解題寶典比較兩個(gè)函數(shù)式大小的三種思路

楊寒寒

比較兩個(gè)函數(shù)大小的問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在各類試題當(dāng)中.此類問(wèn)題主要考查函數(shù)的運(yùn)算、圖象、性質(zhì).本文重點(diǎn)介紹比較兩個(gè)函數(shù)式大小的三種思路，以幫助同學(xué)們拓寬解題的思路，更高效地解答這類問(wèn)題.

一、利用導(dǎo)數(shù)法進(jìn)行比較

有些題目中要比較的兩個(gè)函數(shù)式具有相同的結(jié)構(gòu)、特點(diǎn)，我們可以據(jù)此來(lái)構(gòu)造同構(gòu)式，對(duì)其求導(dǎo)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)式的大小.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法解題的關(guān)鍵是，借助導(dǎo)函數(shù)與0之間的關(guān)系來(lái)探討同構(gòu)式的單調(diào)性，進(jìn)而比較出兩個(gè)函數(shù)式的大小.

例 1.

解：

在解答本題時(shí)，我們通過(guò)構(gòu)造函數(shù)式 f （x） = ln xx ，對(duì)其求導(dǎo)，從而判斷出函數(shù)的單調(diào)性，得到了兩個(gè)函數(shù)式的大小關(guān)系.對(duì)于結(jié)構(gòu)類似的兩個(gè)函數(shù)式，一般都可以采用導(dǎo)數(shù)法來(lái)比較它們的大小.

二、利用基本不等式進(jìn)行比較

有些問(wèn)題較為復(fù)雜，我們需要借助基本不等式來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)式的大小，首先構(gòu)造滿足基本不等式的應(yīng)用條件：“一正”“二定”“三相等”，然后利用基本不等 式 a + b ≥ 2 ab （a、b ∈ R+）、a + b + c3 ≥ 3abc （a、b、c ∈ R+） 及其變形式來(lái)判斷兩個(gè)函數(shù)式的大小關(guān)系.

例 2.

解：∴ a ≤ b ≤ c .

解答本題，要首先判斷函數(shù) f （x） = logm x 的單調(diào)性，然后借助基本不等式比較 sin θ + cos θ2 、 sin θ cos θ、sin 2θsin θ + cos θ 的大小，進(jìn)而利用函數(shù)的單調(diào)性比較a、b、c 的大小.

三、借助中間量進(jìn)行比較

借助中間量來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)式的大小，需首先找到一個(gè)合適的中間量，作為連接要比較的兩個(gè)函數(shù)式之間的橋梁，通過(guò)與中間量比較，進(jìn)而得到兩個(gè)函數(shù)之間的大小關(guān)系.選擇合適的中間量是解題的關(guān)鍵，一般可選1，0，-1等.

例3.已知 a = log 32 ，b = log0.20.3 ，c = tan11π3 ，則a、b、c 的大小關(guān)系為_(kāi)___.

A.c < b < a B.b < a < c

C.c < a < b D.b < c < a

解：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，a = log 3 2 > log 3 3 = 1，0 < b = log0.2 0.3 < log0.2 0.2 = 1，由正切函數(shù)的性質(zhì)可得，c = tan11π3 = tan 2π3 = - 3 < 0，所以 c < 0 < b < 1 < a ，故正確答案為A.

這里把“ log 3 3 = 1”作為a、b的中間量，把“0”作為b、c的中間量，借助對(duì)數(shù)函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)來(lái)比較三個(gè)函數(shù)式的大小.

通過(guò)上述分析，同學(xué)們可以發(fā)現(xiàn)，無(wú)論運(yùn)用哪種思路來(lái)解題，都需要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行合理的變形，都要用到函數(shù)的單調(diào)性，因此熟練掌握函數(shù)的運(yùn)算法則、性質(zhì)是比較函數(shù)式大小的前提條件.

（作者單位：江蘇省沭陽(yáng)如東中學(xué)）