崔征山， 周揚(yáng)忠， 周祎豪

(福州大學(xué) 福建省新能源發(fā)電與電能變換重點(diǎn)實(shí)驗室，福建 福州 350108)

0 引 言

磁通切換永磁電機(jī)(flux-switching permanent magnet motor，F(xiàn)SPMM)是一種特殊無刷交流電機(jī)，因轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)簡單、永磁體置于定子上，可以使永磁散熱迅速，降低了永磁退磁的風(fēng)險。由于電機(jī)結(jié)構(gòu)呈雙凸性，在定、轉(zhuǎn)子齒尖處具有很強(qiáng)的聚磁效應(yīng)，提高了永磁體材料的利用率[1-5]。通過改變FSPMM定子繞組的連接方式，或者在定子鐵心中疊加一套懸浮繞組結(jié)構(gòu)，可形成一種新的電機(jī)，即無軸承磁通切換永磁電機(jī)(bearingless flux-switching permanent magnet motor,BFSPMM)。BFSPMM具有FSPMM與磁軸承的優(yōu)點(diǎn)，在生命醫(yī)學(xué)、化工行業(yè)、飛輪儲能等特殊場合具有很大的應(yīng)用前景[6]。

BFSPMM的定子繞組一般分為單繞組[7-8]和雙繞組[9-13]結(jié)構(gòu)。雙繞組結(jié)構(gòu)中含有功率繞組和懸浮繞組，根據(jù)功率繞組與懸浮繞組的放置位置的差異，其又可分為共繞型[9-10]與不共繞型[11-13]。

文獻(xiàn)[7]通過有限元法分析一種含有E型齒的6/10型單繞組BFSPMM，通過優(yōu)化電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)來減小轉(zhuǎn)矩脈動和提高懸浮力，但有限元法在優(yōu)化電機(jī)時存在計算耗時過長問題。文獻(xiàn)[8]通過解析法分析六相單繞組BFSPMM的磁場分布，需要先求取定、轉(zhuǎn)子無槽情況下的氣隙磁密分布，之后通過復(fù)相對磁導(dǎo)函數(shù)獲得考慮定、轉(zhuǎn)子雙邊開槽下的磁密，但文中并未考慮電機(jī)鐵心的飽和效應(yīng)。

文獻(xiàn)[9-10]通過有限元法分析共繞型雙繞組BFSPMM，該類電機(jī)產(chǎn)生的懸浮力與轉(zhuǎn)子位置角相關(guān)，轉(zhuǎn)子的懸浮控制需要獲取轉(zhuǎn)子位置角信息。文獻(xiàn)[11]分析了一種隔齒不共繞型繞法的雙繞組BFSPMM，理論推導(dǎo)繞組配置方式對徑向懸浮力的影響，通過有限元法比較轉(zhuǎn)矩電流與懸浮力的耦合關(guān)系，但并未對電機(jī)內(nèi)部磁場作深入分析。文獻(xiàn)[12]采用有限元法分析含有兩種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的雙繞組BFSPMM，指出當(dāng)懸浮繞組與功率繞組不共繞型嵌放時懸浮電流對轉(zhuǎn)矩的影響很小，懸浮繞組與功率繞組之間的耦合可以近似忽略。文獻(xiàn)[13]采用變結(jié)構(gòu)磁網(wǎng)絡(luò)法分析了一種不共繞型的雙繞組BFSPMM的磁場分布，指出永磁體和功率繞組提供氣隙偏置磁場，懸浮繞組產(chǎn)生氣隙調(diào)制磁場。但該方法中磁通網(wǎng)絡(luò)劃分的疏密程度直接影響計算結(jié)果的精確`度，計算過程十分復(fù)雜，不利于對電機(jī)磁場的快速分析。

文獻(xiàn)[14-17]中涉及分布式雙層繞組，采用子域模型法分析上下層繞組時，需要假設(shè)上、下各層繞組所占的槽面積相等，以此作為劃分上下層子域的中心邊界。這樣會使磁場子域劃分的個數(shù)增加，增加了電機(jī)子域模型中求解變量的個數(shù)，帶來求解難度的增大。

子域模型法是一種傳統(tǒng)的電機(jī)磁場解析分析方法，通過將電機(jī)磁場劃分為若干子域，依據(jù)所在子域滿足的拉普拉斯方程或泊松方程，結(jié)合相鄰子域邊界條件的連續(xù)性進(jìn)行求解。由于目前子域模型研究大多集中在表貼式永磁電機(jī)上，且在子域中一般需要假設(shè)鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大。而對于雙繞組BFSPMM由于其復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，在劃分子域以及確定磁場邊界條件求解中存在一定的難度，目前對BFSPMM磁場解析法研究的文獻(xiàn)十分較少。

電機(jī)在設(shè)計中需要考慮負(fù)載特性，使電機(jī)的輸出轉(zhuǎn)矩與負(fù)載特點(diǎn)相匹配。但電機(jī)在實(shí)際運(yùn)行中，由于所帶負(fù)載具有一定的未知性，當(dāng)所帶負(fù)載過大時，電機(jī)可能處于過載運(yùn)行，考慮到鐵心材料具有非線性特點(diǎn)，電機(jī)鐵心可能發(fā)生磁飽和現(xiàn)象，而目前對電機(jī)的非線性問題的研究近幾年已引起眾多學(xué)者的關(guān)注。

本文通過對雙繞組BFSPMM分布式雙層繞組電流進(jìn)行等效，提出一種改進(jìn)的子域模型方法。首先，假設(shè)在磁路線性條件下，將電機(jī)磁場劃分為6個不同的子域，結(jié)合相鄰子域的邊界銜接條件，求解出各個子域的磁場分布。其次，依據(jù)磁動勢守恒原則，提出一種相對磁導(dǎo)函數(shù)的補(bǔ)償方法，推導(dǎo)出非線性條件下的氣隙磁密解析式。最后，利用有限元法和樣機(jī)實(shí)驗對所提解析模型作相關(guān)驗證。

1 解析模型

1.1 電機(jī)基本結(jié)構(gòu)

本文所分析的雙繞組BFSPMM為三相12/10型，電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 雙繞組BFSPMM 基本結(jié)構(gòu)示意圖

在圖1中，三相功率繞組用A、B、C表示；三相懸浮繞組用a 、b、c進(jìn)行表示，且懸浮繞組采用上、下雙層繞組分布方式。永磁體放置在兩個相鄰U型鐵心的中間，并且采用切向充磁方式。為了使轉(zhuǎn)子獲得徑向懸浮力，需要打破原來氣隙磁場的對稱性，將空間對稱放置的懸浮繞組采用反向串聯(lián)方式。從圖1中的空間對稱位置①與②處可以看出，懸浮繞組與永磁體產(chǎn)生磁通密度方向的并不相同，空間位置①與②處的合成磁密幅值不再相等，從而轉(zhuǎn)子獲得徑向懸浮力。

為了對雙繞組BFSPMM磁場進(jìn)行分析，建立雙繞組BFSPMM的子域模型，如圖2所示。電機(jī)的主要參數(shù)見表1。

表1 雙繞組BFSPMM主要參數(shù)

圖2 雙繞組BFSPMM子域模型橫截面示意圖

1.2 子域模型矢量磁位通解

在對電機(jī)磁場進(jìn)行分析時，需要作如下假設(shè)：1)在二維平面內(nèi)，忽略電機(jī)的端部效應(yīng)；2)電機(jī)定、轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大；3)永磁體具有線性退磁特性；4)電機(jī)各個邊界均是沿徑向或切向方向；5)線圈導(dǎo)體區(qū)域的電流密度為均勻分布。

在二維極坐標(biāo)系內(nèi)，將電機(jī)劃分為6個子域，如圖3所示。分別為轉(zhuǎn)子槽子域1i、內(nèi)部氣隙子域2、定子槽子域3j、永磁體槽子域4f、永磁體子域5u、外部氣隙子域6。

圖3 雙繞組BFSPMM子域劃分

在極坐標(biāo)系中，結(jié)合電機(jī)的幾何關(guān)系，將轉(zhuǎn)子槽、定子槽、永磁體槽的中心分別表示為：

(1)

其中：θ0表示轉(zhuǎn)子的初始位置角；θi表示第i個轉(zhuǎn)子槽的中心位置角；θj表示第j個定子槽的中心位置角；θk表示第k個永磁體槽的中心位置角。

對于圖2中的電機(jī)模型，由于懸浮繞組采用上、下雙層分布方式放置在永磁體槽中，且懸浮繞組上、下層兩側(cè)與定子鐵心接觸的邊界條件相同，各層繞組的中心與永磁體槽的中心相重合?？蓪⒂来朋w槽中的上、下層繞組電流等效為同一個電流元，即將永磁體槽中的兩部分電流以代數(shù)和的形式進(jìn)行累加，顯然，經(jīng)過等效后電流的位置中心仍與永磁體槽位置的中心相一致，如圖4所示。

圖4 懸浮繞組等效電流

假設(shè)懸浮繞組上層的電流為if1，懸浮繞組下層的電流為if2，則等效后的永磁體槽中的懸浮繞組電流為(if1+if2)，即將永磁體槽中雙層分布電流等效為單層繞組電流，以平均電流的分析方法等效替代原來的上、下層子域，簡化了對永磁槽子域上、下層繞組電流的計算。

設(shè)整個永磁體槽所占的面積為S，則該區(qū)域所對應(yīng)的平均電流密度為Jf=(if1+if2)/S。通過將永磁體槽區(qū)域的懸浮繞組電流轉(zhuǎn)換為該區(qū)域所對應(yīng)的平均電流密度Jf，最終以平均電流密度的形式進(jìn)行計算，為后續(xù)簡化泊松方程的求解奠定基礎(chǔ)。

對于三相功率繞組而言，由于每個定子槽中的兩個線圈分別屬于不同的相繞組，且每相功率繞組是按照集中繞組進(jìn)行連接，在實(shí)際計算時需要將定子槽中兩個不同線圈邊進(jìn)行等效，可采用鏡像電流法進(jìn)行等效，如圖5所示。

圖5 功率繞組鏡像電流法示意圖

假設(shè)對第j個定子槽內(nèi)兩個線圈邊電流密度Jj1和Jj2，其分布位置具有下列關(guān)系：

(2)

其中：Jj1表示第j個定子槽的第一個線圈邊的電流密度；Jj2表示第j個定子槽的第二個線圈邊的電流密度。采用鏡像電流法將第j個定子槽的電流密度進(jìn)行等效，展開成傅里葉級數(shù)的形式。

(3)

其中：

(4)

這樣，對每一個定子槽中兩個不同的線圈邊可以寫成統(tǒng)一的形式進(jìn)行計算，簡化了定子槽子域中電流密度的分析計算。故永磁體槽中的懸浮繞組電流、定子槽中的功率繞組電流已經(jīng)被等效為獨(dú)立的電流元。

以矢量磁位A作為求解變量，根據(jù)電磁場理論可知，在二維極坐標(biāo)系下矢量磁位A僅含有z軸分量。電機(jī)磁場各個子域所滿足的偏微分方程，見表2。

表2 子域?qū)傩院推⒎址匠?/p>

在電機(jī)磁場分析中，所在子域區(qū)域所接觸的鐵心邊界是對拉普拉斯方程和泊松方程進(jìn)行變量分離的重要參考，直接影響最終的磁場通項解析式。結(jié)合圖3中各個子域的分布位置，以及子域的邊界條件，采用分離變量法獲得相應(yīng)子域的通解，見表3。對于外部氣隙子域6，由于永磁體與外部空氣隙相接觸，永磁體磁鏈中會有一小部分與外部氣隙相交鏈，從而形成外部漏磁鏈。由于磁力線在空間中閉合，無法到達(dá)無窮遠(yuǎn)處，由狄利赫里邊界條件假設(shè)矢量磁位在R7處為0。

表3中的6個子域共包含18個未知系數(shù)，分別為Ai0、Aim；B1n、B2n、B3n、B4n；Cj0、Cjp；Df0、Df1、Df2e、Df3e；Eu0、Eu1、Eu2s、Eu3s；F1t、F2t。而m、n、p、e、s、t為各子域中磁場的諧波次數(shù)。在求解具體系數(shù)時需要結(jié)合相鄰子域在分界面上的銜接條件，采用傅里葉級數(shù)展開法，可推導(dǎo)出各個子域之間的系數(shù)關(guān)系。

表3 分離變量法獲得各個子域的通解

2 相對磁導(dǎo)函數(shù)磁飽和補(bǔ)償

上述分析在對各個子域進(jìn)行計算時，假設(shè)鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大。但實(shí)際的鐵心磁化曲線具有非線性，當(dāng)電機(jī)過載運(yùn)行時，隨著定子繞組中電流的增大，電機(jī)鐵心可能發(fā)生磁飽和現(xiàn)象。由于BFSPMM具有顯著的雙凸極性，定、轉(zhuǎn)子齒尖具有很強(qiáng)的聚磁效應(yīng)，磁飽和一般發(fā)生在定子齒和轉(zhuǎn)子齒上，而定子軛部和轉(zhuǎn)子軛部很難進(jìn)入飽和狀態(tài)[4]。

相對磁導(dǎo)函數(shù)主要反映的是電機(jī)的定、轉(zhuǎn)子的開槽的效應(yīng)對氣隙磁密的影響。開槽情況下的氣隙磁密分布一般是由無槽氣隙磁密與相對磁導(dǎo)函數(shù)相乘后獲得。當(dāng)電機(jī)磁路未發(fā)生飽和時，定、轉(zhuǎn)子鐵心的磁導(dǎo)率很大，定、轉(zhuǎn)子部分的磁阻可忽略不計，由永磁體、功率繞組以及懸浮繞組產(chǎn)生的磁壓降集中在電機(jī)的氣隙中；而當(dāng)電機(jī)磁路發(fā)生過飽和時，鐵心材料B-H曲線不再線性變化，此時定、轉(zhuǎn)子鐵心飽和部分的磁阻不能忽略。

本文所提出考慮磁飽和的相對磁導(dǎo)函數(shù)補(bǔ)償方法主要體現(xiàn)在：通過將定、轉(zhuǎn)子齒飽和磁阻等效為對應(yīng)齒前氣隙磁阻增加量；對鐵心中未發(fā)生飽和的部分，鐵心的磁導(dǎo)率仍視為無窮大，這樣便于對飽和磁密進(jìn)行補(bǔ)償。因此，該相對磁導(dǎo)函數(shù)通過等效增大定、轉(zhuǎn)子齒前氣隙長度來間接反應(yīng)鐵心磁路的飽和情況。在計算相對磁導(dǎo)函數(shù)時，由于磁場區(qū)域不含永磁體和繞組激勵，磁場為無旋場，如圖6所示。文獻(xiàn)[8]中已對該雙凸極結(jié)構(gòu)采用標(biāo)量磁位進(jìn)行了充分的分析，這里不再展開討論。

圖6 雙凸極結(jié)構(gòu)示意圖

在極坐標(biāo)系內(nèi)，氣隙磁場強(qiáng)度與標(biāo)量磁位之間具有下列關(guān)系：

(5)

其中：Hr為氣隙磁場強(qiáng)度的徑向分量；Hθ為氣隙磁場強(qiáng)度的切向分量。

在圖6中，取氣隙中間位置的磁場強(qiáng)度為基值，沿著氣隙圓周對其電機(jī)磁場強(qiáng)度進(jìn)行歸一化處理，便可獲得定、轉(zhuǎn)子雙凸極下的相對磁導(dǎo)函數(shù)，即

(6)

根據(jù)轉(zhuǎn)子位置角，確定出定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式1～k及其對應(yīng)的定子齒、轉(zhuǎn)子齒之間的重疊角γi(i=1～k), 如圖7所示。

圖7 定、轉(zhuǎn)子重疊角相對位置

其中：hs、hr為定、轉(zhuǎn)子齒的長度；αs、αr為定、轉(zhuǎn)子齒的寬度。

假設(shè)定、轉(zhuǎn)子齒各自的飽和深度均呈線性變化，通過有限元對電機(jī)磁密場圖的分析，近似認(rèn)為定子齒飽和深度gsi、轉(zhuǎn)子齒飽和深度gri與第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中的重疊角γi之間的關(guān)系如下：

(7)

(8)

由于在線性磁路下，鐵心的磁導(dǎo)率為無窮大，定、轉(zhuǎn)子鐵心不發(fā)生磁飽和；當(dāng)電機(jī)進(jìn)入過飽和時，定、轉(zhuǎn)子鐵心會占有一部分的磁壓降，可將鐵心飽和部分的磁阻等效為對應(yīng)齒前氣隙磁阻增加量，此時等效后的定、轉(zhuǎn)子鐵心部分仍是線性磁路。

利用上述子域模型間接計算出對應(yīng)齒位置的磁通密度，根據(jù)鐵心材料B-μi曲線關(guān)系，查得磁導(dǎo)率為μi。計算出第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中定子齒飽和磁阻以及轉(zhuǎn)子齒飽和磁阻[18]，分別為：

(9)

(10)

其中：Asi為定子齒的截面積；Ari為轉(zhuǎn)子齒截面積。

同理，計算第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中定子齒飽和段等效氣隙磁阻，轉(zhuǎn)子齒飽和段等效氣隙磁阻分別為：

(11)

(12)

其中：Δgsi、Δgri分別為定子齒飽和段和轉(zhuǎn)子齒飽和段的等效氣隙長度；μ0為真空磁導(dǎo)率。

(13)

(14)

第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中總的等效氣隙長度為

gi=g+Δgsi+Δgri。

(15)

圖8為定、轉(zhuǎn)子齒前對應(yīng)的等效氣隙長度。

圖8 定、轉(zhuǎn)子齒前的等效氣隙長度

根據(jù)所提相對磁導(dǎo)函數(shù)磁飽和補(bǔ)償法，由氣隙長度等效后重新構(gòu)建帶有飽和補(bǔ)償?shù)碾姍C(jī)結(jié)構(gòu)，如圖9所示。

圖9 補(bǔ)償后的定、轉(zhuǎn)子鐵心示意圖

在線性磁路條件下，通過上述子域模型可知，矢量磁位與磁感應(yīng)強(qiáng)度之間具有下列關(guān)系：

(16)

其中：Br表示沿徑向方向的磁密分量；Bθ表示沿切向方向的磁密分量。

根據(jù)等效前后磁動勢守恒原則，假設(shè)磁路等效前后，電機(jī)鐵心B-H曲線是線性的，鐵心飽和段的磁阻所占有的磁壓降全部等效轉(zhuǎn)移到氣隙中。當(dāng)忽略定、轉(zhuǎn)子的開槽效應(yīng)時，第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中的線性磁路無槽氣隙磁密Bslotlessi與非線性磁路無槽氣隙磁密Bslotless_sati具有下列關(guān)系

(17)

根據(jù)定、轉(zhuǎn)子開槽時的氣隙磁密可以由無槽氣隙磁密與相對磁導(dǎo)函數(shù)相乘后獲得原理，則定、轉(zhuǎn)子開槽時第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中的磁密為：

(18)

其中Bsloti為第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中的線性磁路開槽下的磁密，由式(16)計算獲得；Λsloti是與Bsloti位置對應(yīng)的線性條件下的相對磁導(dǎo)函數(shù)計算數(shù)值，由式(6)計算獲得。Bslot_sati為第i個定子齒、轉(zhuǎn)子齒重疊結(jié)構(gòu)模式中的非線性磁路開槽下的磁密；Λslot_sati是與Bslot_sati位置對應(yīng)的非線性條件下的相對磁導(dǎo)函數(shù)計算數(shù)值，由氣隙長度等效后重新構(gòu)建帶有飽和補(bǔ)償?shù)碾姍C(jī)結(jié)構(gòu)(見圖9)，之后再由式(6)計算獲得。

通過聯(lián)立式(17)、式(18)可以得出

(19)

通過式(19)可知，飽和氣隙磁密分布被間接通過相對磁導(dǎo)函數(shù)所反映。

3 磁場計算與有限元驗證

3.1 氣隙磁密分布

在負(fù)載場中，如以轉(zhuǎn)子初始位置角為18°為例， 有意向三相功率繞組分別通入有效值為50A的電流使電機(jī)鐵心發(fā)生磁飽和。采用解析法與有限元法獲得電機(jī)的徑向氣隙磁密如圖10所示。

從圖10中可以看出，針對磁路的非線性特點(diǎn)，在磁密飽和程度嚴(yán)重時，補(bǔ)償?shù)男Ч鄬γ黠@；受轉(zhuǎn)子位置的差異，在磁密飽和程度較小時，補(bǔ)償?shù)男Ч鄬^弱，存在一定的偏差。但總體上來看，該補(bǔ)償方法大體上反應(yīng)出與有限元法相接近的趨勢，具有一定的磁飽和補(bǔ)償效果，驗證該種方法的可行性。

圖10 徑向氣隙磁密分布

由于上述相對磁導(dǎo)函數(shù)磁飽和補(bǔ)償法主要研究的是徑向氣隙磁密，而切向氣隙磁密的幅值相對徑向氣隙磁密一般較小。為了簡化分析，假設(shè)在同一位置處沿切向方向的補(bǔ)償系數(shù)與徑向方向相一致，所獲得的切向氣隙磁密如圖11所示。

圖11 切向氣隙磁密分布

3.2 懸浮力

采用麥克斯韋張量法計算轉(zhuǎn)子受到的懸浮力[19]。轉(zhuǎn)子沿x和y方向的懸浮力分別為：

(20)

當(dāng)有意向a相懸浮繞組中通入40A的電流使電機(jī)鐵心發(fā)生磁飽和，計算轉(zhuǎn)子所受懸浮力Fx、Fy，如圖12所示。

圖12 轉(zhuǎn)子沿x和y方向的懸浮力

從圖12中可以看出，解析法與有限元法獲得轉(zhuǎn)子沿x和y方向的懸浮力具有相接近的變化趨勢，驗證了理論分析懸浮力的可行性。

3.3 電磁轉(zhuǎn)矩

在計算雙繞組BFSPMM電磁轉(zhuǎn)矩時，選用麥克斯韋張量法，即

(21)

當(dāng)有意向功率繞組中通入有效值為50 A的對稱電流使電機(jī)鐵心發(fā)生磁飽和時，需要將電機(jī)的磁密進(jìn)行補(bǔ)償后才能用來計算轉(zhuǎn)矩。

從圖13中可以看出，采用解析法與有限元法獲得電磁轉(zhuǎn)矩波形具有相接近的趨勢，驗證了理論分析電磁轉(zhuǎn)矩的可行性。而當(dāng)未考慮材料的非線性的影響時，解析方法與有限元法獲得的平均轉(zhuǎn)矩約為62.5 N·m，因此采用等效補(bǔ)償?shù)奶幚矸椒ǎ梢垣@得與有限元較為接近的結(jié)果。

圖13 電磁轉(zhuǎn)矩

3.4 空載反電動勢

假設(shè)每個功率繞組線圈在定子槽內(nèi)均勻分布，線圈中耦合的磁鏈可通過對每個定子槽內(nèi)的矢量磁位進(jìn)行積分計算獲得。由于功率繞組線圈采用集中式聯(lián)結(jié)，定子槽中的兩個線圈分別屬于不同相繞組，在進(jìn)行磁鏈計算時，需要對兩個線圈邊分開進(jìn)行計算。

對于電流密度為Jj1的線圈邊，其耦合的磁鏈為

(22)

對于電流密度為Jj2的線圈邊，其耦合的磁鏈為

(23)

其中在電機(jī)定子槽內(nèi)每個線圈邊的所占面積為

(24)

根據(jù)式(22)和式(23)就可得到所有線圈邊耦合磁鏈。由于每相繞組耦合的總磁鏈等于組成該相繞組的線圈耦合磁鏈的代數(shù)和，而對于雙繞組BFSPMM，每相功率繞組均是由空間位置對稱的4個線圈組串聯(lián)而成，三相功率繞組產(chǎn)生的磁鏈為

(25)

其中：

C1=

采用解析法與有限元法獲得的A相功率繞組磁鏈如圖14所示。

圖14 A相繞組磁鏈

進(jìn)一步對A相功率繞組中的磁鏈進(jìn)行FFT分析，如圖15所示。

圖15 A相繞組磁鏈FFT分析

通過FFT分析可知，采用解析法獲得的磁鏈基波幅值為0.058 1 Wb，THD為0.20%；而采用有限元法獲得的磁鏈基波幅值為0.058 3 Wb，THD為0.42%。因此，通過解析法與有限元法獲得磁鏈基本一致，進(jìn)一步驗證了解析模型分析繞組磁鏈的正確性。

根據(jù)繞組磁鏈與反電動勢的關(guān)系，三相功率繞組產(chǎn)生的空載反電動勢為

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其中：ωr為電機(jī)的機(jī)械角速度，θr為轉(zhuǎn)子位置角。當(dāng)電機(jī)的轉(zhuǎn)速為1 500 r/min時，采用解析法與有限元法獲得的A相繞組的空載反電動勢，如圖16所示。

圖16 A相繞組的反電動勢

從圖16中可以看出，解析法與有限元法獲得A相繞組空載反電動勢波形基本一致。

3.5 齒槽轉(zhuǎn)矩

由于雙繞組BFSPMM永磁體放置于定子上，且定、轉(zhuǎn)子結(jié)構(gòu)均為雙凸極結(jié)構(gòu)。當(dāng)轉(zhuǎn)子位置發(fā)生改變時，在定子齒處沿切向方向的磁拉力不再相等，從而產(chǎn)生齒槽轉(zhuǎn)矩。對于電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的計算，是由子域模型法在空載場中獲得電機(jī)沿徑向和切向方向的氣隙磁密分量，之后采用麥克斯韋張量法進(jìn)行計算，如式(21)所示。通過解析法與有限元法獲得的齒槽轉(zhuǎn)矩如圖17所示。

圖17 齒槽轉(zhuǎn)矩

4 樣機(jī)及實(shí)驗驗證

為了對上述解析模型進(jìn)一步驗證，設(shè)計制作出樣機(jī)及實(shí)驗平臺如圖18所示。

圖18 樣機(jī)及實(shí)驗平臺

在空載場下，測試電機(jī)的反電動勢波形如圖19所示。從圖19中可以看出，實(shí)驗測試樣機(jī)的反電動勢幅值略低于解析法和有限元預(yù)測結(jié)果。主要原因是解析法和有限元法在二維平面內(nèi)不能考慮電機(jī)沿軸向方向的漏磁。分析結(jié)果表明，實(shí)驗測試樣機(jī)反電動勢的幅值相比解析法和有限元法預(yù)測幅值低約5.53%。從總體上來看，解析法、有限元法以及實(shí)驗測試獲得的電機(jī)反電動勢基本一致，進(jìn)一步驗證上述理論對反電動勢分析的正確性。

圖19 實(shí)驗測試空載反電動勢1 000 r/min

當(dāng)忽略轉(zhuǎn)子的偏心效應(yīng)，向雙繞組BFSPMM的功率繞組中注入不同的q軸電流時，比較解析法、有限元法、實(shí)驗法獲得的平均轉(zhuǎn)矩狀況，如表4所示。

表4 iq電流與平均轉(zhuǎn)矩關(guān)系

從表4中可以看出，在相同的iq條件下，解析法、有限元法、以及實(shí)驗法獲得的平均轉(zhuǎn)矩非常接近。由于解析模型中忽略了轉(zhuǎn)子的偏心效應(yīng)，且實(shí)驗中存在轉(zhuǎn)軸摩擦轉(zhuǎn)矩，因此轉(zhuǎn)矩理論計算值與實(shí)驗測試存在一定的偏差，但從總體上可以獲得電機(jī)轉(zhuǎn)矩隨iq電流變化的趨勢。

5 結(jié) 論

本文建立一種改進(jìn)的雙繞組BFSPMM子域模型，對永磁體槽中的分布式雙層繞組電流進(jìn)行等效，可減少求解變量的個數(shù)，簡化求解計算的復(fù)雜程度。通過相對磁導(dǎo)函數(shù)補(bǔ)償?shù)姆椒?，推?dǎo)出非線性條件下的氣隙磁密解析式。分析了電機(jī)的氣隙磁密、懸浮力、電磁轉(zhuǎn)矩、磁鏈、空載反電動勢、齒槽轉(zhuǎn)矩等參數(shù)，獲得與有限元法相接近的趨勢。實(shí)驗測試樣機(jī)空載反電動勢、平均轉(zhuǎn)矩，與解析法、有限元法基本一致，進(jìn)一步驗證所提解析模型的有效性。因此，改進(jìn)的子域模型為快速分析雙繞組BFSPMM磁場分布提供一種簡便的措施。