基于精確子域模型的雙定子磁通反向電機(jī)磁場(chǎng)解析計(jì)算

鄒定琛，曹江華

(華南理工大學(xué) 電力學(xué)院，廣州 510641)

0 引 言

磁通反向電機(jī)(FRM)由雙凸極永磁電機(jī)發(fā)展而來(lái)，其繞組中的磁鏈呈雙極性變化，相較于磁鏈單極性變化的雙凸極永磁電機(jī)，磁通反向電機(jī)的功率密度更大；但相較于傳統(tǒng)永磁電機(jī)，磁通反向電機(jī)的永磁體和繞組都放置在同一個(gè)定子上，定子空間更加擁擠，限制了其功率密度的提升[1]。為了進(jìn)一步提升磁通反向電機(jī)的功率密度，文獻(xiàn)[1]提出了雙定子磁通反向電機(jī)(DS-FRM)，該電機(jī)將永磁體與繞組分開放置在內(nèi)外定子上，相較于傳統(tǒng)磁通反向電機(jī)，雙定子的拓?fù)淠軌蚪獬来朋w和繞組的空間沖突問題，同時(shí)能夠在永磁體用量更少的情況下提升轉(zhuǎn)矩，此外，永磁體與繞組分開放置也進(jìn)一步提升了永磁電機(jī)的內(nèi)腔利用率以及方便永磁體的散熱[1-2]。

永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)計(jì)算是電機(jī)電磁設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化的基礎(chǔ)，目前，針對(duì)永磁電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的計(jì)算方法主要有等效磁路法、解析法和有限元法，然而等效磁路法過分依賴于經(jīng)驗(yàn)系數(shù)對(duì)結(jié)果的修正[3-5]，而修正系數(shù)與電機(jī)眾多形狀參數(shù)有關(guān)，使得修正系數(shù)難以準(zhǔn)確得到，最終求出的氣隙磁密也不夠精確；有限元法計(jì)算精度高，且能夠計(jì)算任意復(fù)雜邊界條件下的磁場(chǎng)分布，但是其建模和計(jì)算的時(shí)間太過冗長(zhǎng)，在電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中并不方便[6]；相比之下，解析法物理概念清晰，求解速度快、計(jì)算量小、參數(shù)調(diào)整方便，且有利于電機(jī)各方面性能的分析和改進(jìn)[7]。

在電機(jī)解析模型的分析中，隨著電機(jī)邊界條件的復(fù)雜度提升，其解析求解的復(fù)雜度也隨之提升。文獻(xiàn)[8]最早提出在極坐標(biāo)系下采用標(biāo)量磁位求解無(wú)槽表貼式徑向充磁永磁無(wú)刷電機(jī)的氣隙磁場(chǎng)分布。定子或轉(zhuǎn)子電樞開槽后，會(huì)使磁場(chǎng)求解域邊界變得更加復(fù)雜，針對(duì)電樞開槽后的氣隙磁場(chǎng)求解問題，文獻(xiàn)[9]采用保角變換，求得電樞開槽時(shí)的相對(duì)氣隙磁導(dǎo)函數(shù)，并與無(wú)槽時(shí)的氣隙磁場(chǎng)相乘，可以得出開槽后的氣隙磁場(chǎng)分布，但該方法只能求解開槽后的徑向磁場(chǎng)分布，而無(wú)法求出開槽切向磁場(chǎng)分布，從而無(wú)法準(zhǔn)確求出電磁轉(zhuǎn)矩；文獻(xiàn)[10]引入復(fù)磁導(dǎo)函數(shù)，能夠準(zhǔn)確求出開槽效果對(duì)氣隙磁場(chǎng)徑向和切向的影響，但是該復(fù)數(shù)磁導(dǎo)函數(shù)為一非線性復(fù)函數(shù)，求解過程復(fù)雜，且采用的是無(wú)限槽深單槽模型，無(wú)法考慮槽與槽之間的影響；文獻(xiàn)[11]采用子域模型法，將電機(jī)氣隙磁場(chǎng)求解域劃分為永磁體域、氣隙域和槽域，分別求解各個(gè)子域的拉普拉斯方程或泊松方程，并利用傅里葉級(jí)數(shù)將不同求解域的邊界條件耦合起來(lái)，該方法能夠考慮槽深對(duì)氣隙磁場(chǎng)的影響。文獻(xiàn)[12]提出了針對(duì)磁齒輪氣隙磁場(chǎng)的矢量磁位子域模型，相較于傳統(tǒng)電機(jī)，磁齒輪的轉(zhuǎn)子是由鏤空的調(diào)制塊組成，且具有內(nèi)外兩層氣隙，其邊界條件更加復(fù)雜，增加了求解復(fù)雜度，但是該模型未考慮實(shí)際的永磁體回復(fù)磁導(dǎo)率。

雙定子磁通反向電機(jī)的邊界條件十分復(fù)雜，其具有磁齒輪的轉(zhuǎn)子調(diào)制塊結(jié)構(gòu)，同時(shí)定子電樞上又開有齒槽，傳統(tǒng)計(jì)及齒槽效果的保角變換法已經(jīng)不再適用。本文將建立雙定子磁通反向電機(jī)的精確子域模型，考慮其轉(zhuǎn)子調(diào)制塊以及外定子開槽的雙重效果對(duì)內(nèi)外氣隙磁場(chǎng)的影響，同時(shí)考慮永磁體的相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率，將求解域劃分為永磁體、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙、外氣隙和外定子槽共5個(gè)求解子域，在每個(gè)子域分別求解矢量拉普拉斯方程或泊松方程，并根據(jù)邊界條件耦合各個(gè)子域磁矢位方程，采用直接解析法求解出空載氣隙磁場(chǎng)分布。以一臺(tái)12/10極的雙定子磁通反向電機(jī)模型作為算例，進(jìn)行磁場(chǎng)求解，并與有限元結(jié)果相比較，驗(yàn)證了本文模型推導(dǎo)的正確性與該方法的準(zhǔn)確性。

1 DS-FRM的磁場(chǎng)解析模型

本文以12/10極的雙定子磁通反向電機(jī)為例進(jìn)行磁場(chǎng)解析計(jì)算，其二維截面圖如圖1所示。磁通反向電機(jī)屬于磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)[13]的一種，通過轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的旋轉(zhuǎn)，對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行調(diào)制，對(duì)于不同類型的磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)，都具有共同的運(yùn)行規(guī)則[1]：

θe=Q·θm

(1)

(2)

式中，θe和θm分別為轉(zhuǎn)子位置的電角度和機(jī)械角度，Q為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊個(gè)數(shù)，n為轉(zhuǎn)速，f為頻率。

1.1 基本假設(shè)

為了便于分析，做出如下假設(shè)：

1)內(nèi)、外定子和轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的磁導(dǎo)率為無(wú)窮大；

2)永磁體的相對(duì)回復(fù)磁導(dǎo)率取其實(shí)際回復(fù)磁導(dǎo)率值；

3)定子槽為徑向直槽，槽內(nèi)無(wú)電流；

4)計(jì)算場(chǎng)域?yàn)槎S場(chǎng)，忽略端部效應(yīng)。

圖1 雙定子磁通反向電機(jī)橫截面示意圖

在空氣區(qū)域，

(3)

在永磁體區(qū)域，

(4)

極坐標(biāo)下，磁感應(yīng)強(qiáng)度為

(5)

(6)

式中，A為矢量磁位。

將二維極坐標(biāo)(r,θ)固定到定子上，以第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙和第z個(gè)外定子槽的中心作為模型的初始位置，則第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙和第z個(gè)外定子槽的的初始位置定義為

(7)

(8)

式中，θr0為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊的初始位置，θz0為外定子槽的初始位置。

為了便于各子域通解的表達(dá)和積分常數(shù)的求解，定義兩個(gè)函數(shù)[13]：

(9)

(10)

雙定子磁通反向電機(jī)的磁場(chǎng)求解域可劃分為5個(gè)求解子域：永磁體、內(nèi)氣隙、轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙、外氣隙、外定子槽。以矢量磁位A作為二維偏微分方程在極坐標(biāo)下的求解變量，則有：

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

1.2 永磁體子域通解

永磁體子域的泊松方程如下：

(16)

式中，Mr為永磁體徑向極化強(qiáng)度，Mθ為永磁體切向極化強(qiáng)度。

對(duì)于徑向充磁的永磁體來(lái)說：

(17)

其中，

(18)

式中，Br為永磁體剩磁密度，p為永磁體極對(duì)數(shù)，φi為永磁體N極中心位置角。

永磁體子域的邊界條件為

(19)

由邊界條件可得，永磁體子域的泊松方程的通解為[14]

(20)

式中，a1(n)、c1(n)為永磁體子域的積分常數(shù)；n為永磁體子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)；Xr(n)為與永磁體子域泊松方程特解相關(guān)的級(jí)數(shù)項(xiàng)，由永磁體極化強(qiáng)度決定，Xr(n)可表示為

(21)

其中，

(22)

1.3 內(nèi)、外氣隙子域通解

內(nèi)氣隙子域的拉普拉斯方程如下：

(23)

內(nèi)氣隙子域邊界條件為

(24)

其中，

(25)

由邊界條件可得，內(nèi)氣隙子域的通解為

(26)

式中，a2(n)、c2(n)、b2(n)、d2(n)為內(nèi)氣隙子域的積分常數(shù)；n為內(nèi)氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

外氣隙子域拉普拉斯方程如下：

(27)

外氣隙子域邊界條件為

(28)

其中，

(29)

(30)

由邊界條件可得，外氣隙子域的通解為

(31)

式中，a3(n)、c3(n)為外氣隙子域的積分常數(shù)；n為外氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

1.4 轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域通解

對(duì)第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域，如圖2所示,其子域拉普拉斯方程為

(32)

其邊界條件為

(33)

由邊界條件可得，第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙的子域通解為

(34)

圖2 第i個(gè)轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙及其邊界條件

其中，a0(i)、b0(i)、si(k)、ti(k)為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域的諧波系數(shù)，k為轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

1.5 外定子槽子域通解

對(duì)于外定子槽子域，如圖3所示，外定子槽子域的拉普拉斯方程為

(35)

其邊界條件為

(36)

由邊界條件可得，第z個(gè)外定子槽子域的通解為

(37)

式中，u0(z)、uz(k)為外定子槽子域的諧波系數(shù)，k為外定子槽子域磁場(chǎng)諧波次數(shù)。

圖3 第z個(gè)外定子槽及其邊界條件

2 積分常數(shù)的確定

在得到5個(gè)子域通解的情況下，可以根據(jù)相關(guān)邊界條件得出積分常數(shù)。

2.1 永磁體子域積分常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件(19)，結(jié)合式(20)、式(26)可得：

(38)

(39)

2.2 內(nèi)氣隙子域積分常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件(24)，結(jié)合式(20)、式(26)可得：

(40)

(41)

(42)

(43)

2.3 轉(zhuǎn)子調(diào)制塊氣隙子域積分常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件(33)，結(jié)合式(34)、式(36)可得：

(44)

(45)

(46)

(47)

2.4 外氣隙子域積分常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件(28)，結(jié)合式(31)、式(34)可得：

(48)

(49)

(50)

(51)

2.5 外定子槽子域積分常數(shù)的確定

根據(jù)邊界條件(36)，結(jié)合式(37)、式(31)可得：

(52)

(53)

積分常數(shù)的推導(dǎo)和求解過程見附錄A。

3 磁場(chǎng)計(jì)算和有限元驗(yàn)證

3.1 樣機(jī)參數(shù)

本文以一臺(tái)徑向充磁雙定子磁通反向電機(jī)為例，樣機(jī)參數(shù)如表1所示。

表1 雙定子磁通反向電機(jī)樣機(jī)參數(shù)

3.2 氣隙磁密分布

根據(jù)附錄A的計(jì)算結(jié)果，可以得到內(nèi)外氣隙的磁矢位系數(shù)。取內(nèi)氣隙計(jì)算半徑rig=26.25mm，則由式(5)、式(6)和式(31)可得，內(nèi)氣隙的徑向磁密和切向磁密分別為

(54)

(55)

同理，取外氣隙計(jì)算半徑rog=30.75 mm，可由式(5)、式(6)和式(31)可得，外氣隙的徑向磁密和切向磁密分別為：

(56)

(57)

圖4和圖5分別給出了雙定子磁通反向電機(jī)的內(nèi)氣隙和外氣隙磁密分布，可以觀察到對(duì)于內(nèi)外兩層氣隙，解析結(jié)果和有限元結(jié)果幾乎完全吻合。

圖4 內(nèi)層磁密分布

圖5 外層磁密分布

3.3 齒槽轉(zhuǎn)矩

根據(jù)文獻(xiàn)[14]，麥克斯韋張量法是計(jì)算電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的有效方法,其基本思路是在磁場(chǎng)中把一定體積上的體積力轉(zhuǎn)換為一組在體表面的張力進(jìn)行計(jì)算。當(dāng)永磁電機(jī)轉(zhuǎn)子和定子相對(duì)靜止時(shí)，系統(tǒng)處于一個(gè)平衡狀態(tài)，而當(dāng)兩者的相對(duì)位置發(fā)生變化時(shí)，平衡被破壞，轉(zhuǎn)子將受到趨于保持在原平衡位置的切向磁拉力的影響，形成一個(gè)永磁體與鐵心相互作用的脈動(dòng)轉(zhuǎn)矩，即所謂的齒槽轉(zhuǎn)矩：

(58)

式中，L為電機(jī)的軸向長(zhǎng)度，rig、rog為內(nèi)外氣隙磁場(chǎng)的測(cè)量半徑，B2r、B2t和B3r、B3t分別為內(nèi)外氣隙測(cè)量半徑處的徑向磁密和切向磁密。

齒槽轉(zhuǎn)矩在整個(gè)周期內(nèi)的波動(dòng)次數(shù)為

T=LCD(2p,Q)

(59)

對(duì)于12/10的雙定子磁通反向電機(jī)來(lái)說，由式可以計(jì)算出其齒槽轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)次數(shù)T=60,因此，在一個(gè)電周期內(nèi)，其齒槽轉(zhuǎn)矩的波動(dòng)次數(shù)為T/Q=6次。

圖6給出了雙定子磁通反向電機(jī)在一個(gè)電周期內(nèi)的齒槽轉(zhuǎn)矩分布，可以看出解析結(jié)果和有限元結(jié)果吻合度較高且波動(dòng)次數(shù)與計(jì)算結(jié)果一致，子域模型法求得的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為334 mNm，有限元法求得的齒槽轉(zhuǎn)矩幅值為347 mNm，誤差為3.7%，進(jìn)一步驗(yàn)證了解析模型的準(zhǔn)確性。

圖6 齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比

4 結(jié) 論

本文基于精確子域模型法建立了一種求解具有雙層氣隙、復(fù)雜邊界條件的雙定子磁通反向電機(jī)的空載磁場(chǎng)解析方法，通過解析計(jì)算其空載磁場(chǎng)的氣隙磁密分布，并與有限元結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了該解析方法的準(zhǔn)確性。在此基礎(chǔ)上，采用麥克斯韋張量法進(jìn)行齒槽轉(zhuǎn)矩的解析求解，與有限元法的結(jié)果吻合較好，從而為雙定子磁通反向電機(jī)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化奠定了良好的基礎(chǔ)。