張若琪 高明

解三角形問題的難度一般不大，常與三角形、正余弦定理、三角函數(shù)、不等式等知識相結(jié)合，側(cè)重于考查正余弦定理、勾股定理、三角函數(shù)的性質(zhì)與圖象.解答解三角形問題的方法有很多種，下面我們結(jié)合一道典型實(shí)例來談一談如何從多個角度尋找求解解三角形問題的思路.

一、試題再現(xiàn)

題目：（2021年北京高考，第16題）已知在ΔABC中，c =2b cosB，C =，求 B 的大小.

本題為中等難度的題目.題干中給出了c、 b 與 B 的關(guān)系式，以及 C 的度數(shù)，要求 B 的大小，需從給出的邊、角的關(guān)系式入手，可運(yùn)用正余弦定理、三角形的面積公式，通過構(gòu)造三角形的外接圓、直角坐標(biāo)系等方式，從多個角度進(jìn)行探究，尋找解題的思路.

二、解法探究

角度一：運(yùn)用正、余弦定理求解

解法1：因?yàn)?c =2b cosB，

由正弦定理可得 sin C =2sinBcosB，

根據(jù)二倍角公式可得sin C = sin2B，

因?yàn)?C = ，C ∈（0， π），

所以 sin2B = ，

所以2B =或2B =（舍），所以 B = .

由 c =2b cosB 能很快聯(lián)想到正弦定理，便可根據(jù)正弦定理和二倍角公式求得角 C 以及角 B .

解法2：因?yàn)?c =2b cosB，所以 cosB= ，

由余弦定理cosB= 得 = ，

化簡得 ac2=a2b +c2b -b3，①因?yàn)?c =，由余弦定理可得 c2=a2+b2+ab，②

由①②得到a3-a2b =0，所以 a =b ， c = b，

所以ΔABC 為等腰三角形，所以 B = .

先利用余弦定理將已知的角之間的關(guān)系化為邊之間的關(guān)系式，構(gòu)造出兩個方程，通過解方程組明確 a 、b 、c 之間的關(guān)系，從而求得角 B 的度數(shù).

利用正余弦定理可快速實(shí)現(xiàn)邊、角之間的轉(zhuǎn)化.一般地，運(yùn)用正弦定理可將邊化為角，運(yùn)用余弦定理可將角化為邊.在解題時，若已知的角或與角相關(guān)的條件關(guān)系較多，可先運(yùn)用正弦定理求解;若已知的邊或與邊相關(guān)的條件較多，可先考慮運(yùn)用余弦定理求解.

角度二：采用面積法求解

解法3：如圖1所示，延長 BC 作 AD⊥ CB .

因?yàn)?C =，所以 AD = b，

所以 SΔABC=?BC ?AD = ab，

由三角形面積公式知 SΔABC=2ac sinB，

因?yàn)?a ≠0，b ≠0，c ≠0，所以 sinB=? ，由cosB= 可得2sinBcosB= = sin 2B，所以 B = .

將所求角放置于直角三角形中，這樣便可快速求出角的正余弦值，而 C = 為特殊角，所以作AD⊥ CB，這樣就作出了三角形的高，運(yùn)用三角形的面積公式即可解題.當(dāng)已知關(guān)系式中出現(xiàn)邊與角的正弦值的乘積時，就可將其與三角形的面積公式關(guān)聯(lián)起來，運(yùn)用三角形的面積公式進(jìn)行求解.值的注意的是，三角的面積公式可用不同的角來表示，即 SΔABC =ac sinB = ab sin C = bcsinA .

角度三：通過構(gòu)造外接圓求解

解法4：設(shè)三角形 ABC 的外接圓的半徑為 R，如圖2，

由正弦定理可知sinB = sin C =2R，

因?yàn)?C =，得 R = ，

因?yàn)?a ≠0， b ≠0， c ≠0，3

因?yàn)?c =2b cosB，

可得2sinBcosB= =sin 2B，

所以 B = .

我們知道，正弦定理 = = =2R 中的 R 是三角形 ABC 的外接圓的半徑.因此在解答解三角形問題時，我們可根據(jù)三角形構(gòu)造出其外接圓，借助外接圓以及圓弧的性質(zhì)來解題.對于本題，我們需先構(gòu)造出△ABC 的外接圓半徑，設(shè)出半徑，再根據(jù)正弦定理以及圓周角的性質(zhì)求得 B 的正弦值，進(jìn)而求出 B 的度數(shù).

角度四：借助坐標(biāo)系法求解

解法5：如圖3，以點(diǎn) C 為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，可得 C（0，0） ， B（a，0），因?yàn)?C =，可知∠ACD = ，A（- b，? b），

因此 B C =（-a，0），B A =（- b -a，? b），則cosB= = ，與研究因?yàn)?c =2b cosB，則 cosB= = ，

因?yàn)?a ≠0，所以 b2+2ab -c2=0，

又因?yàn)?C =

由余弦定理知c2=a2+b2+ab，

可得c2=a2+b2+ab，則 B = .

要求 B，于是想到 B 的余弦值，除了利用余弦定理，還可以用兩向量夾角的余弦公式.構(gòu)建直角坐標(biāo)系，設(shè)出 A、 B、 C 三點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量 B C、B A，利用兩向量夾角的余弦公式建立關(guān)于a、 b、 c 的關(guān)系式，最后運(yùn)用余弦定理求得角 B 的大小.對于與幾何圖形相關(guān)的問題，只要方便建立直角坐標(biāo)系，便可運(yùn)用坐標(biāo)系法來解題.求得各個點(diǎn)、線段的坐標(biāo)，就能將問題轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)運(yùn)算問題來求解.

解三角形問題既與三角函數(shù)相關(guān)聯(lián)，也與平面幾何圖形相關(guān)聯(lián)，因此在解題時，我們不僅要靈活運(yùn)用三角函數(shù)知識、平面幾何知識、解三角形知識，還需運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來輔助解題.同時還需學(xué)會展開聯(lián)想，遷移知識，將問題與函數(shù)、方程、最值、平面幾何、不等式等聯(lián)系起來，結(jié)合代數(shù)知識、幾何知識，從多個角度進(jìn)行探究，尋找多種不同的方法來解題，以拓寬解題的思路，提升解題的效率.

基金項目：基于核心素養(yǎng)下的《初等代數(shù)研究》課程開發(fā)，西華師范大學(xué)2018年教學(xué)改革項目，項目編號403350.

（作者單位：西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院）