對(duì)一道不等式恒成立問(wèn)題解法的探究

李新慧

不等式恒成立問(wèn)題是使不等式在某個(gè)條件下恒成立的問(wèn)題，常與函數(shù)、方程、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、線性規(guī)劃等知識(shí)相結(jié)合.解答此類問(wèn)題可以從多個(gè)角度探究，尋找合適的解題思路.下面以一道題為例，探究一下解答不等式恒成立問(wèn)題的方法.

題目：已知函數(shù) fx=ax2+bx+c 的圖象過(guò)點(diǎn)-1，0，問(wèn)當(dāng) a， b， c 為何值時(shí)，不等式 x ≤fx≤（1+x2）對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立？

仔細(xì)分析題目不難發(fā)現(xiàn)，需從函數(shù)的解析式和目標(biāo)不等式出發(fā)，建立關(guān)于常數(shù)a 、b 、c 之間的關(guān)系式，以確定使不等式恒成立的條件.通過(guò)研究，筆者找到了以下兩種思路.

一、運(yùn)用方程思想求解

不等式與方程的關(guān)系緊密.在解答不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，我們可將不等式與方程關(guān)聯(lián)起來(lái)，根據(jù)題意構(gòu)造方程，如通過(guò)賦值，令不等式或其中的某一部分式子為0等方式來(lái)構(gòu)造方程，然后通過(guò)解方程或者方程組，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、判別式來(lái)解題.對(duì)于本題，我們可從特例出發(fā)，分別令x =0、1，構(gòu)造關(guān)于a、b、c 的方程組，建立關(guān)于a、b、c 的關(guān)系式，求得使不等式恒成立的a、b、c 的值.

解：因?yàn)楹瘮?shù) fx=ax2+bx +c 的圖象過(guò)點(diǎn)-1，0，

所以 a -b +c =0.又因?yàn)?x ≤fx≤1+x2對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，令 x =0，有0≤ c ≤;令 x =1，則1≤ a +b +c ≤1，所以 a +b +c =1.聯(lián)立方程組a（a） b（b） c（c） 得 b = ，c = -a，所以0≤ -a ≤，所以0≤ a ≤ .將 b = ，c = -a ，代入 x ≤fx≤（1+x2）中，可得?（ì） x-2-2a 1--x 其解集為 R .當(dāng) a =0或 時(shí)，上述不等式不能對(duì)一切實(shí)數(shù) x 都成立，所以0<a<.又因?yàn)棣?=1-8a1-2a≤0，Δ2=1-8a（1-2a）≤0得出4a -12≤0，所以 a =c = .綜上所述，當(dāng) a =，b =， c = 時(shí)不等式x ≤fx≤1+x2對(duì)一切實(shí)數(shù)x 都成立.

二、數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是解答不等式問(wèn)題的重要手段.在解答不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造合適的函數(shù)模型，然后畫(huà)出函數(shù)的圖象，通過(guò)分析函數(shù)圖象的交點(diǎn)、增減性、對(duì)稱性、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)、切點(diǎn)等，建立使不等式恒成立的關(guān)系式，即可解題.對(duì)于本題，需分別構(gòu)造函數(shù) gx=x 、hx=1+x2，根據(jù)兩函數(shù)的圖象討論 fx=ax2+bx+c 的位置，與新構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)、切點(diǎn)，建立關(guān)系式求得a 的值，進(jìn)而得到b 、c 的值.

解：

可見(jiàn)，解答不等式恒成立問(wèn)題，需展開(kāi)聯(lián)想，善于遷移知識(shí)，運(yùn)用發(fā)散性思維，將不等式與方程、函數(shù)等知識(shí)關(guān)聯(lián)起來(lái)，從不同的角度尋找解題的方案.解答不等式恒成立問(wèn)題的方法還有很多種，同學(xué)們?cè)谌粘W(xué)習(xí)中要注意總結(jié)、積累解題的經(jīng)驗(yàn).

本文系甘肅省“十三五”教育規(guī)劃課題《基于核心素養(yǎng)導(dǎo)向和高考評(píng)價(jià)體系的高中數(shù)學(xué)情境教學(xué)策略開(kāi)發(fā)與研究》研究成果，課題編號(hào)GS【2020】GHB2144.

（作者單位：甘肅省酒泉中學(xué)）