)科的課堂教學(xué)中，是一項(xiàng)創(chuàng)新與開創(chuàng)性的工作，也是在高校課堂中實(shí)施課程思政的困難所在[2].

全面推行課程思政建設(shè)是新時(shí)代高校思想政治工作的重要舉措[3].在課程思政教育理念下，如何在課程教學(xué)中融入課程思政教育是一個(gè)值得教育工作者必須思考并在實(shí)踐教學(xué)中嚴(yán)格落實(shí)的問題.本文就如何發(fā)掘線性代數(shù)課程的思政元素提出一些想法，以期對(duì)相關(guān)教育工作者有所啟發(fā)與幫助.

1 基于特定的數(shù)字意義發(fā)掘思政元素

在課程課堂教育教學(xué)過程中，教師可以從一些特定的數(shù)字出發(fā)，巧妙地引入“民族團(tuán)結(jié)”、“校史、校風(fēng)”等思政元素，幫助青年大學(xué)生樹立全國(guó)各民族大團(tuán)結(jié)、愛校護(hù)校等思想意識(shí)[4].

校史是高等院校校園文化建設(shè)的一項(xiàng)十分重要的內(nèi)容，具有重要的育人作用.從學(xué)校發(fā)展進(jìn)程中一些具有特定歷史意義的時(shí)間年份數(shù)字出發(fā)，深入挖掘課程思政內(nèi)容.以喀什大學(xué)為例，在學(xué)習(xí)分塊矩陣時(shí)，任課教師可構(gòu)建類似的矩陣，在給學(xué)生講解矩陣分塊的同時(shí)，利用數(shù)字進(jìn)行課程思政教育.按照行分塊，矩陣A可分成6 個(gè)子塊，每個(gè)子塊都可構(gòu)成一個(gè)四位數(shù)的數(shù)字，從而由這6 個(gè)數(shù)字引入校史、民族團(tuán)結(jié)、校風(fēng)等思政元素.

喀什大學(xué)辦學(xué)始于1962 年，校名為喀什師范?？茖W(xué)校，是當(dāng)時(shí)新疆維吾爾自治區(qū)5 所高等院校中唯一的高等師范院校，在新疆特別是南疆社會(huì)穩(wěn)定、基礎(chǔ)教育和經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展等方面發(fā)揮了十分重要的作用.學(xué)校在1978 年升為本科院校，更名為喀什師范學(xué)院.在1994 年和2009 年兩次被國(guó)務(wù)院授予“全國(guó)民族團(tuán)結(jié)進(jìn)步模范集體”光榮稱號(hào).學(xué)校在2015 年更名為喀什大學(xué)，2016 年被列為全國(guó)100 所轉(zhuǎn)型發(fā)展試點(diǎn)高校之一.充分發(fā)揮課堂教學(xué)的引領(lǐng)作用，通過這些有關(guān)學(xué)校發(fā)展各階段重要事件等思政元素的引入，培養(yǎng)學(xué)生作為喀什大學(xué)學(xué)子的自豪感與榮譽(yù)感，同時(shí)強(qiáng)化青年大學(xué)生民族團(tuán)結(jié)意識(shí)，在日常的學(xué)習(xí)、生活中時(shí)刻踐行民族團(tuán)結(jié)，自覺地轉(zhuǎn)化為他們的情感認(rèn)同和行為習(xí)慣.

2 基于HPM 視角發(fā)掘思政元素

數(shù)學(xué)史對(duì)增強(qiáng)數(shù)學(xué)文化的滲透，弘揚(yáng)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，感悟數(shù)學(xué)的價(jià)值，提升學(xué)生的科學(xué)精神、應(yīng)用意識(shí)和人文素養(yǎng)等都有著十分重要的現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)的歷史意義[5].HPM 是研究數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系的國(guó)際教育組織[6]，它始于1972 年召開的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)上成立的International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡(jiǎn)稱之為HPM.HPM 其功能在于通過數(shù)學(xué)史尋找數(shù)學(xué)教育的規(guī)律和經(jīng)驗(yàn)，把數(shù)學(xué)知識(shí)的歷史形態(tài)加工整理成教師和學(xué)生能夠方便使用的教育形態(tài)，使數(shù)學(xué)史為生動(dòng)活潑的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù).數(shù)學(xué)史是人類在數(shù)學(xué)研究與探索道路上奮進(jìn)的歷史，不僅包含著許多令人鼓舞、令人奮進(jìn)、引人自豪的史料，也包含著許多重要的數(shù)學(xué)思想及方法[7].

2.1 基于知識(shí)點(diǎn)的相關(guān)史料發(fā)掘思政元素

在講解線性方程組時(shí)，向?qū)W生介紹我國(guó)在方程組方面的巨大成就，如2020 年4 月被列入《教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心中小學(xué)生閱讀指導(dǎo)目錄（2020 年版）》初中段的《九章算術(shù)》《孫子算經(jīng)》《數(shù)書九章》《方程論》（清代數(shù)學(xué)家梅文鼎著）等所涉及到方程組的內(nèi)容，使學(xué)生感受我國(guó)勞動(dòng)人民的偉大成就與智慧，以增強(qiáng)其民族自豪感與自信心，堅(jiān)定文化自信，正如清代數(shù)學(xué)家梅文鼎向堪稱數(shù)學(xué)大全的《數(shù)度衍》的作者方中通所說“方子精西學(xué)，愚病西儒排西算，著《方程論》，謂雖利氏無以難”，其大概意思是：我國(guó)古代在線性方程組的研究成果是西方數(shù)學(xué)界難以比擬的，我們完全沒有必要在歐美學(xué)者面前妄自菲薄.

在線性方程組的研究方面，我國(guó)較歐洲至少早了1 500 多年.在大約成書于公元一世紀(jì)的我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》第八章方程組中，記載這樣的問題：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗.問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何”[8-9]，對(duì)這一問題，在《九章算術(shù)》中給出了算籌圖.

對(duì)于該問題，如果用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言來表示就是三元一次線性方程組，式中：x，y，z分別表示上禾、中禾、下禾各一秉的實(shí)的數(shù)量；而所給出的算籌圖就是現(xiàn)行教材中的增廣矩陣.在《九章算術(shù)》采用分離系數(shù)的方法來表示線性方程組，這就相當(dāng)于現(xiàn)行教材中的矩陣；解線性方程組所采用的是直除法，這與現(xiàn)行教材中的矩陣初等變換的原理一致.這是世界上對(duì)一次線性方程組的解法最早、最完整的刻畫，而在西方，直到17 世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲才提出完整的求解線性方程組的法則.作為一部世界數(shù)學(xué)名著，《九章算術(shù)》早在隋唐時(shí)期即已傳入朝鮮、日本，它已被譯成日、俄、德、法等多種文字版本.

2.2 基于數(shù)學(xué)家的研究成果及歷程發(fā)掘思政元素

在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展演變進(jìn)程中，數(shù)學(xué)家所創(chuàng)造積累的光輝成就以及他們孜孜不倦地追求真理所表現(xiàn)的種種感人事跡和精神品質(zhì)[10]，不僅展示了數(shù)學(xué)家開拓創(chuàng)新、追求真理的科學(xué)精神，也展現(xiàn)了數(shù)學(xué)家忠誠(chéng)愛國(guó)、獻(xiàn)身事業(yè)的高尚情懷[11]，這為大學(xué)生的精神文化塑造提供了良好的思政素材.

線性代數(shù)是一門高度抽象的數(shù)學(xué)課程.在學(xué)習(xí)的過程中，對(duì)某些具有一定計(jì)算量且繁瑣的內(nèi)容，如高階行列式的計(jì)算、行數(shù)與列數(shù)較高時(shí)矩陣的乘法、多個(gè)未知數(shù)多個(gè)方程的線性方程組的求解、利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形（或規(guī)范形）以及求一正交矩陣P，使P-1AP=Λ（A是一實(shí)對(duì)稱方陣）為對(duì)角陣等，學(xué)生往往會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，在一定程度上對(duì)課程學(xué)習(xí)失去興趣與信心.在教學(xué)過程適時(shí)地引入我國(guó)老一輩數(shù)學(xué)家的軼事，使學(xué)生學(xué)習(xí)我國(guó)老一輩在逆境中潛心學(xué)習(xí)、忘我鉆研的精神，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，以幫助學(xué)生逐步端正學(xué)習(xí)態(tài)度.

1742 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出數(shù)學(xué)界的著名猜想：任一大于2 的偶數(shù)都可寫成2個(gè)素?cái)?shù)之和，簡(jiǎn)稱1+1.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)院士在高中階段，遇到了令他終生難忘的沈元老師.沈元見陳景潤(rùn)能夠快速地解答“韓信點(diǎn)兵”問題，就鼓勵(lì)他去摘取皇冠上的明珠——哥德巴赫猜想.為此陳景潤(rùn)立誓：長(zhǎng)大無論成敗如何，都要不惜一切地去努力.為了使自己夢(mèng)想成真，陳景潤(rùn)不管是酷暑還是嚴(yán)冬，在那不足6 m2的斗室里，廢寢忘食，潛心鉆研，光是計(jì)算、推理用的演算紙就足足裝了幾麻袋.終于在1973 年《中國(guó)科學(xué)》期刊上發(fā)表了“1+2”詳細(xì)證明，引起世界巨大轟動(dòng)，這一結(jié)果被公認(rèn)是對(duì)哥德巴赫猜想研究的重大貢獻(xiàn)，是篩法理論的光輝頂點(diǎn)，國(guó)際數(shù)學(xué)界將這一重要成果稱為“陳氏定理”，至今仍在哥德巴赫猜想研究中保持世界領(lǐng)先水平.陳景潤(rùn)的事跡在1978 年以后被廣為傳頌，對(duì)尊重知識(shí)、尊重人才風(fēng)氣的形成起到了重要作用，也讓一大批青年學(xué)子深受鼓舞，堅(jiān)定了科學(xué)報(bào)國(guó)的決心.2018 年12 月18 日，在慶祝改革開放40 周年大會(huì)上，陳景潤(rùn)被黨中央、國(guó)務(wù)院授予改革先鋒稱號(hào)，頒授改革先鋒獎(jiǎng)?wù)?，并獲評(píng)為激勵(lì)青年勇攀科學(xué)高峰的典范[12].

3 基于自然科學(xué)方法論發(fā)掘思政元素

自然科學(xué)方法論是培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)素質(zhì)的有效指導(dǎo)理論.在教育教學(xué)過程中，自然科學(xué)方法論在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)以及培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神等方面都有著積極的指導(dǎo)作用.在課堂教學(xué)過程中，教師應(yīng)緊密結(jié)合課程知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用科學(xué)方法論深入挖掘課程內(nèi)容的思政元素，積極培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng).

案例n階行列式的定義.

先介紹二階行列式和三階行列式的構(gòu)造.

二階行列式的構(gòu)造為

由式（1）可以看出，二階行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：（1）二階行列式為2=2!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)都是2個(gè)位于不同行不同列的元素的乘積，若把每一項(xiàng)2 個(gè)元素的行標(biāo)按自然排列，除不考慮符號(hào)外每一項(xiàng)都可以寫成a1p1a2p2的形式，其中列標(biāo)排列p1p2是1 與2 這2個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，這樣的排列共2 項(xiàng).（2）由于每一項(xiàng)的行標(biāo)排列都是自然排列，每一項(xiàng)所帶的符號(hào)與行標(biāo)排列無關(guān)，現(xiàn)只需考慮列標(biāo)排列.項(xiàng)a11a22列標(biāo)排列12 的逆序數(shù)為0，是一個(gè)偶排列，項(xiàng)a11a22帶“+”號(hào)；項(xiàng)a12a21列標(biāo)排列21 的逆序數(shù)為1，是一個(gè)奇排列，項(xiàng)a12a21帶“-”號(hào).

三階行列式的的構(gòu)造為

由式（2）可以看出，三階行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)為：（1）三階行列式為6=3!項(xiàng)的代數(shù)和，每一項(xiàng)都是3個(gè)位于不同行不同列的元素的乘積，若把每一項(xiàng)3 個(gè)元素的行標(biāo)按自然排列，除不考慮符號(hào)外每一項(xiàng)都可以寫成a1p1a2p2a3p3的形式，其中列標(biāo)排列p1p2p3是1，2，3 這3個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，這樣的排列共6=3!項(xiàng).（2）由于每一項(xiàng)的行列排列都是自然排列，每一項(xiàng)所帶的符號(hào)與行標(biāo)排列無關(guān)，現(xiàn)只需考慮列標(biāo)排列.項(xiàng)a11a22a33，a12a23a31，a13a21a32的列標(biāo)排列分別為123，231，312，它們的逆序數(shù)分別是0，2，2，都是偶排列，則項(xiàng)a11a22a33，a12a23a31，a13a21a32帶“+”號(hào)；項(xiàng)a11a23a32，a12a21a33，a13a22a31的列標(biāo)排列分別為132，213，321，它們的逆序數(shù)分別是1，1，3，都是奇排列，則項(xiàng)a11a23a32，a12a21a33，a13a22a31帶“-”號(hào).

通過對(duì)二階行列式、三階行列式構(gòu)造的分析，總結(jié)類推給出n階行列式的定義.

n階行列式等于所有位于不同行不同列的n個(gè)元素乘積的代數(shù)和，每一項(xiàng)都可以寫成(-1 )τa1p1a2p2…anpn的形式，即

式中：列標(biāo)排列p1p2…pn是1，2，…,n這n個(gè)數(shù)的一個(gè)排列，共有n!項(xiàng)；τ是列標(biāo)排列p1p2…pn的逆序數(shù).

對(duì)于以上的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)的過程中，教師可以提出2個(gè)問題讓學(xué)生思考，以提高學(xué)生分析問題與解決問題的能力，培養(yǎng)其科學(xué)探索精神.

問題1在n階行列式的定義（3）中，在考慮每一項(xiàng)所帶的符號(hào)是“+”還是“-”時(shí)，是將每一項(xiàng)元素的行標(biāo)按自然排列來進(jìn)行考慮的.如果將每一項(xiàng)元素的列標(biāo)按自然排列，那么項(xiàng)所帶的符號(hào)該如何確定.試對(duì)二階行列式和三階行列式進(jìn)行考慮，類推給出每一項(xiàng)元素的列標(biāo)按自然排列時(shí)n階行列式的定義或者表達(dá)式.

問題2在n階行列式的定義（3）中，在考慮每一項(xiàng)所帶的符號(hào)是“+”還是“-”時(shí)，是將每一項(xiàng)的元素行標(biāo)按自然排列來考慮，同樣也可以根據(jù)問題1 先將每一項(xiàng)的元素列標(biāo)按自然排列來考慮.如果每一項(xiàng)元素的行標(biāo)排列與列標(biāo)排列都不是自然排列，那么項(xiàng)所帶的符號(hào)該如何確定.試對(duì)二階行列式和三階行列式進(jìn)行考慮，類推給出每一項(xiàng)元素的行標(biāo)排列與列標(biāo)排列都不是自然排列時(shí)n階行列式的定義或者表達(dá)式.

通過案例的教學(xué)安排，用自然科學(xué)方法論有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生充分利用循序漸進(jìn)的方式與方法認(rèn)識(shí)問題、分析問題的能力，幫助學(xué)生牢固樹立起從點(diǎn)滴做起，積跬步以致千里的理念[13]，用科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ǚ治鰡栴}和解決問題，提升自身的科學(xué)素養(yǎng).

4 結(jié)語

線性代數(shù)課程的開設(shè)班級(jí)為理學(xué)、工學(xué)、管理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科一年級(jí)本科生[14].而剛?cè)胄５膶W(xué)生相對(duì)來說年齡較小、思想活躍，易于接受與理解新思想，因而在線性代數(shù)課堂上講好課程思政具有很重要的意義，對(duì)學(xué)生的世界觀、人生觀、價(jià)值觀等的培養(yǎng)具有重要作用.本文針對(duì)線性代數(shù)課程中融入課程思政問題，從特定的數(shù)字意義、HPM 視角、自然科學(xué)方法論這3 個(gè)方面，闡述發(fā)掘課程思政元素相關(guān)做法.教學(xué)實(shí)踐表明，這些措施有助于將傳授知識(shí)技能與培育理想信念相結(jié)合，構(gòu)建全課程育人格局，達(dá)到了立德樹人的育人目標(biāo).