矩陣秩的定義教學(xué)設(shè)計新探

張鳳霞，宋穎

（聊城大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東聊城 252000）

矩陣的秩是線性代數(shù)中的一個基本概念，在線性代數(shù)中起著重要的作用。可以說矩陣的秩與線性代數(shù)中的所有內(nèi)容有關(guān)，如：矩陣的秩可以刻畫行列式是否為零，可以刻畫矩陣的可逆性，可以刻畫向量組的線性相關(guān)性，可以判斷線性方程組是否有解以及有解時解的個數(shù)，可以決定二次型的標準形中非零項的項數(shù)，它也與矩陣的特征值有關(guān)聯(lián)，并且在其他學(xué)科也有廣泛的應(yīng)用[1-2]。鑒于矩陣的秩在線性代數(shù)中的重要性以及概念本身的抽象性，因此如何在課堂上引入這個概念，這是值得任課教師認真思考的。正是基于這樣的一種考慮，我們討論如何以一種順其自然、水到渠成的方式引入矩陣秩的概念，從而使學(xué)生更容易地理解這一抽象的概念，提高教學(xué)效果。

縱觀對矩陣秩的概念的引入[3-6]，基本上是采用英國的數(shù)學(xué)家Sylvester 于1851年給出的定義，即矩陣的秩為矩陣中非零子式的最高階數(shù)。該定義形式上非常簡單，但是很難理解為什么這樣定義，矩陣的非零子式的最高階數(shù)到底具有什么樣的特征，為什么要單單給它命名？ 下面我們給出一種引入矩陣秩的定義的新的教學(xué)設(shè)計，教學(xué)設(shè)計的前提是學(xué)習(xí)了矩陣的初等變換、矩陣的等價標準形，介紹了矩陣的k 階子式的概念。

1 教學(xué)設(shè)計

1.1 提出問題，引出概念

1.1.1 提出問題

每一個矩陣作初等變換，都可以化為標準形

但是在化標準形的過程中，初等變換的過程卻不盡相同。由此，提出問題：不同的變換形式下，所得的標準形唯一嗎？

1.1.2 分析問題

標準形的形式取決于標準形中單位矩陣的階數(shù)r，所以考慮r 有什么樣的特征。k 階子式是我們剛剛學(xué)習(xí)的內(nèi)容，因此就從k 階子式的角度考查r 的特征。經(jīng)過分析，r 是標準形中非零子式的最高階數(shù)，而標準形是矩陣A 作初等變換得到的。啟發(fā)學(xué)生探討r 與A 之間的關(guān)系：r 是否也是矩陣A 的非零子式的最高階數(shù)？ A作初等變換化為標準形，如果初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數(shù)，那么就能保證r 是A 的非零子式的最高階數(shù)，同時也能保證標準形由A 唯一確定，即如圖1的關(guān)系。

圖1 初等變換與標準形唯一性的關(guān)系圖

當初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數(shù)時，r是A 的非零子式的最高階數(shù)是顯然的。為了使學(xué)生更好地理解標準形由A 唯一確定，下面做出分析，見圖2。

圖2 矩陣非零子式的最高階數(shù)與標準形唯一性的關(guān)系圖

1.1.3 問題轉(zhuǎn)化

由上面的分析，所以標準形唯一性的問題，就轉(zhuǎn)化為考查“初等變換是否改變矩陣非零子式的最高階數(shù)”的問題。接下來針對該問題進行分析。

分析 初等變換分為初等行變換與初等列變換，先看行變換的情形。設(shè)矩陣A 經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锽，設(shè)A，B 的非零子式的最高階數(shù)分別為hA與hB，下證hA=hB。

由于A 的非零子式的最高階數(shù)為hA，所以A 中存在某個h 階子式D≠0。

當A 對換i，j 兩行得到B 或者A 的第i 行乘以k得到B 時，總能在B 中找到與D 對應(yīng)的hA階子式D1，并且D1=D 或D1=-D 或D1=kD，因此D1≠0，從而hA≤hB。

當A 的第J 行乘以l 加到第i 行得到B 時，因為對換i，j 兩行時，hA≤hB成立，所以不妨考慮A 的第2 行乘以l 加到第1 行得到B 時這一特殊情形。下面分兩種情況討論：

（1）若A 的hA階子式D 不包括A 的第1 行或者既包括第1 行也包括第2 行，此時B 中與D 對應(yīng)的hA階子式D1與D 相等，故hA≤hB。

（2）若A 的hA階子式D 包含A 的第1 行不包含第2 行，此時把B 中與D 對應(yīng)的hA階子式D1，記作

D1==D+lD2，rk表示D 的第k 個行向量，此時D2也是B 的hA階子式，由于D1-lD2=D≠0，所以D1與D2不同時為0，因此B 中存在hA階非零子式D1或D2，故hA≤hB。

以上分析說明了，A 施行一次初等行變換變?yōu)锽，有hA≤hB。由于B 亦可經(jīng)過一次初等行變換變?yōu)锳，所以，hB≤hA，因此hA≤hB。

經(jīng)過一次初等行變換，非零子式的最高階數(shù)不變，所以經(jīng)過有限次初等變換非零子式的最高階數(shù)也不變。

再看列變換的情形。設(shè)A 經(jīng)過初等列變換變?yōu)锽，則AT經(jīng)過初等行變換為BT，由以上分析知hAT=hBT。而矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣有相同的各階子式，所以它們的非零子式的最高階數(shù)相等，因此hA=hAT，hB=hBT，所以hA=hB。

綜上分析，可以得到如下結(jié)論：

定理1 初等變換不改變非零子式的最高階數(shù)。

因此，前面提出的轉(zhuǎn)化后的問題解決了。

1.1.4 解決問題

根據(jù)前面的分析，由于初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數(shù)，所以標準形就是由矩陣A 唯一確定的，并且標準形中單位矩陣的階數(shù)就是非零子式的最高階數(shù)，問題解決。

設(shè)計意圖 矩陣秩的定義為矩陣的非零子式的最高階數(shù)，這一點在課本上看上去是非常突然的，為什么要這樣定義？ 非零子式的最高階數(shù)到底具有什么樣的一個特征？我們通過探究標準形唯一性的問題，發(fā)現(xiàn)了非零子式的最高階數(shù)是初等變換過程中的不變量，這種不變量，在數(shù)學(xué)上是非常重要、也是非常有意義的一個量，從而才會給它命名。

1.2 總結(jié)歸納，形成概念

初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數(shù)，也即非零子式的最高階數(shù)是矩陣初等變換過程中的不變量。這種變換過程中的不變量，在數(shù)學(xué)上是很重要的，是數(shù)學(xué)中非常重要的研究對象，我們就可以給它命名，從而引出概念。

定義1 矩陣A 的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A 的秩，記為R(A)。

強調(diào)矩陣的秩關(guān)注的是矩陣非零子式的階數(shù)，而且是階數(shù)中最高的一個。也就是若R(A)=r，則A 至少有一個r 階子式不為零(R(A)≥r)，而A 所有的高于r 階的子式(如果存在的話)全為零（R(A)≤r)。

上面的秩的概念是由英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特在1851年給出的，但是當時并沒有“秩”這樣的一種表述，一直到20 多年后的1879年，“秩”的表述由德國的數(shù)學(xué)家弗羅貝尼烏斯在他的一篇文章《On linear substitions and bilinear forms》中首次引入[7]。

設(shè)計意圖 追尋秩的產(chǎn)生足跡，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)史。

圖3 西爾維斯特與弗羅貝尼烏斯

分析 按照定義，要計算矩陣的秩，就是要找矩陣非零子式的最高階數(shù)。層層分析，求出矩陣A 的秩。解 由于

所以A 中存在2 階非零子式。注意到A 的第3 行元素為前兩行對應(yīng)元素的和，根據(jù)行列式的性質(zhì)，所以A 的3 階子式全為零，因此R（A）=2。

設(shè)計意圖 鞏固對矩陣秩的概念的理解，同時也可以引申出按照定義來計算階數(shù)較高的矩陣的秩往往是比較繁瑣的，這在數(shù)學(xué)中是不可取的，從而提出問題：有沒有簡單的計算矩陣秩的方法？

在例1 中，我們看到用定義計算矩陣的秩，尤其是階數(shù)較高的矩陣往往是比較繁瑣的。這在數(shù)學(xué)上是不可取的，有沒有簡單的計算矩陣秩的方法？聯(lián)系前面結(jié)論：初等變換不改變非零子式的最高階數(shù)，矩陣的非零子式的最高階數(shù)定義為矩陣的秩，所以初等變換不改變矩陣的秩，而每一個矩陣都可以化為標準形。

因此A 的標準形的秩就是A 的秩，即標準形含有1 的個數(shù)，就是A 的秩。因此求一個矩陣的秩就可以轉(zhuǎn)化為求矩陣的標準形，從標準形中獲得矩陣的秩。再回到例1，用初等變換的方法，求A 的秩。

解 對A 作初等變換得

所以R（A）=2。

設(shè)計意圖 呼應(yīng)例題1，給出求矩陣秩的另一方法，這通常是較簡單的一種方法。同時引出矩陣的秩也可以從標準形的角度來定義。

既然標準形中1 的個數(shù)就為矩陣的秩，所以我們也可以從標準形的角度定義矩陣的秩。

定義2 矩陣A 的標準形中所含1 的個數(shù)，稱為矩陣A 的秩。

設(shè)計意圖 照應(yīng)前面的結(jié)論：初等變換不改變非零子式的最高階數(shù)，并且又從標準形的角度給出了矩陣秩的另一定義，也解決了矩陣秩的求解問題。

1.3 拓展延伸，回顧總結(jié)

矩陣的秩是刻畫矩陣的一個數(shù)字特征，看上去比較簡單，但卻是線性代數(shù)中一個非常重要的概念，有諸多應(yīng)用。比如后面的線性方程組理論中、向量組的線性相關(guān)性方面、矩陣的特征值方面以及二次型的理論中，秩的應(yīng)用實際上早已超出了數(shù)學(xué)的范圍，它在控制論、圖像處理中都有應(yīng)用。

前述，我們從解決矩陣的標準形唯一性的問題出發(fā)，給出了Sylvester 定義的矩陣的秩，之后，為了問題的需要與前后呼應(yīng)，又從標準形的角度定義了矩陣的秩。除此之外，矩陣秩還有其他的定義方式，我們會在后面的學(xué)習(xí)中繼續(xù)介紹。

2 教學(xué)總結(jié)

該教學(xué)設(shè)計以解決標準形唯一性問題為起點，通過對問題的分析、轉(zhuǎn)化與解決，獲得了初等變換過程中的不變量，同時也完成了矩陣秩的概念的建構(gòu)，這種教學(xué)設(shè)計符合學(xué)生的認知規(guī)律，能夠讓學(xué)生更好地理解這個知識點，也能夠培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題、解決問題的能力。在引出矩陣秩的概念后，在計算矩陣的秩的問題中，又回到了前面在分析問題中所得到的結(jié)論——初等變換不改變矩陣非零子式的最高階數(shù)，也就是初等變換不改變矩陣的秩。通過每個矩陣都可以化為標準形，再重新認識矩陣的秩，從而利用標準形又定義了矩陣的秩。這樣的教學(xué)設(shè)計順其自然、 水到渠成，更有助于學(xué)生理解矩陣的秩這一抽象概念。