明晰遞推式的類型，求數(shù)列的通項公式

張尚慧

求數(shù)列的通項公式問題，通常要求根據(jù)已給的遞推式求數(shù)列的通項公式.因此在求數(shù)列的通項公式時，要重點研究數(shù)列的遞推式，辨析其類型，選擇與之相應(yīng)的方法進行求解.筆者對幾種常見的求數(shù)列通項公式問題及其解法進行了歸納，下面舉例說明.

類型一： an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q型遞推式

對于形如 an +1 =pan +AqnpqA≠0、p ≠ q的數(shù)列遞推式，在求其通項公式時，可在遞推式的兩邊同時除以pn+1，再將所得式子看作等比數(shù)列、常數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式，或通過累加求得數(shù)列的通項公式.

例1.已知數(shù)列an中， a1= 1， an+1=2an +3n ，求數(shù)列an的通項公式.

分析：仔細觀察遞推式的結(jié)構(gòu)特征，可發(fā)現(xiàn)該遞推式形如 an +1 =pan +Aqn，可在遞推式的兩邊同時除以 2n+1，再將所得的式子構(gòu)造成公比為1的等比數(shù)列，即常數(shù)列，就很容易求得數(shù)列an的通項公式.

解：在 an+1=2an +3n的兩邊同時除以2n+1，

整理得 - è（?） ?（?）n+1= ?- è（?） ?（?）n ，

則數(shù)列?（ì）- è（?） ?（?）t（nü）是一個常數(shù)列，

所以 a1-31=-1，

因此，數(shù)列an的通項公式為 an =3n -2n .

類型二：an +1 =pan +An +B（p ≠0和1，A2+B2≠0）型遞推式

當(dāng)遇到形如an +1 =pan +An +B（p ≠0和1，A2+B2≠0）的遞推式時，可在遞推式的兩邊同時除以pn+1，然后令 An + B Pn + 1 = x（ ） n + 1 + y Pn + 1 - xn + y Pn，將其整理為數(shù)列，再根據(jù)待定系數(shù)法求得 x、y 的值，將 x、y 的值代入，即可求得數(shù)列的通項公式.

解：

所以 an+1 + n +2 = an + n +1

該遞推式形如 an +1 =pan +An +B，于是在遞推式的左右兩邊同時除以4n+1，引入待定系數(shù)，構(gòu)造出新數(shù)列，將問題轉(zhuǎn)化為新數(shù)列的通項公式問題來求解.

類型三： an +1 =f nan + gnf n≠0型遞推式

由 an +1 =f nan + gn型遞推式求數(shù)列的通項公式，要在遞推式的兩邊同時除以 f n，構(gòu)造新數(shù)列，再根據(jù)等差、等比數(shù)列的通項公式求得數(shù)列an的通項公式.

例3.已知數(shù)列an的前 n 項和為 Sn ， a1=? ，Sn=n2an - nn-1，求數(shù)列an的通項公式.

解：由題意知，Sn=n2an - nn-1，①

∴ Sn +1=n +12an +1 - nn+1，②

我們先根據(jù) Sn與an的關(guān)系 an =S（S） ，-S，≥2， 消去，再在地推市的兩邊同時除以，得到常數(shù)列，這樣便能很快求得數(shù)列的通項公式.

由此可見，由遞推式求數(shù)列的通項公式，關(guān)鍵在于辨析數(shù)列的遞推式，選擇與之相應(yīng)的方法將遞推式進行適當(dāng)?shù)淖冃危缫祈?、除以某個數(shù)、引入待定系數(shù)等構(gòu)造出常規(guī)的等差、等比、常數(shù)列，這樣便將問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列的通項公式問題，使問題快速得解.

（作者單位：江蘇省南京市第一中學(xué)）