張尚慧
求數(shù)列的通項公式問題,通常要求根據(jù)已給的遞推式求數(shù)列的通項公式.因此在求數(shù)列的通項公式時,要重點研究數(shù)列的遞推式,辨析其類型,選擇與之相應(yīng)的方法進行求解.筆者對幾種常見的求數(shù)列通項公式問題及其解法進行了歸納,下面舉例說明.
類型一: an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q型遞推式
對于形如 an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q的數(shù)列遞推式,在求其通項公式時,可在遞推式的兩邊同時除以pn+1,再將所得式子看作等比數(shù)列、常數(shù)列,利用等比數(shù)列的通項公式,或通過累加求得數(shù)列的通項公式.
例1.已知數(shù)列an中, a1= 1, an+1=2an +3n ,求數(shù)列an的通項公式.
分析:仔細觀察遞推式的結(jié)構(gòu)特征,可發(fā)現(xiàn)該遞推式形如 an +1 =pan +Aqn,可在遞推式的兩邊同時除以 2n+1,再將所得的式子構(gòu)造成公比為1的等比數(shù)列,即常數(shù)列,就很容易求得數(shù)列an的通項公式.
解:在 an+1=2an +3n的兩邊同時除以2n+1,
整理得 - è(?) ?(?)n+1= ?- è(?) ?(?)n ,
則數(shù)列?(ì)- è(?) ?(?)t(nü)是一個常數(shù)列,
所以 a1-31=-1,
因此,數(shù)列an的通項公式為 an =3n -2n .
類型二:an +1 =pan +An +B(p ≠0和1,A2+B2≠0)型遞推式
當(dāng)遇到形如an +1 =pan +An +B(p ≠0和1,A2+B2≠0)的遞推式時,可在遞推式的兩邊同時除以pn+1,然后令 An + B Pn + 1 = x( ) n + 1 + y Pn + 1 - xn + y Pn,將其整理為數(shù)列,再根據(jù)待定系數(shù)法求得 x、y 的值,將 x、y 的值代入,即可求得數(shù)列的通項公式.
解:
所以 an+1 + n +2 = an + n +1
該遞推式形如 an +1 =pan +An +B,于是在遞推式的左右兩邊同時除以4n+1,引入待定系數(shù),構(gòu)造出新數(shù)列,將問題轉(zhuǎn)化為新數(shù)列的通項公式問題來求解.
類型三: an +1 =f nan + gnf n≠0型遞推式
由 an +1 =f nan + gn型遞推式求數(shù)列的通項公式,要在遞推式的兩邊同時除以 f n,構(gòu)造新數(shù)列,再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列an的通項公式.
例3.已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn , a1=? ,Sn=n2an - nn-1,求數(shù)列an的通項公式.
解:由題意知,Sn=n2an - nn-1,①
∴ Sn +1=n +12an +1 - nn+1,②
我們先根據(jù) Sn與an的關(guān)系 an =S(S) ,-S,≥2, 消去,再在地推市的兩邊同時除以,得到常數(shù)列,這樣便能很快求得數(shù)列的通項公式.
由此可見,由遞推式求數(shù)列的通項公式,關(guān)鍵在于辨析數(shù)列的遞推式,選擇與之相應(yīng)的方法將遞推式進行適當(dāng)?shù)淖冃危缫祈?、除以某個數(shù)、引入待定系數(shù)等構(gòu)造出常規(guī)的等差、等比、常數(shù)列,這樣便將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列的通項公式問題,使問題快速得解.
(作者單位:江蘇省南京市第一中學(xué))