“雙管齊下”，解答圓錐曲線中的定點(diǎn)問題

蘇盈盈

圓錐曲線中的定點(diǎn)問題是指圓錐曲線或直線過定點(diǎn)的問題，此類問題往往會(huì)涉及一些動(dòng)曲線或者動(dòng)直線，在解題時(shí)，我們需根據(jù)題意求得動(dòng)曲線或動(dòng)直線的方程，然后證明參數(shù)無論怎樣變化，動(dòng)曲線或動(dòng)直線恒過一個(gè)定點(diǎn).解答此類問題，通常需靈活運(yùn)用函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想.下面結(jié)合一道典型例題，談一談解答圓錐曲線定點(diǎn)問題的方法.

例題：已知 A 、B分別為橢圓：x2+y2=1a >1的左、右頂點(diǎn)，G 為上頂點(diǎn)，如圖所示，且 A G?G B =8.點(diǎn) P 為直線 x =6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PA，PB 分別與橢圓交于 C，D 兩點(diǎn).（1）求橢圓 E 的方程;（2）證明：直線 CD 過定點(diǎn).

一、先設(shè)后求

先設(shè)后求是指先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程或圓錐曲線的方程，然后將其代入題設(shè)中進(jìn)行求解.運(yùn)用這一方法解題的步驟為：（1）根據(jù)題意設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程或圓錐曲線的方程;（2）將圓錐曲線的方程與直線的方程聯(lián)立成方程組，消去x 或y，構(gòu)造出一元二次方程;（3）根據(jù)韋達(dá)定理得出一元二次方程的兩根的關(guān)系式;（4）根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式、弦長公式、斜率公式等建立關(guān)系式，求得動(dòng)曲線或動(dòng)直線的方程，消去參數(shù)，求出定點(diǎn)坐標(biāo).

解：

這里主要運(yùn)用先設(shè)后求的方法證明直線 CD 過定點(diǎn).先設(shè)出 P 點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求出直線 PA 、PB 的方程，再將所求直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立，從而求出點(diǎn) C 和點(diǎn) D 的坐標(biāo)以及直線 CD 的方程，進(jìn)而確定定點(diǎn)的坐標(biāo).

二、設(shè)而不求

設(shè)而不求是指先設(shè)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線的方程或圓錐曲線的方程，并將其視為已知的值代入題設(shè)中進(jìn)行求解，最后通過消去設(shè)出的參數(shù)，求得問題的答案.運(yùn)用舍而不求方法解題，能有效避免繁瑣的運(yùn)算，提升解題的效率.

對(duì)于本題，我們可先設(shè) C（x1，y1） ， D（x1，-y1），根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程求出直線 PC 、PD 的方程，然后將其與橢圓的方程聯(lián)立，通過消參的方式得到一元二次方程，繼而求出關(guān)于x1，y1的表達(dá)式，最后通過對(duì)過定點(diǎn)的直線的方程進(jìn)行整理和化簡(jiǎn)，求得定點(diǎn)的坐標(biāo).

解：

解答圓錐曲線中的定點(diǎn)問題，要從缺少的條件入手，設(shè)出相關(guān)的點(diǎn)、直線、曲線的方程，采用先設(shè)后求、設(shè)而不求的方式來解題.圓錐曲線中的定點(diǎn)問題較為復(fù)雜，側(cè)重于考查同學(xué)們的綜合分析能力、數(shù)學(xué)思維能力以及運(yùn)算能力.因此，同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中，不僅要熟練掌握?qǐng)A錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，還需注重培養(yǎng)綜合分析能力、數(shù)學(xué)思維能力以及運(yùn)算能力.

（作者單位：江蘇省漣水縣外國語高級(jí)中學(xué)）