例談求解平面向量最值問題的幾種路徑

李云龍

平面向量最值問題常常涉及了向量的模、向量的夾角、向量的數(shù)量積、參數(shù)、幾何圖形等.此類問題的綜合性較強(qiáng)，對運(yùn)算能力和綜合分析能力的要求較高.本文主要介紹三種求解平面向量最值問題的路徑.

一、構(gòu)建坐標(biāo)系

有些平面向量最值問題較為復(fù)雜，很難快速理清其中的幾何關(guān)系，或某些點(diǎn)的位置不確定，此時可根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)構(gòu)建合適的平面直角坐標(biāo)系，求出各個點(diǎn)、線段的向量坐標(biāo)，通過向量坐標(biāo)運(yùn)算來求得問題的答案.

例1.已知在矩形 ABCD 中，AB =2，AD =1，點(diǎn) P，Q 分別在邊 BC ，CD 上運(yùn)動，∠PAQ =45°，則求B M C N AD =1.若M，N分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且B C =C D，求的最大值.

解：以 A 為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD 所在的直線分別為 x軸，y軸，建立如圖 1 所示的平面直角坐標(biāo)系.由 AB = 2，AD = 1，可知 A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1）.設(shè)點(diǎn) P（2，y），Q（x，1），其中 0 ≤ x ≤ 2，0 ≤ y ≤ 1.由 ∠PAQ = 45°可得，即，所以 ， 當(dāng)且僅當(dāng) ，即 y = 2 2 - 2 時等號成立，故 的最小值為 .

由于本題中 P、Q 的位置不確定，很難建立關(guān)于P、Q 的關(guān)系式，于是根據(jù)矩形 ABCD 的性質(zhì)、特點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，運(yùn)用坐標(biāo)法來解題.這樣便將向量的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則和基本不等式來求解即可求得最值.

二、運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)

在求最值時常需用到函數(shù)的性質(zhì)：單調(diào)性和有界性.在求解平面向量的最值問題時，我們也可先根據(jù)題意求得目標(biāo)式，然后將其看作函數(shù)式，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題，通過討論函數(shù)的單調(diào)性、有界性，求得函數(shù)的最值.

例 2 .在

解：

我們先以 A B，A D 為基底，求得 A M、A N 的表達(dá)式，再引入?yún)?shù)λ，將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為關(guān)于λ的二次函數(shù)式，借助二次函數(shù)的單調(diào)性和有界性求得最大值.

三、數(shù)形結(jié)合

平面向量兼有代數(shù)、幾何兩重身份，因此在解答平面向量最值問題時，可將數(shù)形結(jié)合起來，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題.首先根據(jù)題意畫出相應(yīng)的幾何圖形，通過分析圖形的性質(zhì)、位置關(guān)系，根據(jù)三角形法則、平行四邊形法則建立相關(guān)的關(guān)系式，求得問題的答案.

例3.最小值.

解：

向量的不等關(guān)系中蘊(yùn)含著幾何關(guān)系.在解答本題時，可根據(jù)已知不等式構(gòu)造單位圓以及三角形，通過分析圖形中點(diǎn)的位置，求得最值.

相比較而言，第三種路徑最為簡單，第一、二種路徑雖然比較常用，但是運(yùn)算量較大.可見，解答平面向量最值問題，可從多方面進(jìn)行考慮，如從向量坐標(biāo)運(yùn)算、函數(shù)的性質(zhì)、幾何圖形等方面來解題.

（作者單位：江蘇省高郵中學(xué)）