轉(zhuǎn)換主元的思想在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題中的應(yīng)用

李樹森

(南昌縣蓮塘第一中學(xué))

在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合問題中,常常涉及多個變量(如x,a等),解題的常規(guī)思路是將函數(shù)看成關(guān)于x的函數(shù),其他變量視為參數(shù),這樣常?？梢酝ㄟ^分類討論或分離參數(shù)使問題獲解,但是面對一些導(dǎo)數(shù)試題這樣操作可能會導(dǎo)致問題復(fù)雜化.如果處理問題時能善于分析題目的結(jié)構(gòu)特征,轉(zhuǎn)換視角,嘗試將另外一個變量視為主元,通過研究函數(shù)的性質(zhì),求函數(shù)最值,這樣另辟蹊徑,往往能使問題得到簡化.本文先對一道簡單、常見的問題進(jìn)行分析,談變換主元處理與不等式有關(guān)的導(dǎo)數(shù)壓軸題,供讀者參考.

1 引出問題

例1 設(shè)不等式mx2－2x－m＋1＜0 對滿足|m|≤2的一切m都成立,求x的取值范圍.

解法1 可以將原不等式化為

解法2 將不等式化為(x2－1)m＋1－2x＜0,設(shè)f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,當(dāng)|m|≤2 時,有f(m)＜0,由

解法1視x為自變量,m為參變量,先分離參變量m,再利用分類討論處理問題.解法2視mx2－2x－m＋1＜0為關(guān)于m的不等式,通過構(gòu)造以m為變量的函數(shù)f(m)＝(x2－1)m＋1－2x,再求解問題.上述兩種解法都運(yùn)用了“主元思想”.所謂主元思想是指在含有兩個或兩個以上的未知量問題的解決過程中,選擇一個未知量作為主要研究對象,而其他未知量視作為參數(shù)或常量.從解題過程來看,例1視m為主元比視x為主元要簡便得多.事實(shí)告訴我們,若能稍微改變一下思維習(xí)慣,在含有多個變量的問題中,合理運(yùn)用“主元思想”,優(yōu)先考慮如何選擇主元是十分必要的.

用“主元思想”解決函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題會有意想不到的效果,接下來我們運(yùn)用此思想繼續(xù)探究一道高考真題.

2 真題再現(xiàn)

例2 (2021年天津卷20,節(jié)選)已知a＞0,函數(shù)f(x)＝ax－xex.若存在a,使得f(x)≤a＋b對任意x∈R成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

解法1 將不等式f(x)≤a＋b化為ax－xexa－b≤0.設(shè)φ(x)＝ax－xex－a－b,則問題可轉(zhuǎn)化為φmax(x)≤0,易知存在唯一實(shí)數(shù)m,使得φmax(x)＝φ(m)≤0,則必有φ′(m)＝0,即a＝(1＋m)em,又a＞0,m＞－1,所以

令h(x)＝(x2－x－1)ex(x＞－1),若存在a,使得f(x)≤a＋b對任意x∈R 成立,等價于存在x∈(－1,＋∞),使得h(x)≤b,即b≥hmin(x).h′(x)＝(x－1)(x＋2)ex(x＞－1),當(dāng)x∈(－1,1)時,h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,＋∞)時,h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,所以hmin(x)＝h(1)＝－e,故b≥－e.

綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍為[－e,＋∞).

解法2 將不等式f(x)≤a＋b化為a(x－1)－xex－b≤0,可研究關(guān)于a的函數(shù)g(a)＝(x－1)axex－b.由題意知存在a＞0,使得不等式(x－1)axex－b≤0,可將問題轉(zhuǎn)化為gmin(a)≤0,下面我們研究關(guān)于a的函數(shù)g(a)＝(x－1)a－xex－b.

當(dāng)x≥1時,gmin(a)＝g(0)＝－xex－b≤0,依題意,只需要對于任意x≥1,不等式－xex－b≤0恒成立,即任意x≥1,b≥－xex恒成立,只需要b≥－e.

綜上,實(shí)數(shù)b的取值范圍為[－e,＋∞).

3 解后反思

例2有三個未知元a,b,x,處理問題需要抓住“存在”“任意”“恒成立”等字眼將問題逐步轉(zhuǎn)化,解法1是常規(guī)的處理方法,將變量x視為函數(shù)的自變量也就是主元.在解決問題的過程中,將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值,充分利用好最值與極值的關(guān)系找到了參數(shù)a與極值點(diǎn)m之間的關(guān)系a＝(1＋m)em(m＞－1),將存在a轉(zhuǎn)化為存在m,利用了隱零點(diǎn)代換的思想處理,這樣可以將三元轉(zhuǎn)化為二元,得到不等式(m2－m－1)em－b≤0,此問題轉(zhuǎn)化為學(xué)生易于操作的問題.在處理過程中突顯減元思想,這也是處理多元函數(shù)問題常規(guī)的方法.解法2并沒有將其看成關(guān)于x的函數(shù),而是打破了常規(guī)視角,注意到未知元a,b之間的無依賴關(guān)系,轉(zhuǎn)換視角視未知元a為主元,將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的函數(shù),構(gòu)造函數(shù)g(a)＝(x－1)axex－b,此時未知元b,x在此構(gòu)造的函數(shù)中充當(dāng)了參數(shù).將原問題轉(zhuǎn)化為存在a＞0,使得不等式(x－1)a－xex－b≤0有解,即轉(zhuǎn)化為函數(shù)φmin(a)≤0,這樣就可以將三個未知元減少為二個未知元,進(jìn)一步將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的函數(shù),根據(jù)x的任意性,問題又轉(zhuǎn)化為恒成立問題.在高考的壓軸題中經(jīng)常會遇到含參數(shù)的函數(shù)問題,有時求導(dǎo)很復(fù)雜、分離參數(shù)難以奏效,如果采用轉(zhuǎn)換主元的思想來處理問題,會大大簡化運(yùn)算過程.

4 “主元思想”的典型應(yīng)用

4.1 主元轉(zhuǎn)換、換元輔助

4.2 變量獨(dú)立、主元切換

“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同.”從不同的角度看問題,結(jié)果也會不一樣.處理導(dǎo)數(shù)與不等式有關(guān)綜合問題的習(xí)慣性思維是以x為主元,當(dāng)解答比較困難時,我們可以嘗試改變分析問題的角度,關(guān)注變量的構(gòu)成,改變主元,逐步減元,排除參數(shù)的干擾,最終達(dá)到簡化問題的目的.

函數(shù)思想貫穿于整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中,本文通過運(yùn)用函數(shù)知識、函數(shù)思想、函數(shù)方法解決函數(shù)綜合題,突出對數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.