劉 偉 劉宏昭 胡旭宇

(1.西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院， 西安 710048; 2.西安工程大學(xué)機電工程學(xué)院， 西安 710048)

0 引言

多模式并聯(lián)機構(gòu)和多模式混聯(lián)機構(gòu)中含具有多模式的單環(huán)結(jié)構(gòu)。一些并聯(lián)機構(gòu)中含有的多模式單環(huán)結(jié)構(gòu)使得并聯(lián)機構(gòu)具有多種運動模式。將機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)看作變量，對單環(huán)機構(gòu)[1]運動模式進行分析時，現(xiàn)有的運動模式分析方法將遇到較大的挑戰(zhàn)[2]。多模式單環(huán)機構(gòu)是多模式多環(huán)機構(gòu)的基礎(chǔ)，對多模式單環(huán)機構(gòu)的運動模式分析時，將機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)作為變量，研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對多模式機構(gòu)運動模式的影響，是多模式機構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計需要解決的重要問題之一。

多模式機構(gòu)運動模式分析方法基本可分為6類：基于旋量理論、基于數(shù)值計算方法、基于高階運動學(xué)分析、基于幾何圖像方法、基于位移流形理論、基于代數(shù)幾何方法。①基于旋量理論方法。在機構(gòu)多運動模式分析時，需要對機構(gòu)的每種運動模式的運動旋量進行求解[3]。結(jié)合給定結(jié)構(gòu)參數(shù)，使用旋量理論對其進行運動模式分析比較簡便有效，使用該理論研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)運動模式影響的文獻較為少見。②基于數(shù)值計算方法。過約束機構(gòu)在折疊結(jié)構(gòu)中應(yīng)用廣泛[4-5]，設(shè)計時往往需要對機構(gòu)在折疊過程中是否發(fā)生運動模式變換進行判斷。數(shù)值計算方法在過約束機構(gòu)運動學(xué)方程不具有解析解時，給定結(jié)構(gòu)參數(shù)后，對其運動模式的研究可得到理想的結(jié)果。當(dāng)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)作為變量時，需要進行大量的計算，不易全面分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)運動模式的影響。③基于高階運動學(xué)方法。基于高階運動學(xué)對機構(gòu)的多種運動模式進行研究[6-8]，可得一些具有新型運動特征的機構(gòu)，該方法主要對具有結(jié)構(gòu)參數(shù)確定的機構(gòu)分析其高階運動特征，主要是通過高階運動學(xué)分析機構(gòu)的奇異位形運動特性。④基于幾何圖像方法。根據(jù)連桿輸出點的空間位置，通過幾何圖像法對多模式機構(gòu)模式進行分析[9-10]。通過幾何圖像分析時，需要先確定機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，目前多使用該方法在分析具有多種移動運動模式機構(gòu)所具有的運動模式。然而，機構(gòu)空間運動較移動運動更為復(fù)雜，并且機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)變換時，不容易使用該方法全面研究結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)運動模式的影響。⑤基于位移流形理論方法。位移流形理論在對機構(gòu)運動模式分析時的能力較為有限[11-12]，主要是通過機構(gòu)不同位形下，運動副之間的幾何關(guān)系，結(jié)合機構(gòu)奇異位形對機構(gòu)運動模式進行分析。位移流形理論下運動鏈的表達式中不含有機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)信息，因此目前這方面的相關(guān)研究較少。⑥基于代數(shù)幾何方法。使用代數(shù)幾何方法對機構(gòu)運動模式進行分析，主要是將機構(gòu)的運動學(xué)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程后，對其對應(yīng)的仿射簇進行相應(yīng)的準(zhǔn)素分解。文獻[13]使用輸入變量與輸出變量的代數(shù)方程系數(shù)對平面4R機構(gòu)進行了分類，將其結(jié)構(gòu)參數(shù)與八面體空間中的點建立一個映射關(guān)系。文獻[14]使用對偶四元數(shù)描述機構(gòu)的約束方程，克服了使用萬能代換求解時，需要對關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角為180°時，單獨進行分析的繁瑣計算過程。文獻[15]分析一般面對稱6R機構(gòu)的運動學(xué)方程，得到其具有多種運動模式時，機構(gòu)參數(shù)所滿足的條件，對這類6R機構(gòu)的運動特性進行了全面分析。該方法研究了機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對一類6R機構(gòu)運動模式的影響，文中指出存在一部分具有多種運動模式的該類6R機構(gòu)，并不符合其提出的多運動模式判斷依據(jù)。文獻[16]使用代數(shù)計算軟件，針對具有不同結(jié)構(gòu)參數(shù)的3RER具有的運動模式進行全面分析。代數(shù)幾何方法在機構(gòu)運動模式分析時，一般能取得比較理想的結(jié)果。然而，由于機構(gòu)運動學(xué)方程和機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù)目的增多，使得機構(gòu)運動模式分析困難。一方面，變量數(shù)目一定程度上決定了運動模式分析的復(fù)雜程度；另一方面，復(fù)雜的運動模式分析對軟件計算[17]的依賴程度較高，文獻[18]研究表明，通過軟件計算分析機構(gòu)運動模式時，需要對計算結(jié)果進行特殊的分析處理才能得到正確結(jié)果，而這個過程較繁瑣。

綜上所述，基于旋量理論、數(shù)值計算、高階運動學(xué)分析、位移流形理論，尚不能全面分析機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運動模式的影響。雖然現(xiàn)有文獻中基于代數(shù)幾何方法可以全面分析機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)運動模式的影響，但是該方法尚不能對機構(gòu)實際具有的運動模式結(jié)果進行全面解釋。使用軟件分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對機構(gòu)運動模式的影響計算量太大，且有時需要對計算結(jié)果進行分析才能得到正確結(jié)果。

本文使用代數(shù)幾何理論，基于多項式可因式分解的條件，結(jié)合機構(gòu)的運動模式，提出一種分析結(jié)構(gòu)參數(shù)對球面4R機構(gòu)運動模式影響的方法。

1 確定具有多種運動模式球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的方法

一般情況下，將機構(gòu)運動學(xué)方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程后，當(dāng)機構(gòu)構(gòu)型一定時，機構(gòu)運動學(xué)方程的形式和結(jié)構(gòu)基本確定，即運動學(xué)代數(shù)方程關(guān)于關(guān)節(jié)變量的各個多項式組成即可確定。不同的機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入機構(gòu)運動學(xué)方程，從而使得關(guān)節(jié)變量多項式系數(shù)發(fā)生改變。如果機構(gòu)運動學(xué)代數(shù)方程可以在實數(shù)范圍內(nèi)進行準(zhǔn)素分解[19]，則該機構(gòu)具有多種運動模式。那么可以根據(jù)機構(gòu)運動學(xué)代數(shù)方程分析得到可準(zhǔn)素分解的條件，求解代數(shù)方程中與機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的系數(shù)，從而設(shè)計具有多種運動模式的機構(gòu)。文獻[20]指出，對于一個代數(shù)方程而言，對該代數(shù)方程對應(yīng)的多項式進行因式分解，即是一種特殊的準(zhǔn)素分解。文獻[19]給出了判斷代數(shù)方程是否可以進行因式分解的依據(jù)，即該代數(shù)方程可寫成有理分式的參數(shù)方程時，該代數(shù)方程可因式分解。

綜上所述，可對球面4R機構(gòu)對應(yīng)的代數(shù)方程判斷其是否可轉(zhuǎn)換為有理分式表達的參數(shù)方程，對其運動模式進行分析。

使用因式分解方法對多運動模式球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運動模式影響的分析步驟為：

(1)根據(jù)球面4R機構(gòu)的4個連桿的機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)建立運動學(xué)方程

f(θi,θj)=0

(1)

(2)使用萬能代換替換球面4R機構(gòu)轉(zhuǎn)動副關(guān)節(jié)變量θi、θj的三角函數(shù)，化簡得到關(guān)于關(guān)節(jié)變量θi、θj的代數(shù)方程為

ft(ti,tj)=0

其中

ti=tan(θi/2)tj=tan(θj/2)

(3)將球面4R機構(gòu)代數(shù)運動學(xué)方程中各多項式系數(shù)，分別置零后組合，得到結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的公式。

(4)將步驟(3)得到結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的關(guān)系，代入步驟(1)中球面4R機構(gòu)的運動學(xué)方程，分析任意關(guān)節(jié)變量θi=π時的任意組合下機構(gòu)具有的運動模式。

(5)將步驟(3)得到的不同結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的公式，代入步驟(2)中球面4R機構(gòu)的運動學(xué)代數(shù)方程，判斷該方程是否可進行因式分解，從而分析機構(gòu)具有的運動模式。

(6)結(jié)合步驟(4)、(5)的結(jié)果，得到球面4R機構(gòu)具有不同運動模式時，結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足的關(guān)系。

2 球面4R機構(gòu)運動學(xué)方程與多模式結(jié)構(gòu)參數(shù)的關(guān)系

2.1 球面4R機構(gòu)運動學(xué)方程

如圖1所示球面4R機構(gòu)，4個轉(zhuǎn)動副R1、R2、R3、R4軸線相交于點o，αij為轉(zhuǎn)動副Ri轉(zhuǎn)動軸線zi繞軸線y′i轉(zhuǎn)動到與軸線zi+1重合時的角度。θi為軸線xi繞軸線zi轉(zhuǎn)動到與軸線x′i重合時的角度?？蛇x取轉(zhuǎn)動副R1、R4的關(guān)節(jié)變量轉(zhuǎn)角θ1、θ4建立運動學(xué)方程。文獻[21]給出的球面4R機構(gòu)的運動學(xué)計算公式為

圖1 球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.1 Structural parameters of spherical 4R mechanism

-s12s41c34c1-s12c41s34c1c4+s12s34s1s4-c12s41s34c4+
c12c41c34-c23=0

(2)

式(2)中sij、cij表示αij的正弦和余弦，si、ci表示轉(zhuǎn)角θi的正弦和余弦。式(2)為第1節(jié)中步驟(1)中f(θi,θj)=0，i=1，j=4。即式(2)是關(guān)于關(guān)節(jié)變量θ1、θ4的運動學(xué)方程。

2.2 球面4R機構(gòu)運動學(xué)方程轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)方程

使用萬能代換，t1=tan(θ1/2),t4=tan(θ4/2)，將球面4R運動學(xué)方程式(2)整理得到

(3)

其中

A=s12s41c34-s12c41s34+c12s41s34+c12c41c34-c23=
c34cos(α12-α41)-s34cos(α12-α41)-c23=
cos(α12-α41+α34)-c23
B=-s12s41c34+s12c41s34+c12s41s34+c12c41c34-c23=
s12sin(α34-α41)+c12cos(α34-α41)-c23=
cos(α12+α41-α34)-c23
C=s12s41c34+s12c41s34-c12s41s34+c12c41c34-c23=
s12sin(α34+α41)+c12cos(α34+α41)-c23=
cos(α12-α41-α34)-c23
D=4s12s34
E=-s12s41c34-s12c41s34-c12s41s34+c12c41c34-c23=
-s12sin(α34+α41)+c12cos(α34+α41)-c23=
cos(α12+α41+α34)-c23

式(3)為第1節(jié)步驟(2)中的ft(ti,tj)=0。

2.3 代數(shù)方程多項式系數(shù)分別置零進行組合

不考慮轉(zhuǎn)動副R1和R2以及R3和R4軸線重合，機構(gòu)中存在局部轉(zhuǎn)動自由度的情況，因而式(3)中D≠0。

當(dāng)a12-a41+a34+a23=2kπ(k=0,±1,±2,…,±n)時，式(3)中A為零，該機構(gòu)自由度為零，這種情況舍去不做分析。同理，可根據(jù)式(3)，當(dāng)A=0,B=0,C=0,E=0時分別可得到

(4)

球面4R機構(gòu)處于約束奇異位形時，4個轉(zhuǎn)動副軸線共面。關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角θ1、θ4只存在4種情況(θ1=0°，θ4=0°；θ1=0°，θ4=180°；θ1=180°，θ4=0°；θ1=180°，θ4=180°)時，球面4R機構(gòu)處于約束奇異位形，此時機構(gòu)的運動模式將具有改變的可能性。將上述4組數(shù)值，代入式(2)，變換為式(3)的代數(shù)方程，分別得到E=0，B=0，C=0，A=0。即當(dāng)該方程系數(shù)A、B、C、E分別為零時，球面4R機構(gòu)具有4個轉(zhuǎn)動軸線在同一平面的機構(gòu)奇異位形。

由于轉(zhuǎn)動副R1、R4均連接機架，可將分別滿足條件B=0和條件C=0的機構(gòu)看作一種機構(gòu)。同理，⑤和⑥、⑨和、和同為一類機構(gòu)。因而總共可分為11種情況。

3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)球面4R機構(gòu)運動模式分析

根據(jù)文獻[19]可知，當(dāng)一個代數(shù)方程轉(zhuǎn)變?yōu)閰?shù)方程后，參數(shù)方程均為有理代數(shù)分式時，則該代數(shù)方程不能被因式分解。從而可對球面4R機構(gòu)運動學(xué)代數(shù)方程是否可以進行因式分解進行判斷，進而得到球面4R機構(gòu)的運動模式。

3.1 球面4R機構(gòu)運動模式(1號A=0)

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ(k=0，±1,±2,…，±n)，且θ1=±π或θ4=±π時，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時機構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ(k=0，±1,±2,…，±n)，且θ1≠±π且θ4≠±π時，此時式(3)中的系數(shù)A為零，且B、C、D、E均不為零時，將方程式(3)看作t4的一元二次方程，得到

(5)

其中

D2-4BC=16s12s34s41s23

式(5)可以分解時，需要t4的表達式可以寫成有理分式的形式，需滿足D2-4BC>0、BE=0，或D2-4BC=0、BE<0，可得

此時機構(gòu)的運動學(xué)方程可因式分解。

然而，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅使得式(3)中A為零，則BE、D2-4BC不為零。因而，此時式(3)不能寫成兩個有理分式相乘的形式，可知此時式(3)不能分解因式，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A為零，當(dāng)θ1≠±π且θ4≠±π時，機構(gòu)只具有一種變軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

現(xiàn)以結(jié)構(gòu)參數(shù)使得式(3)中A為零的球面4R機構(gòu)為例，對其運動模式進行分析。機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=60°、α23=30°、α34=60°，該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足a12-a41+a34-a23=2kπ，且該機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)不滿足式(4)中的其他幾個關(guān)系式，如圖2球面4R機構(gòu)3維模型所示。由圖2d可知，當(dāng)機構(gòu)處于約束奇異位形時，其存在運動分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時，機構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運動不發(fā)生分岔。

圖2 球面1號4R機構(gòu)位形Fig.2 Configuration of No.1 spherical 4R mechanism

當(dāng)機構(gòu)從圖2d中點1機構(gòu)位形，保持θ4隨θ1變化的速率與點1、2、3所在曲線斜率相同時，該機構(gòu)能動態(tài)通過點2對應(yīng)的機構(gòu)約束奇異位形，到達點3所對應(yīng)的機構(gòu)位形，即該機構(gòu)可以通過點2處約束奇異位形而不發(fā)生運動分岔。實際上當(dāng)機構(gòu)速度不為零，從圖2d點1對應(yīng)位形運動到點2對應(yīng)位形時，θ4隨θ1變化的速率與點1、2所在曲線斜率相同。則當(dāng)機構(gòu)從點1所在機構(gòu)位形運動到點2對應(yīng)位形時，速度不為零時，即可通過點2所示約束奇異位形，且不發(fā)生運動分岔現(xiàn)象。同理，當(dāng)機構(gòu)從點3所示位形，運動到點4所示機構(gòu)死點位形時，使得θ1的速度不為零時，機構(gòu)可通過該死點位置。可以發(fā)現(xiàn)，在機構(gòu)的點2對應(yīng)的約束奇異位形和點4對應(yīng)的死點位形下，機構(gòu)均可動態(tài)通過，最終可到達所有的機構(gòu)位形。

同理可知當(dāng)式(3)中的系數(shù)B=0，或C=0，或E=0時，球面4R機構(gòu)只具有1種變軸線轉(zhuǎn)動運動模式，且結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足這些條件的球面機構(gòu)均與圖2所示機構(gòu)類似，機構(gòu)可動態(tài)通過約束奇異位形，可運動到機構(gòu)所有的位形。

3.2 球面4R機構(gòu)運動模式(5號A=B=0)

當(dāng)a12-a41+a34-a23=2kπ,a12+a41-a34-a23=2kπ，θ1=±π時，將機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，θ4為定值，此時機構(gòu)不具有定軸轉(zhuǎn)動模式。θ4=±π時，將機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，整理得到恒等方程0=0?？芍?可任意取值，機構(gòu)具有一種以轉(zhuǎn)動副R1為軸線的定軸轉(zhuǎn)動運動模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時，A、B為零，C、D、E均不為零，整理式(3)得到的方程為二元二次方程。將該方程看作t1的一元二次方程，得到

(6)

其中

然而，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B為零時，CE、D均不為零，因而式(6)不能分解因式。從而，根據(jù)運動模式的定義可知，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B為零，當(dāng)θ1≠±π,θ2≠±π時，連桿的瞬時軸線在隨t1、t4不斷變化，因而此時機構(gòu)只具有一種變軸線運動模式。

現(xiàn)以結(jié)構(gòu)參數(shù)使得式(3)中A、B為零的球面4R機構(gòu)為例，對其運動模式進行分析。如圖3球面4R機構(gòu)的3維模型所示，機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°，α12=45°，α23=45°，α34=90°，該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式a12-a41+a34-a23=2kπ,a12+a41-a34-a23=2kπ。從圖3d可知，當(dāng)機構(gòu)處于約束奇異位形時，其存在運動分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時，機構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運動模式不發(fā)生改變。

當(dāng)機構(gòu)從圖3d中點1機構(gòu)位形(圖3b)，保持θ4隨θ1變化的變化率與點1、2所在曲線斜率相同時，該機構(gòu)能動態(tài)通過點2對應(yīng)的機構(gòu)約束奇異位形(圖3a)，但無法到達點3所對應(yīng)的機構(gòu)位形(圖3c)，即該機構(gòu)可以通過點2處約束奇異位形而不產(chǎn)生運動分岔。同理，當(dāng)機構(gòu)從圖3d中點3機構(gòu)位形，保持θ4隨θ1變化的變化率與點2、3所在曲線斜率相同時，該機構(gòu)能動態(tài)通過點2對應(yīng)的機構(gòu)約束奇異位形，但無法到達點1所對應(yīng)的機構(gòu)位形，即該機構(gòu)可以動態(tài)通過點2處約束奇異位形而不發(fā)生運動模式改變。

圖3 球面5號4R機構(gòu)位形Fig.3 Configuration of No.5 spherical 4R mechanism

從圖3d可知，點1所對應(yīng)的機構(gòu)位形變換到點3所示機構(gòu)位形時，通過在圖3d點2所示位形時，θ4隨θ1變化的變化率需要發(fā)生突變，從而實現(xiàn)機構(gòu)運動模式的改變。一般情況下，使機構(gòu)在運動中實現(xiàn)圖3d所示兩種運動模式的變換，十分的困難?？梢允箼C構(gòu)處于點2所示奇異位形時，保持機構(gòu)靜止不動，使得轉(zhuǎn)動副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動副R4與轉(zhuǎn)動副R1轉(zhuǎn)動實現(xiàn)機構(gòu)運動模式的變換。

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)A=B=0，或A=C=0，或B=E=0，或C=E=0時，球面4R機構(gòu)只具有1種定軸轉(zhuǎn)動和1種變軸線轉(zhuǎn)動共2種運動模式。

3.3 球面4R機構(gòu)運動模式(8號B=C=0)

當(dāng)a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ且θ1=±π或θ4=±π時，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時機構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時，將8號球面機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到B、C為零，A、D、E均不為零，得到的方程為二元四次方程，即

A(t1t4)2+Dt1t4+E=0

(7)

其中

如圖4球面4R機構(gòu)的3維模型所示，機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=45°、α23=90°、α34=45°。該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ，如圖4e所示，當(dāng)機構(gòu)處于約束奇異位形時，其存在運動分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時，機構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運動不發(fā)生分岔。點3與點6所對應(yīng)的機構(gòu)位形相同，點1與點5所對應(yīng)的機構(gòu)位形相同。從圖4e所示點1位形通過點2到達點3，通過點6到達點5機構(gòu)位形，這整個運動過程屬于第1種運動模式；從圖4e所示點1位形通過點7到達點6，通過點3、4到達點5機構(gòu)位形，這整個運動過程屬于第2種運動模式。上述兩種運動模式下，連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線均隨轉(zhuǎn)角θ1和θ4不斷發(fā)生變化，即8號球面機構(gòu)只具有兩種變軸線轉(zhuǎn)動運動模式。使機構(gòu)處于奇異位形時，保持機構(gòu)靜止不動，使得轉(zhuǎn)動副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動副R4與轉(zhuǎn)動副R1轉(zhuǎn)動實現(xiàn)機構(gòu)運動模式的變換。

圖4 球面8號4R機構(gòu)位形Fig.4 Configuration of No.8 spherical 4R mechanism

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)B=C=0時，球面4R機構(gòu)只具有2種變軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

3.4 球面4R機構(gòu)運動模式(14號B=C=E=0)

當(dāng)a12+a41-a34-a23=2kπ,a12-a41-a34+a23=2kπ,a12+a41+a34+a23=2kπ，且θ1=±π或θ4=±π時，根據(jù)式(2)得到，θ4或θ1為定值，此時機構(gòu)不具有固定軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時，將14號球面機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到B、C、E為零，A、D均不為零，得到的方程為二元四次方程

t1t4(At1t4+D)=0

(8)

當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足B、C、E為零，A、D均不為零，該式可以分解因式。從而，根據(jù)運動模式的定義可知，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足B、C、E為零，球面4R機構(gòu)恒具有3種運動模式。兩種為定軸轉(zhuǎn)動模式，一種為變轉(zhuǎn)動軸線轉(zhuǎn)動模式。

如圖5所示，球面4R機構(gòu)的3維模型機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=120°、α12=60°、α23=120°、α34=60°。該結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)中的關(guān)系式，a12-a41+a34-a23=2kπ，a12-a41-a34+a23=2kπ,a12+a41+a34+a23=2kπ。

圖5 球面14號4R機構(gòu)位形Fig.5 Configuration of No.14 spherical 4R mechanism

如圖5f所示，當(dāng)機構(gòu)處于約束奇異位形時，其存在運動分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時，機構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運動模式不發(fā)生改變。使機構(gòu)處于奇異位形時，保持機構(gòu)靜止不動，使得轉(zhuǎn)動副R4和R1的轉(zhuǎn)角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動副R4與轉(zhuǎn)動副R1轉(zhuǎn)動實現(xiàn)機構(gòu)運動模式的變換。

同理可知，當(dāng)式(3)中的系數(shù)A=B=C=0,或A=B=E=0,或A=C=E時，球面4R機構(gòu)只具有2種定軸線轉(zhuǎn)動和1種變軸線轉(zhuǎn)動共3種運動模式。

3.5 球面4R機構(gòu)運動模式(15號A=B=C=E=0)

將15號球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(2)，當(dāng)θ1=±π時，得到0=0，即該式恒成立。即轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)角θ1為±π時，轉(zhuǎn)動副R4的轉(zhuǎn)角θ4可自由轉(zhuǎn)動，此時對應(yīng)球面4R機構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動副R4的軸線做定軸轉(zhuǎn)動。當(dāng)θ4=±π時，將該式整理得到0=0，即該式恒成立。即轉(zhuǎn)動副R4的轉(zhuǎn)角θ4為±π時，轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)角θ1可自由轉(zhuǎn)動，此時對應(yīng)球面4R機構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動副R1的軸線做定軸轉(zhuǎn)動。

當(dāng)θ1≠±π,θ4≠±π時，將15號球面機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)代入式(3)整理得到A、B、C、E為零，D不為零，得到二元二次方程

t1t4=0

(9)

當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B、C、E為零，D不為零，該式可以分解因式。即t1=0對應(yīng)轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)角θ1為0時，轉(zhuǎn)動副R4的轉(zhuǎn)角θ4可自由轉(zhuǎn)動，此時對應(yīng)球面4R機構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動副R4的軸線做定軸轉(zhuǎn)動。t4=0對應(yīng)轉(zhuǎn)動副R4的轉(zhuǎn)角θ4為0時，轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)角θ1可自由轉(zhuǎn)動，此時對應(yīng)球面4R機構(gòu)連桿可以繞轉(zhuǎn)動副R1的軸線做定軸轉(zhuǎn)動。

從而可知，當(dāng)球面4R機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)僅滿足A、B、C、E為零，球面4R機構(gòu)恒具有4種定軸轉(zhuǎn)動運動模式。

如圖6球面4R機構(gòu)的3維模型所示，機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)α41=90°、α12=90°、α23=90°、α34=90°，其結(jié)構(gòu)參數(shù)滿足式(4)。從圖6g可知，當(dāng)機構(gòu)處于約束奇異位形時，其存在運動分岔的可能性，但當(dāng)使得θ4隨θ1變化的斜率不發(fā)生突變時，機構(gòu)將通過該約束奇異位形且保持運動模式不發(fā)生改變。使機構(gòu)處于奇異位形時，保持機構(gòu)靜止不動，使得轉(zhuǎn)動副R4和R1的角速度為零，然后控制轉(zhuǎn)動副R4與轉(zhuǎn)動副R1轉(zhuǎn)動實現(xiàn)機構(gòu)運動模式的變換。

圖6 球面15號4R機構(gòu)位形Fig.6 Configuration of No.15 spherical 4R mechanism

綜上所述，可將式(3)的多項式系數(shù)A、B、C、E分別置零，進行組合后，得到的結(jié)構(gòu)參數(shù)關(guān)系式，可設(shè)計具有不同運動模式特征的球面4R機構(gòu)。這類球面4R機構(gòu)所具有的運動模式如表1所示。表1中Sm為機構(gòu)運動模式數(shù)目，Sf為球面4R機構(gòu)固定軸線轉(zhuǎn)動運動模式數(shù)目，Sv為球面4R機構(gòu)變軸線運動模式數(shù)目。

表1 具有約束奇異位形的球面4R機構(gòu)運動模式數(shù)目Tab.1 Motion mode of spherical 4R mechanism with constrained singular configuration

根據(jù)表1可知，1～4號機構(gòu)只具有1種變軸線轉(zhuǎn)動運動模式；5、6、9、10號機構(gòu)只具有1種定軸線和1種變軸線共2種轉(zhuǎn)動運動模式；7、8號機構(gòu)具有2種變軸線共2種轉(zhuǎn)動運動模式，11～14號機構(gòu)具有1種變軸線、2種定軸線3種轉(zhuǎn)動運動模式；15號機構(gòu)具有4種定軸線轉(zhuǎn)動運動模式。

4 球面4R機構(gòu)約束奇異位形瞬時轉(zhuǎn)動軸線

建立如圖7所示的球面4R機構(gòu)坐標(biāo)系，當(dāng)機構(gòu)的4個轉(zhuǎn)動副軸線在XOY平面內(nèi)，相交于點O。轉(zhuǎn)動副R4的軸線與向量OA重合，轉(zhuǎn)動副R1的軸線與向量OB重合。轉(zhuǎn)動副R1、R2軸線所在平面Σ12與轉(zhuǎn)動副R4、R3軸線所在平面Σ43的交線與OC重合，轉(zhuǎn)動副R4繞向量OA轉(zhuǎn)動有限角度θ4后，轉(zhuǎn)動副R1轉(zhuǎn)動有限角度θ1，轉(zhuǎn)動副R4、R3軸線所在平面OAC的法線沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R4轉(zhuǎn)動π-θ4；轉(zhuǎn)動副R1、R2軸線所在平面OBC的法線沿Z軸方向，繞轉(zhuǎn)軸R1轉(zhuǎn)動θ1。

圖7 球面4R機構(gòu)連桿瞬時軸線幾何關(guān)系Fig.7 Geometric relationship of instantaneous axis of connecting rod of spherical 4R mechanism

平面OAC的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(10)

平面OBC的法線在OXYZ坐標(biāo)系中為

(11)

平面OAC、OBC法線的共垂線平行于向量

(12)

式(12)可寫成形式

(13)

式(12)為球面4R機構(gòu)連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線的方向向量。當(dāng)球面4R機構(gòu)趨近于奇異位形時，式(12)的極限值即為球面4R機構(gòu)趨近于奇異位形時連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線。當(dāng)球面4R機構(gòu)趨近于奇異位形時c1/c4=±1。因而，約束奇異位形下連桿瞬時轉(zhuǎn)動軸線方向向量式(13)的極限值為

(14)

式(14)可通過幾何方法進行驗證。如圖7所示OA與轉(zhuǎn)動副R4的軸線重合，OB與轉(zhuǎn)動副R1的軸線重合。CA為轉(zhuǎn)動副R4、R3所在平面Σ43的直線，CB為轉(zhuǎn)動副R1、R2所在平面Σ12的直線。OC即為上述兩平面的交線，即球面4R機構(gòu)連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線。點A、B均在平面OXY上，點C在平面OXY上的投影為點D，DA垂直于OA，BD垂直于OB。由于CD垂直于AD、CD垂直于OA，且AD垂直于OA，因而根據(jù)轉(zhuǎn)動副R4的轉(zhuǎn)角θ4得出∠CAD為π-θ4。同理，根據(jù)轉(zhuǎn)動副R1的轉(zhuǎn)角θ1得出∠CBD為π-θ1。

根據(jù)圖7的幾何關(guān)系，可得到

(15)

(16)

(17)

根據(jù)式(15)～(17)可得到

(18)

球面4R機構(gòu)在運動分岔時分3種情況，第1種，兩分岔軌跡均為變軸線運動模式。第2種，兩分岔軌跡均為定軸線運動模式。第3種，兩分岔軌跡中一個為定軸線運動模式，另外一個為變軸線運動模式；計算分岔運動軌跡在機構(gòu)位形趨近于約束奇異位形時s4/s1的值。結(jié)合上述3種情況由式(14)可知，表1中球面4R機構(gòu)在趨近于約束奇異位形時，不同分岔運動軌跡連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線均不重合。

5 結(jié)論

(1)提出一種研究球面4R機構(gòu)運動學(xué)代數(shù)方程可分解因式的條件的方法，全面分析了結(jié)構(gòu)參數(shù)對其運動模式的影響。

(2)發(fā)現(xiàn)了5類具有約束奇異位形的球面4R機構(gòu)，其中多模式球面4R機構(gòu)可分為4類。即具有1種定軸線和1種變軸線共2種轉(zhuǎn)動運動模式，具有2種變軸線共2種轉(zhuǎn)動運動模式，具有1種變軸線、2種定軸線3種轉(zhuǎn)動運動模式和具有4種定軸線轉(zhuǎn)動運動模式，總共4類多模式球面4R機構(gòu)。

(3)具有約束奇異位形的球面4R機構(gòu)處于約束奇異位形時，雖然其運動可能產(chǎn)生分岔，但其運動模式不一定發(fā)生改變。因而，運動分岔機構(gòu)與多模式機構(gòu)不能等同。球面4R機構(gòu)處于約束奇異位形時，其連桿的瞬時轉(zhuǎn)動軸線均不重合。