同構(gòu)法在解題中的應(yīng)用淺析

?安徽省滁州中學(xué) 葉建友?廣西南寧市銀海三雅學(xué)校 林日官

1 引言

近幾年高考和各類模擬題中頻頻出現(xiàn)“同構(gòu)”的身影，即通過構(gòu)造相同的形式，根據(jù)相同的格式“脫掉”復(fù)雜形式的外殼，露出問題的本質(zhì)，或是萬象歸一，化歸為更統(tǒng)一的規(guī)律，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，具有一定的美學(xué)價(jià)值.

2 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)方法

核心素養(yǎng)下的數(shù)學(xué)教育更注重?cái)?shù)學(xué)的內(nèi)在美與本質(zhì)的體現(xiàn)，在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)生既能夠明白相關(guān)的數(shù)學(xué)原理與應(yīng)用，還能體會(huì)到數(shù)學(xué)中的美，新高考更是在這個(gè)方面下足了功夫.我們來看下面幾道高考題.

2.1 利用同構(gòu)獲取變?cè)拇笮￡P(guān)系

例1(2020年全國Ⅱ卷文理)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析：題目中給出的條件為關(guān)于兩個(gè)變?cè)獂,y的不等式，直接獲得關(guān)于y-x的式子并不容易，所以可以考慮構(gòu)造相同的形式，即由2x-2y<3-x-3-y，得2x-3-x<2y-3-y，不等號(hào)兩端的形式完全一致，只是對(duì)應(yīng)的變量不同而已，達(dá)成了同構(gòu).構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，易知該函數(shù)為R上的增函數(shù)，由增函數(shù)的特點(diǎn)可知x1，所以ln(y-x+1)>0.又因?yàn)閨x-y|與1的大小不確定，因此選項(xiàng)C，D無法確定.故選：A.

規(guī)律總結(jié)：數(shù)學(xué)中有許多形式對(duì)稱優(yōu)美的式子，它們遍布在數(shù)學(xué)的各種定義和性質(zhì)當(dāng)中，猶如數(shù)學(xué)中的瑰寶，給人美不勝收的感覺.在上面的問題中，我們構(gòu)造函數(shù)，知曉了該函數(shù)的單調(diào)性，從而根據(jù)單調(diào)性的特點(diǎn)解決了問題.所以這類問題的理論依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)值的大小得到了自變量的大小關(guān)系，相當(dāng)于脫掉了函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的外殼，直接獲得兩個(gè)變量的大小關(guān)系，從而能夠更簡潔地還原問題本質(zhì)，簡單地解決問題.

熟練應(yīng)用：

例2(2020全國Ⅰ卷理)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2b

C.a>b2D.a

分析：根據(jù)題意可將已知條件整理為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2(2b)-1的形式，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，易知f(x)為區(qū)間(0,+∞)上的增函數(shù)，而f(a)=f(2b)-1f(1)，即a>1，此時(shí)a>b2.所以a與b2大小不確定.因此選：B.

在我們遇到的問題當(dāng)中，有時(shí)不一定一眼就能看出要構(gòu)造的函數(shù)的形式，而是需要通過變形整理再找到要構(gòu)造的函數(shù)，這樣的問題對(duì)我們知識(shí)的掌握要求較高，更能體現(xiàn)我們對(duì)一些數(shù)學(xué)問題理解的深度，所以構(gòu)造才是數(shù)學(xué)魅力的地方之一，有時(shí)可以借助于同構(gòu)獲取變?cè)年P(guān)系來解決一些取值或不等式的相關(guān)問題.

例3解不等式log2(x12+3x10+5x8+3x6+1)>1+log2(x4+1).

例4已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1ex1=e3，x2(lnx2-2)=e5，則x1x2的值為________.

分析：本題中涉及兩個(gè)變量，各自滿足一個(gè)對(duì)應(yīng)的方程，涉及到指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算，所以一個(gè)角度是采用換元的方式.由于方程首先需要有意義，所以有x1>0,x2>e2.令lnx2-2=t>0,x2=et+2，則第二個(gè)方程化為tet=e3.構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex(x>0),f′(x)=(x+1)ex>0(x>0)，則知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增.而f(x1)=f(t)=e3，則x1=t=lnx2-2,所以x1x2=x2(lnx2-2)=e5.

另一個(gè)角度就是化同構(gòu)，對(duì)第一個(gè)方程x1ex1=e3兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnx1+x1=3.

對(duì)第二個(gè)方程x2(lnx2-2)=e5兩邊取自然對(duì)數(shù)，得lnx2+ln(lnx2-2)=5.

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將上式進(jìn)一步變形為(lnx2-2)+ln(lnx2-2)=3.

構(gòu)造f(x)=lnx+x，易知f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)=3的解只有一個(gè).所以x1=lnx2-2，因此x1x2=(lnx2-2)x2=e5.

2.2 利用同構(gòu)求參數(shù)的取值范圍

除了能夠根據(jù)同構(gòu)直接獲得變?cè)拇笮￡P(guān)系外，有時(shí)也可以利用同構(gòu)間接地解決恒成立、參數(shù)范圍等問題，應(yīng)用比較廣泛.

該題將題中復(fù)雜的條件同構(gòu)處理后相當(dāng)于知道所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，再利用導(dǎo)數(shù)值取值情況來獲取參數(shù)的范圍.

例6(2020山東新高考)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.若f(x)≥1，求a的取值范圍.

分析：本題若直接帶參討論，即使用常規(guī)處理方法會(huì)比較麻煩，而考慮同構(gòu)處理則會(huì)大大簡化解題流程，提高效率.由題意知aex-1-lnx+lna≥1，即ex+lna-1+lna-1≥lnx，亦即ex+lna-1+x+lna-1≥x+lnx=lnx+elnx.構(gòu)造新函數(shù)g(x)=x+ex，易知該函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則有x+lna-1≥lnx，即lna≥-x+1+lnx.令h(x)=-x+1+lnx，可知其最大值為h(1)=0，所以有l(wèi)na≥0，因此a≥1.

下面給出同構(gòu)的一些經(jīng)典方案：

(1)基本型：

(3)和差型：ea±a>b±lnb.

①可變形為ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex±x；

②也可變形為ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x±lnx.

(4)積型：aea≤blnb.

①變形為ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xlnx，即有f(ea)≤f(b)；

②變形為aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex，即有f(a)≤f(lnb)；

③兩邊取對(duì)數(shù)：a+lna≤lnb+ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x+lnx，即有f(a)≤f(lnb).

③兩邊取對(duì)數(shù)變形為a-lna≤lnb-ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=x-lnx，即有f(a)≤f(lnb).

同步練習(xí)：

練習(xí)3：已知對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,n，不等式kmen-1-2n+1+(2n-2m+1)e2n-m≥0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與落實(shí)往往需要很多具體的材料與媒介，同構(gòu)的思想就是較好的媒介之一.學(xué)生對(duì)同構(gòu)的認(rèn)知與應(yīng)用體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)相關(guān)概念與思想的理解深度，這也是同構(gòu)相關(guān)的試題越來越多的原因之一.學(xué)生需要具有相關(guān)的學(xué)科視角和對(duì)應(yīng)的學(xué)科思想，這是我們當(dāng)前教育的主旋律，也就是更需要學(xué)生能夠從整體上認(rèn)識(shí)與把握相關(guān)學(xué)科，進(jìn)而在細(xì)節(jié)的完善中成為一個(gè)發(fā)展完整的人，才能達(dá)成我們的教育目標(biāo).函數(shù)中的同構(gòu)聯(lián)結(jié)了其形式與內(nèi)在的統(tǒng)一，自變量與函數(shù)值的依存關(guān)系通過同構(gòu)的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)得淋漓盡致，不僅有數(shù)學(xué)思想的深刻性，也給人以美的感受，是更高的科學(xué)追求.當(dāng)然，同構(gòu)的思想在其他領(lǐng)域，如解析幾何的相關(guān)運(yùn)算中也有很多應(yīng)用，亟待我們繼續(xù)發(fā)掘和探索.