培養(yǎng)逆向思維，探尋解題新途徑

段振富　徐杰

[摘? 要] 數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)教學(xué)最終指向，在實(shí)際教學(xué)中教師對(duì)學(xué)生思維培養(yǎng)應(yīng)該分為兩個(gè)方向：既要重視正向思維發(fā)展，也要關(guān)注逆向思維培養(yǎng).文章以一道中考試題為例談?wù)勅绾卫媚嫦蛩季S在解題過程中另辟蹊徑、出奇制勝，然后結(jié)合對(duì)教材中求根公式的推導(dǎo)，闡述教學(xué)過程中如何培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)教學(xué);逆向思維;解決問題;中考數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)思維方式與思維習(xí)慣對(duì)解題的正確率與解題過程步驟的優(yōu)化程度影響很大，鑒于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯性，因此提升數(shù)學(xué)思維的發(fā)散性與邏輯性成了老生常談的話題. 按照思維方向的不同分為正向思維與逆向思維，常規(guī)的思維是正向的，其順應(yīng)知識(shí)的形成方向，呈現(xiàn)為大眾認(rèn)知的普遍性;而逆向思維屬于創(chuàng)造性思維的范疇，是在常規(guī)思考問題的方式上反過來尋找問題解決辦法的方式，又被稱為求異思維. 逆向思維是從正向思考方向的對(duì)立面或者其他路徑入手，通過逆向或者轉(zhuǎn)化的方式，找到解決問題的新途徑[1].

從哲學(xué)角度來看，“逆”與“正”是對(duì)立統(tǒng)一的，彼此相輔相成，逆向思維能夠在一定程度上對(duì)正向思維起到完整性的彌補(bǔ)，能夠改善正向思維中思維定式的局限性. 在正向思維的基礎(chǔ)上發(fā)展逆向思維，能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)從不同方位、不同角度、不同層次思考問題，增加思維的發(fā)散性，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的全面理解、牢固掌握、熟練運(yùn)用，從而提升學(xué)生的思維全面性與創(chuàng)造性.

從心理學(xué)的角度來看，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維，在一定程度上可以調(diào)整學(xué)生的心理狀態(tài)、優(yōu)化學(xué)生的思維模式、拓展學(xué)生的思維路徑，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生心理過程的方向重建.不管是從學(xué)生解題能力提升、心理過程完善、哲學(xué)觀念形成的角度來看，還是從學(xué)生個(gè)體觀念成型、創(chuàng)新意識(shí)形成、考試適應(yīng)性提升的角度來看，都應(yīng)該在日常教學(xué)中重視培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

下面，我們以2020年福建省中考數(shù)學(xué)卷第25題為例作說明.

已知直線l：y=-2x+10交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖像過A，B兩點(diǎn)，交x軸于另一點(diǎn)C，BC=4，且對(duì)于該二次函數(shù)圖像上的任意兩點(diǎn)P（x，y），P（x，y），當(dāng)x>x≥5時(shí)，總有y>y.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式;

（2）若直線l∶y=-mx+n（n≠10），求證：當(dāng)m=2時(shí)，l∥l;

（3）略.

對(duì)于第（2）問，按常規(guī)思路，考生多數(shù)采用正向思維解答：因?yàn)橹本€l1與直線l2的斜率相等，所以這兩條直線就是平行的.這也符合教師日常的教學(xué)要求. 但對(duì)于本題，命題者意在考查“為什么斜率相等就是平行的”，所以考生直接“用結(jié)論去證明這個(gè)問題的答案”顯然是不對(duì)的. 那么，考生到底該如何去思考這道題呢？從結(jié)論入手，倒過來思考！目標(biāo)是要證明直線平行，我們就很容易想到從幾何方向入手，由角相等可以推導(dǎo)兩條直線平行，再進(jìn)一步倒著推導(dǎo)——找到角相等. 依據(jù)題意，我們可以先證明構(gòu)造的兩個(gè)三角形相似，然后由相關(guān)性質(zhì)就可以證明我們需要的結(jié)論.

由于要根據(jù)n的取值范圍進(jìn)行分類討論，有一定難度，所以很多考生丟分嚴(yán)重. 當(dāng)然，本題也可以利用三角函數(shù)（tanα）來解決，計(jì)算過程比上面應(yīng)用相似三角形的辦法簡潔，在此不再贅述.

除了上面通過角度的關(guān)系來證明兩條直線平行，考生亦可構(gòu)造平行四邊形來證明兩條直線平行.以下，我們簡敘思維過程：

考生由k=k直接得出l∥l時(shí)沒有完整地進(jìn)行分類討論，或表示邊長時(shí)沒有使用絕對(duì)值（代數(shù)解法表述不規(guī)范），或忽略了條件“n≠10”. 根源在于思維不嚴(yán)謹(jǐn)，分類意識(shí)不夠，邏輯能力不強(qiáng)，逆向思維能力沒有得到培養(yǎng)和發(fā)展.這提醒我們，在日常教學(xué)中需要讓學(xué)生形成變通思維，即當(dāng)正向思維受阻時(shí)迅速轉(zhuǎn)向逆向思維.

對(duì)學(xué)生逆向思維的培養(yǎng)不是僅通過一節(jié)專題課就可以實(shí)現(xiàn)的，而是需要教師在備課時(shí)通過先入為主的預(yù)設(shè)對(duì)學(xué)生進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng)，不斷把逆向思維融入具體的教學(xué)過程中，比如常見的定義（概念）、定理、公式的學(xué)習(xí)過程中，通過長期的積累和摸索發(fā)現(xiàn)能夠滲透逆向思維的地方. 具體而言，筆者總結(jié)了以下幾方面常見的逆向思維滲透的模型.

首先，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，教師要總結(jié)歸納某些概念的雙向性，幫助學(xué)生在概念的理解上有全面的認(rèn)識(shí).例如，在“絕對(duì)值”的概念學(xué)習(xí)時(shí)，教師既要從正向提問“3的絕對(duì)值是多少”，也要從逆向提問“什么數(shù)的絕對(duì)值是3”. 在這樣的雙向思考下，學(xué)生才能對(duì)有理數(shù)的絕對(duì)值形成完整的理解.

其次，在數(shù)學(xué)定理的教學(xué)過程中，也要適當(dāng)有意識(shí)地對(duì)學(xué)生的逆向思維進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練. 例如，在學(xué)習(xí)了幾何圖形的性質(zhì)定理后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考將性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論顛倒過來，探究能否得到這個(gè)圖形的判定定理.養(yǎng)成這樣的逆向思考的習(xí)慣后，學(xué)生自然能在面對(duì)一個(gè)新的圖形時(shí)，有意識(shí)、有方法地進(jìn)行自主探究，在這個(gè)過程中學(xué)生的學(xué)習(xí)能力自然能夠得到提升.

再者，在數(shù)學(xué)公式的教學(xué)中，教師也可以有意識(shí)地進(jìn)行公式的逆向觀察，培養(yǎng)學(xué)生獲取信息的能力. 例如，在“加權(quán)平均數(shù)”的教學(xué)中，為了決定錄取哪位應(yīng)試者，教師通常會(huì)給出應(yīng)試者各項(xiàng)考核項(xiàng)目的成績，要求學(xué)生計(jì)算成績的加權(quán)平均數(shù)，決定錄取結(jié)果.反過來，教師也可以給出應(yīng)試者成績的加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算過程，讓學(xué)生分析考官對(duì)哪些考核項(xiàng)目更加重視，應(yīng)試者在哪些考核項(xiàng)目上體現(xiàn)出了優(yōu)勢(shì)或劣勢(shì)，應(yīng)試者應(yīng)該注意培養(yǎng)哪方面的能力才能有更大的機(jī)會(huì)被錄取. 這樣的逆向觀察有助于學(xué)生加深對(duì)公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，為創(chuàng)造性地利用數(shù)學(xué)公式解決問題打下基礎(chǔ).

筆者結(jié)合一元二次方程求根公式的教學(xué)，展示如何結(jié)合公式的推導(dǎo)過程進(jìn)行逆向思維的培養(yǎng). 在教授公式法解一元二次方程時(shí)，通過對(duì)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）進(jìn)行配方，得到

x+2=. 根據(jù)平方的非負(fù)性，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)Δ=b2-4ac>0時(shí)，推導(dǎo)出一元二次方程的求根公式x=，x=;②當(dāng)Δ=b2-4ac=0時(shí)，x=x=-;③當(dāng)Δ=b2-4ac<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根. 進(jìn)一步，在①②兩種情況下，推導(dǎo)出根與系數(shù)的關(guān)系：x+x=-，xx=.至此，學(xué)生就可以開始使用求根公式解一元二次方程了.

又如，教材最后根據(jù)求根公式，能夠推導(dǎo)出具有特殊結(jié)構(gòu)的結(jié)果，即根與系數(shù)的關(guān)系：“兩根之和”與“兩根之積”. 誠然，這個(gè)結(jié)果在形式上非常簡單，便于記憶. 那么我們能否進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩根的結(jié)構(gòu)特征，推導(dǎo)出兩根其他的運(yùn)算形式與系數(shù)的關(guān)系呢？比如x-x，（x≠0），x+x，x-x等.

通過上述的例子，我們可以發(fā)現(xiàn)，教師在教學(xué)中要善于研究和利用公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)，才能充分發(fā)掘公式的內(nèi)涵，在學(xué)習(xí)新公式的同時(shí)對(duì)以往所學(xué)知識(shí)適當(dāng)進(jìn)行聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)觸類旁通的目的，在推導(dǎo)過程中也能培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 在不同的思維路徑下，學(xué)生還能更加深入地思考在推導(dǎo)求根公式的過程中為什么要分類討論，根的判別式的作用在哪里，相比推導(dǎo)出公式后就急于通過大量的解方程的練習(xí)鞏固公式的應(yīng)用，這樣的逆向思維對(duì)于學(xué)生建立完備的數(shù)學(xué)知識(shí)體系顯然是大有裨益的.

總體來說，不管從學(xué)生解題能力提升、心理成長的角度來看，還是從學(xué)生哲學(xué)觀念養(yǎng)成、創(chuàng)新意識(shí)發(fā)展的角度來看，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維都是初中數(shù)學(xué)教師的應(yīng)有之舉. 結(jié)合近幾年在這個(gè)領(lǐng)域的嘗試和摸索，筆者總結(jié)出了一些培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的經(jīng)驗(yàn)，在此與同行分享：

（1）從思維結(jié)構(gòu)上來說，逆向思維與正向思維是對(duì)立統(tǒng)一的，是相輔相成、緊密相關(guān)的一個(gè)整體. 在我們?nèi)粘＝虒W(xué)過程中有很多環(huán)節(jié)都蘊(yùn)含著滲透逆向思維的意識(shí)，比如因式分解與整式乘法的關(guān)系本身就是互逆的，以及勾股定理和勾股定理的逆定理亦是如此，許多幾何的性質(zhì)定理和判定定理同樣互為逆命題，如角平分線、線段垂直平分線、平行四邊形等. 在這些內(nèi)容的教學(xué)過程中我們都應(yīng)該抓住時(shí)機(jī)，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維.

（2）逆向思維是在應(yīng)用的過程中培養(yǎng)起來的. 數(shù)學(xué)中有很多的運(yùn)算形式是互逆的，如乘方與開方、乘法與除法、加法與減法. 它們之間彼此依存，又可相互轉(zhuǎn)化，共同反映某種變化中的數(shù)量關(guān)系. 在同一級(jí)運(yùn)算中，又可以相互轉(zhuǎn)化[2]，如減法法則可以轉(zhuǎn)化為加法法則. 很多法則在應(yīng)用的過程中也是采用逆用的方式來解決問題的，如同底數(shù)冪乘法法則、冪的乘方法則，有很多題目都需要公式逆用的思路來解決問題[3].

（3）逆向思維在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中最常見的運(yùn)用是反證法. 反證法從待證命題結(jié)論的反面入手，即假定結(jié)論的反面是正確的，然后結(jié)合已知條件，經(jīng)過邏輯推理引出一個(gè)新的結(jié)論. 而這個(gè)新結(jié)論或與題設(shè)相矛盾或與已學(xué)過的定理、公理相矛盾，從而得出原命題結(jié)論的反面不正確，所以原結(jié)論正確. 當(dāng)題目有“至少”“至多”等字樣或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，一般采用的就是反證法. 最近幾年全國各地中考試卷中反證法出現(xiàn)的頻率有增加的趨勢(shì).

總之，逆向思維的培養(yǎng)不能靠短時(shí)間的突擊訓(xùn)練而完成，如果教學(xué)中教師有逆向思維培養(yǎng)預(yù)設(shè)的意識(shí)，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練，讓學(xué)生在潛移默化中形成雙向思維模式構(gòu)建的心理能力，這對(duì)提升學(xué)生的創(chuàng)新思維能力以及提供新的解題途徑有很大的幫助.

參考文獻(xiàn)：

[1] 彭石山. 逆向思維在解題中的應(yīng)用[J].? 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（24）：33-36.

[2] 沈曉生. 引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的逆向思維能力培養(yǎng)策略[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)，2021（16）：36-37+49.

[3] 李福興. 探討逆向思維及其在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用[J]. 賀州學(xué)院學(xué)報(bào)，2008（03）：118-121.