以向量為“工具”，解答立體幾何問題薄賀霞

立體幾何問題對同學(xué)們的抽象思維和空間想象能力的要求較高，而很多同學(xué)這方面的能力又比較薄弱，此時可運用向量法，將立體幾何問題巧妙地轉(zhuǎn)化為向量問題，利用向量知識來解題.下面重點談一談如何運用向量法解答立體幾何問題.

一、利用向量法證明線面平行與垂直

利用向量法證明直線與平面平行或垂直，需先根據(jù)幾何圖形的特點建立合適的空間直角坐標(biāo)系，給各條線段賦予方向，并求得各個點、線段的坐標(biāo)，然后根據(jù)直線與平面垂直的定義建立關(guān)系式，求得平面的法向量.若直線l、m 為平面α內(nèi)的兩條直線，且直線l 的方向向量為，直線m 的方向向量為，設(shè)為平面的可求得法向量.要證明直線與平面平行，只需證明直線的方向向量與平面的法向量垂直;要證直線與平面垂直，只需證明直線與平面的法向量共線.

例1.如圖1，在四棱錐 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且AC⊥DC，AB⊥AD，∠ABC =60°，PA =AB =BC，點 E 為 PC 的中點，求證：PD⊥平面 ABE .

證明：∵PA⊥底面 ABCD，且 AB⊥AD，∴AB， AD， AP 兩兩垂直，以點 A 為原點，以 A B，A D，A P 的方向為x，y，z 軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè) PA =AB =BC =k，可得 B（k，0，0），A0，0，0，P0，0，k，

∵AB =BC，∠ABC =60°，∴AC =AB =k .?? ∵∠DAC =30°，且 DC⊥AC，點 E 為 PC 的中點，

∴ C（， ，0），D（0， ，0），E（， k，）.??? ∴A B =（k，0，0），A E =（， k，），P D =（0， ， -k），

設(shè) m =（x， y， z）為平面 ABE 的法向量，可得 A B ? m =0，A E ? m =0，即 kx =0， x + ky + z =0，

設(shè) y =2，∴x =0，z =- ，∴ m =（0，2，-），

而 P D = k m，∴P D// m，∴PD⊥平面ABE.

解答本題，首先需根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)定理證明 AB，AD，AP 兩兩垂直，這樣便可建立空間直角坐標(biāo)系，求得各個點、線段的坐標(biāo)以及平面 ABE 的法向量，而 P D與共線，則可證明直線PD垂直于平面 ABE.

二、利用向量法求二面角

要求二面角的大小，需先求得二面角的兩個半平面的法向量，再根據(jù)夾角公式求得兩個法向量的夾角.若二面角α-l -β的兩個半平面α、β的法向量分別為1、2，且<1，1>=θ，二面角的大小為φ，則φ為θ或π-θ，且 cos φ=| cos θ|=

例2.已知四棱錐 S -ABCD 的底面為直角梯形， SA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∠ABC =90°，SA =AB =BC =1， AD = ，求平面 SCD 與平面 SAB 所成角的余弦值.

解：∵SA⊥平面 ABCD，AB⊥AD，∴AD，AB，AS 兩兩垂直.以點 A 為原點，以 A B，A D，A S 為坐標(biāo)軸，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，可得 A0，0，0， Dè（?），0，0?（?），B0，1，0，S（0，0， 1），C1，1，0，則 A D =（ ，0，0）， S C =（0， 1，-1），S D =（ ，0， -1），

又 AD⊥平面 SAB ，則平面 SAB 的法向量2為 A D =（10，0），

設(shè)平面 SCD 的法向量為2=（x，y，z），

則 S D ?2=0，S C?2=0，即 x -z =0，y -z =0，令 z =1，可得 x =2，y =1，所以2=（2，1，1），

則 cos <1，2>= = ，即平面 SCD 與平

面 SAB 所成角的余弦值為 .

在求二面角時，要注意結(jié)合圖形判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，以防得出結(jié)論的錯誤.

在采用常規(guī)方法求解立體幾何問題遇到困難時，同學(xué)們可采用向量法，將立體幾何問題巧妙地轉(zhuǎn)化為向量問題，能有效地提升解題的效率.

（作者單位：新疆喀什第二中學(xué)）