多個(gè)變時(shí)滯二階中立型微分方程解的零點(diǎn)分布

孟智娟，房亞楠

(太原科技大學(xué) 應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，太原030024)

泛函微分方程的振動(dòng)理論是微分方程定性理論的重要組成部分[1-9]。近幾十年，許多研究者對(duì)中立型、時(shí)滯及時(shí)超微分方程振動(dòng)解的零點(diǎn)距進(jìn)行了估計(jì)[10-13]，取得了很好的研究成果。但是可以看到現(xiàn)有的大部分成果研究的都是一階線性微分方程振動(dòng)解的零點(diǎn)分布，對(duì)高階非線性時(shí)滯微分方程振動(dòng)解零點(diǎn)估計(jì)方面的研究還很少[14-16]。在本文中，為了考慮含有多個(gè)變時(shí)滯的二階非線性中立型微分方程的零點(diǎn)分布，通過泰勒公式展開，對(duì)此二階微分方程進(jìn)行降維，構(gòu)建與對(duì)應(yīng)一階微分不等式之間的聯(lián)系，非線性方程線性化處理，多個(gè)變時(shí)滯取上下界，進(jìn)而對(duì)其振動(dòng)解相鄰零點(diǎn)間的距離進(jìn)行估計(jì)。

考慮二階微分方程

(1)

振動(dòng)解的相鄰零點(diǎn)之間距離的上界，其中

p(t)∈C([t0，+∞)，R-)，uk(t)，σk(t)，

τ(t)∈C([t0，+∞)，R+)，

τ0≤τ(t)≤τ1，fk(x)，g(x)∈C(R，R)，

且x≠0時(shí)，fk(x)/x≥ξk>0，0

1 相關(guān)引理

首先考慮一階時(shí)滯微分不等式

(2)

定義序列{rn}如下[15]:

n=0，1，2，…

(3)

引理1若

(H2)存在整數(shù)N≥0，T0≥t1及函數(shù)

x(t)∈C′([T0，T0+(N+3)μ0)，(0，+∞))，且x′(t)≤0，t∈[T0+μ0，T0+(N+3)μ0]，并且x(t)在[T0+2μ0，T0+(N+3)μ0]上滿足不等式(2)，那么rn>0，n=0，1，…，N+1，且

t∈[T0+(n+2)μ0，T0+(N+3)μ0]

(4)

證明:由不等式(2)得

t∈[T0+2μ0，T0+(N+3)μ0]

(5)

因x′(t)≤0，t∈[T0+μ0，T0+(N+3)μ0]，所以x(t)在[T0+μ0，T0+(N+3)μ0]上單調(diào)不增，從而

t∈[T0+2μ0，T0+(N+3)μ0]

當(dāng)t∈[T0+3μ0，T0+(N+3)μ0]時(shí)，式(5)從t-μ0到t積分并利用x(t)的單調(diào)性，得

x(t)+ρx(t-μ0)

于是

t∈[T0+3μ0，T0+(N+3)μ0]

今假設(shè)對(duì)n≤N，ri>0，i=0，1，…，n，且

T0+(N+3)μ0]

(6)

下證w(t)≥rn+1，t∈[T0+(n+3)μ0，T0+(N+3)μ0]，式(5)從t-μ0到t積分，得

(7)

由式(5)和式(6)得

將上式代入式(7)并注意到條件(H2)，可得

x(t)+x(t-μ0)eρrn-1·

x(t)+x(t-μ0)eρrn-1

x(t)+x(t-μ0)(eρrn-1)/rn-1

進(jìn)而有

t∈[T0+(n+3)μ0，T0+(N+3)μ0]

由數(shù)學(xué)歸納法知式(4)成立，證畢。

引理2假設(shè)條件(H1)與(H2)均成立，并且其中N≥1，那么

t∈[T0+3μ0，T0+(N+2)μ0]

對(duì)不等式(2)從t到ηt積分，有:

t∈[T0+μ0，T0+(N+2)μ0]

(8)

對(duì)不等式(2)從s-μ0到t積分，得

t∈[T0+μ0，T0+(N+2)μ0]

(9)

將式(9)代入式(8)得:

t∈[T0+3μ0，T0+(N+2)μ0]

即

t∈[T0+3μ0，T0+(N+2)μ0]

證畢。

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)條件(H1)與(H2)均成立，x(t)是不等式(2)在[tx，+∞)上的解，tx≥t1，則x(t)不可能在[tx，+∞)上長(zhǎng)為(Nρ+3)μ0的區(qū)間上恒正，其中Nρ由式(10)定義。

(10)

證明：不失一般性，假設(shè)在[t1，t1+τ1+σ1+(Nρ+3)a0]上方程(1)的解x(t)>0，其中t1≥t0.令w(t)=x(t)+p(t)g(x(t-τ(t)))，則

t∈[t1+τ1，t1+τ1+σ1+(Nρ+3)a0]

(11)

w(tk)=x(tk)+p(tk)g(x(tk-τ(tk)))≥

x(tk)(1+ξp(tk))≥0

這與w(tk)<0相矛盾，故L≠-∞.

將式(11)從t0到t積分，得

當(dāng)t→+∞時(shí)，右端趨近于w′(t0)-L，由于L是一個(gè)有限數(shù)，因而可得fk(x(t-σk(t)))∈L1([t0，+∞))，故t→+∞時(shí)fk(x(t-σk(t)))→0，由條件fk(x)≥ξkx，得x(t)→0(t→+∞)，從而w(t)→0(t→+∞)，進(jìn)一步w′(t)→0(t→+∞)，即L=0.

由式(11)及fk(x)/x≥ξk>0，可得

(12)

因?yàn)閣(t)=x(t)+p(t)g(x(t-τ(t)))≥p(t)ξx(t-τ(t))，因而

(13)

將式(13)代入式(12)得：

t∈[t1+τ1+σ1，t1+τ1+σ1+(Nρ+3)a0]

(14)

對(duì)w(t)用Taylor公式有：

w(t-(σk(t)-τ(t)))≤-akτ(t)w′(t-Ak(t))

將上式代入式(14)得：

w′(t-Ak(t))≤0，

t∈[t1+τ1+σ1，t1+τ1+σ1+(Nρ+3)a0]

令w′(t)=y(t)，則上式可化為：

t∈[t1+τ1+σ1，t1+τ1+σ1+(Nρ+3)a0]

(15)

例考慮二階微分方程

[x(t)-x(t-0.45)]″+

(16)

這里，p(t)=-1，τ=0.45，n=1，P1(t)=6，σ1=1，C1=1，