雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常見求法

辜家吉

雙曲線是圓錐曲線中的一種特殊曲線.一般地，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種：（1）若實(shí)軸或焦點(diǎn)在x 軸要求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，需明確實(shí)軸或焦點(diǎn)的位置，以及a、b、c 的取值.下面主要介紹兩種求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法.

一、定義法

利用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要找出兩個(gè)定點(diǎn)（即焦點(diǎn)）的位置或者坐標(biāo)，然后根據(jù)已知條件判斷是否有一動(dòng)點(diǎn)到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差為常數(shù)，且動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離的差值小于兩定點(diǎn)間的距離，則可根據(jù)雙曲線的定義斷定該動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線，從而確定 c和a 的值，再由 b2=c2-a2求出 b2，進(jìn)而求

出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

例1.已知兩定點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 F1-5，0，F(xiàn)25，0，動(dòng)點(diǎn) P 到定點(diǎn) F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為6，求 P? 點(diǎn)的軌跡方程.

分析：由題意可知?jiǎng)狱c(diǎn) P 到定點(diǎn) F1，F(xiàn)2距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)，即PF1-PF2=2a =6，且動(dòng)點(diǎn)P 到兩定點(diǎn) F1，F(xiàn)2距離的差值小于兩定點(diǎn)間的距離，則 P 點(diǎn)的軌跡為雙曲線，根據(jù)雙曲線的定義可分別求得a 、b 的值，從而求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

解：由題意F1F2=10> 6，PF1-PF2=6，由雙曲線的定義可知，P 點(diǎn)的軌跡是一條雙曲線.因?yàn)殡p曲線兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)在 x 軸上，所以可設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2- y2= 1a >0，b >0，因?yàn)?F1-5，0，F(xiàn)25，0，所以 c =5 ，又因?yàn)镻F1-PF2=2a =6 <2c =10，所以 a =3，則 b2=c2-a2= 16，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2- y2= 1.

二、待定系數(shù)法

利用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，先要明確雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸還是y 軸上，然后設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意建立方程組求得a，b 的值，進(jìn)而求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.如果雙曲線焦點(diǎn)的位置不易確定，也可以設(shè)雙曲線方程為 -? =1（m、n ≠0）進(jìn)行求解.若 a =b ，可設(shè)雙曲線的方程為：x2-y2= λλ≠0;若已知雙曲線的漸近線方程為± =0，可設(shè)雙曲線的方程為：x2- y2= λλ≠0.

例2.雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P2， ，且它的一條漸近線方程為y =x ，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：由雙曲線的漸近線方程： y =± x 可知，a =b，所以可設(shè)雙曲線方程為 x2-y2= λλ≠0，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入，建立關(guān)于λ 的方程，便可解題.

解：由雙曲線的一條漸近線方程為y =x，可設(shè)雙曲線的方程為 x2-y2= λλ≠0，

又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn) P2， ，可得：λ =2，

則雙曲線的方程為：x2-y2=2，

所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2- y2= 1.

例3.求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P4? ，3和Q4? ，6兩點(diǎn)，中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

分析：根據(jù)已知條件可設(shè)雙曲線的方程為 mx2-ny2= 1mn >0，再將兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程中，建立關(guān)于 m、n 的方程，通過(guò)解方程求得 m、n 的值，即可求得雙曲線的方程.

解：由題意可設(shè)雙曲線的方程為：

mx2-ny2= 1mn>0，

因?yàn)?P4? ，3和Q4? ，6在曲線上，所以? m（m）? n（n）

解得

所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2- x2= 1.

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其定義、幾何性質(zhì)以及a、b、 c 之間的關(guān)系聯(lián)系緊密，因此在求雙曲線的方程時(shí)，要靈活運(yùn)用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及a、b、c 之間的關(guān)系.

（作者單位：江西省橫峰中學(xué)）