求解平面向量數(shù)量積問題的三種途徑

潘菊平

平面向量中的數(shù)量積問題側重于考查平面向量的數(shù)量積公式、數(shù)乘運算法則、三角形法則、平行四邊形法則、共線定理以及及空間向量坐標運算法則.解答平面向量數(shù)量積問題，不僅要熟練掌握平面向量中的基本知識，還需靈活運用一些方法、技巧.下面介紹三種求解平面向量問題的途徑，供大家參考.

一、采用公式法

平面向量的數(shù)量積公式是：，其中θ為向量、的夾角.在求平面向量中的數(shù)量積時，需分別求得兩個向量的大小以及其夾角，再代入公式中進行求解.值得注意的是，數(shù)量積公式中夾角的取值范圍為0， 180o.

例1.已知正方形 ABCD 的邊長為1，點 E 是 AB 邊上的動點，求 D E·D C 的最大值.

解：如圖1，過點 E 作 EF⊥DC 于點 F .

設向量 D E 與 D C 的夾角為θ，

則|D E| cos θ= |D F|.

又 DE·DC =|DE|·|DC| cos θ，

因此 D E·D C =|D F|·|D C|= |D F|，

故當點 F 與點 C 重合時，|D F|的值最大，可得 D E·D C 的最大值為1.

解答本題主要運用了公式法，得到 D E·D C 的表達式.解答本題的關鍵在于根據(jù)余弦函數(shù)的定義，過點 E 作 EF⊥DC，于是將 D E·D C =|D E|·|D cos θ轉(zhuǎn)化為求 |D F|·|D C|的值.

二、運用基底法

運用基底法求解平面向量的數(shù)量積問題，需首先根據(jù)題意和幾何圖形的特點選取兩個合適的基底，然后用這組基底表示所求的向量，再運用平面向量的數(shù)量積公式進行求解.運用基底法解題的關鍵是選取合適的基底.

例2.如圖2，若在三角形 ABC中，OM =1，ON =2， ∠MON =120°，B M =2M A ， C N =2N A，求 B C·O M 的值.

解：B C = A C - A B =3A N -3A M =3（A N - A M）??? =3MN =3（ON - OM），

所以B C·O M =3（O N - O M）·O M =-3O M2+ 3O M·O N

=-3×1+3×1×2× cos 120°= -6.

由于題設中已給出 O N，O M 的夾角及其長度，所以可采用基底法求解.把 O N，O M 作為基底，用這組基底來表示 B C，再運用平面向量的數(shù)量積公式進行求解即可.

三、利用坐標法

若遇到一些特殊的圖形，如長方形、正方形、圓、直角三角形等，在求平面向量的數(shù)量積時，我們可根據(jù)這些圖形的性質(zhì)、特點建立平面直角坐標系，分別求得各個點、線段的坐標，通過向量運算求得所求向量的坐標，再根據(jù)向量的數(shù)量積坐標公式，就能順利求得向量的數(shù)量積.

例3.如圖3，在四邊形ABCD 中， AB⊥BC，AD⊥ CD，∠BAD =120°，AB =AD =1 .若點 E 是邊 CD 上的動點，求 A E·B E 的最小值.

解：以 D 為原點、DA 所在的直線為x 軸，以 DC 所在的直線為 y 軸，建立平面直角坐標系xDy，則點 A（1，0），B， .

連接AC ，由AB⊥BC ，AB =AD =1，

可知Rt△CDA≌ Rt△CBA ，

由∠BAC =120°，可得∠CAD =60°，則 CD = ，設點 E（0，y），y ∈[0， ]，

因為 A E·B E =（-1，y）?（- ，y - ）=（y - ）2+? ， 所以當 y = 時，A E·B E 的最小值為 .

運用坐標法解答該題，能夠快速求得問題的答案，這也充分體現(xiàn)了用代數(shù)方法解答幾何問題的思想.

相比較而言，第一、三種途徑較為簡單，第二種途徑稍微復雜，用第三種途徑運算量較大.因此，在解答平面向量的數(shù)量積問題時，要首先考慮運用公式法，若遇到困難，再考慮運用坐標法、基底法.

（作者單位：江蘇省射陽縣高級中學）