江蘇省宜興市丁蜀實驗中學(xué) 滕萍萍

1 引言

初中數(shù)學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生七大關(guān)鍵能力，要求學(xué)生能夠通過數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，提高邏輯思維能力，學(xué)會運用數(shù)學(xué)的眼光和方法分析問題，進(jìn)行知識遷移.只有具備了數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，才能提升數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的育人目標(biāo).

初中數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)面向的是全體學(xué)生.在學(xué)程設(shè)計上要關(guān)注學(xué)生的不同發(fā)展水平和認(rèn)知特點，注意慢化教育，關(guān)注學(xué)生的反饋，落實教學(xué)效果.教師首先要從知識的整體層面進(jìn)行思維建構(gòu)，關(guān)注核心知識，進(jìn)行相應(yīng)的總結(jié)和反饋；其次在教學(xué)過程中，從創(chuàng)設(shè)情境活動、探究建構(gòu)知識聯(lián)系、拓展衍生思維發(fā)展、互相激發(fā)思維四個層面進(jìn)行學(xué)程設(shè)計；最后以學(xué)生對所學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)，并結(jié)合知識拓展總結(jié)解決的思路、經(jīng)驗等，以筆記或者手賬的形式進(jìn)行課堂展示.這樣的學(xué)程設(shè)計可以滿足學(xué)生的個性發(fā)展需求，提升邏輯思維能力和數(shù)學(xué)建模能力，在學(xué)生自主學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上達(dá)到舉一反三的作用，使學(xué)生由一木見森林，提升關(guān)鍵能力[1].本文中以數(shù)學(xué)正切知識點為例進(jìn)行學(xué)程設(shè)計的研究，與各位同仁交流.

2 慢化學(xué)程模式的展開過程

2.1 知識點檢測反饋

案例1如圖1，正方形ABCD的邊長為4.對角線為BD，在對角線上有一點E，并且∠BAE等于22.5°，EF與AB垂直，垂足為點F，求線段EF的長.

圖1

解：在正方形ABCD中，

∵∠BAD=90°,∠BAE=22.5°，

∴∠DAE=67.5°，

又∵∠ADB=45°，

∴∠AED=180°-∠DAE-∠ADB=67.5°,

∴AD=ED=4.

∵EF⊥AB，∠ADB=45°，

∴△BFE為等腰直角三角形，

設(shè)計意圖：這道題改編自一道中考題，原題是作為試卷的壓軸題考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力.在新課講授中，筆者將其改編并作為新課的導(dǎo)入與知識點的檢測反饋，考查學(xué)生知識的掌握情況，以避免學(xué)生猜答案的可能性.由于這道題在解決過程中需要運用到直角三角形的邊和角的關(guān)系，因此通過這道題引入新知，為本課研究銳角三角形的函數(shù)模型作了鋪墊，成為其中一種特殊的形式，從而為新概念的學(xué)習(xí)做好思維鋪墊.這樣的學(xué)程設(shè)計有利于新舊知識順利過渡，培養(yǎng)學(xué)生知識遷移的能力，提高知識應(yīng)用意識.

2.2 自主學(xué)習(xí)

第一環(huán)節(jié):創(chuàng)設(shè)情境，搭建新舊知識過渡的思維橋梁，為新知的學(xué)習(xí)做好可以借鑒的知識準(zhǔn)備.

師：剛剛在解決問題的過程中運用到直角三角形，大家想一想直角三角形除了直角以外還有哪些元素？在直角三角形的邊與邊以及角與角之間還有什么關(guān)系？我們已經(jīng)學(xué)過哪些相關(guān)的知識？還需要研究哪些新的知識呢？

生1：直角三角形除了直角還有兩個銳角和三條邊.我們根據(jù)直角三角形的性質(zhì)已經(jīng)知道了兩個銳角的和為90°，兩條直角邊的平方和與斜邊的平方相等.但是，銳角與直角三角形的對邊、鄰邊以及斜邊的關(guān)系還不知道，需要進(jìn)一步研究.

師：我們在之前的學(xué)習(xí)過程中學(xué)過哪些特殊的直角三角形？在這些特殊的直角三角形中，它們的邊和角有什么特定的關(guān)系？請同學(xué)們用圖形來表達(dá).

師：很好，現(xiàn)在我們已經(jīng)知道了特殊的直角三角形的邊角之間存在可以量化的關(guān)系，那么這樣的關(guān)系能不能推廣到一般的直角三角形呢？一般的直角三角形的邊和角之間又具有什么關(guān)系呢？有沒有規(guī)范的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)方式？下面我們就進(jìn)入到本課的學(xué)習(xí)內(nèi)容“銳角三角函數(shù)——正切”.(教師板書本課的課題)

設(shè)計意圖：在這一環(huán)節(jié)中，教師整合各學(xué)習(xí)小組在預(yù)習(xí)過程中提出的問題，對學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中的問題進(jìn)行了反饋和補償.這些問題涉及到的知識點分布在教材的各個環(huán)節(jié)中.學(xué)生通過小組合作，利用集體智慧突破學(xué)習(xí)難點，使新舊知識建立聯(lián)系，符合學(xué)生的認(rèn)知特點，有助于學(xué)生建構(gòu)知識體系，是進(jìn)行慢化教育課堂學(xué)程模式的基礎(chǔ)[2].學(xué)生課前的自主探究學(xué)習(xí)有利于為即將學(xué)習(xí)的新知做好思維鋪墊，并激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識，有利于新知的學(xué)習(xí).

第二環(huán)節(jié):框架建構(gòu)，為建立數(shù)學(xué)模型搭建思維臺階.

師：同學(xué)們仔細(xì)閱讀課本，總結(jié)本課一共研究了哪些問題？教材中是通過什么方法進(jìn)行研究的？你有其他的研究方法嗎？

圖2

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀教材，分析教材中知識點的講解方法從而理解編者的思路，進(jìn)而與自己的解題思路進(jìn)行連接，激發(fā)學(xué)生探索新的研究方法.教師從學(xué)生的角度進(jìn)行思維的重組和加工，為學(xué)生搭建思維的橋梁，引導(dǎo)學(xué)生主動參與研究教材，在自主的思考中理解數(shù)學(xué)概念，進(jìn)而學(xué)會如何使用數(shù)學(xué)知識.教師為學(xué)生搭建的階梯使學(xué)生能夠一步步地水到渠成地理解正切的定義.同時，在教學(xué)中，教師將正切線的學(xué)習(xí)進(jìn)行前置，從而獲取了正切值的一般研究方法，并揭示了正切值在定義域內(nèi)增減的變化規(guī)律.這些思維方式在教學(xué)過程中得到了潛移默化的滲透，實現(xiàn)了這一學(xué)程模式建立的價值，使學(xué)生的思維能力逐步提高.

第三環(huán)節(jié):拓展延伸，為感悟數(shù)學(xué)建模思想提供有效的載體.

案例2如圖3，正方形網(wǎng)格中的每一個小正方形的邊長都是1，四邊形ABCD的四個頂點都在格點上，AD邊的中點為點O，假設(shè)將四邊形ABCD繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)180°，嘗試解決以下問題：(1)畫出四邊形ABCD旋轉(zhuǎn)后的圖形；(2)求點C在旋轉(zhuǎn)過程所經(jīng)過的路徑長度；(3)設(shè)點B旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)的點為B′，求tan∠DAB′的值.

圖3

設(shè)計意圖：這道題作為聯(lián)系新知識的有效載體，是因為借助這道題可以實現(xiàn)數(shù)學(xué)符號語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化.學(xué)會數(shù)學(xué)語言、符號語言和圖形語言之間的相互轉(zhuǎn)化是提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵.本題通過直觀的網(wǎng)格圖，發(fā)展學(xué)生的直覺思維，并且滲透數(shù)學(xué)的構(gòu)造法和符號化表達(dá)，建構(gòu)起銳角三角函數(shù)模型.在慢教育的學(xué)程模式下，實現(xiàn)知識的左右連接，上下貫通和知識的序列化，從而固化思維模型.

慢化數(shù)學(xué)學(xué)程模式，重視數(shù)學(xué)理論的講解，以豐富的活動載體引導(dǎo)學(xué)生反思課堂.學(xué)生的自覺反思是深入學(xué)習(xí)的最好方式，促使學(xué)生將所學(xué)的知識轉(zhuǎn)化為知識經(jīng)驗和思想方法，從而能夠營造數(shù)學(xué)課堂的學(xué)術(shù)性，實現(xiàn)數(shù)學(xué)慢教育的人文價值[3].

第四環(huán)節(jié):互動交流，建構(gòu)數(shù)理體系的平臺.

師：本課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？是通過什么方法進(jìn)行研究的？

生3：今天我們學(xué)習(xí)了有關(guān)銳角三角函數(shù)的正切概念和如何表示正切的值，并且學(xué)習(xí)了如何計算銳角的正切值，以及銳角正切值的變化規(guī)律.研究的方法是從特殊到一般，從生活的視角出發(fā)，滲透數(shù)形結(jié)合的思想和數(shù)學(xué)建模思想以及相互轉(zhuǎn)化的方法.

師：很好，那么假設(shè)我們猜測編者的意圖，你們覺得接下來還會研究哪些問題呢？

生4：我想還會繼續(xù)研究直角三角形中銳角的對邊與斜邊的比，以及鄰邊與斜邊，鄰邊與對邊的關(guān)系.

師：那么還會在一般三角形的研究嗎？請大家課后查找資料進(jìn)一步調(diào)查研究.

設(shè)計意圖：學(xué)生在反思和學(xué)習(xí)過程中結(jié)合教師的引導(dǎo)、點撥，推動了學(xué)生學(xué)術(shù)能力的提高，提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使數(shù)學(xué)研究回到了教育的本質(zhì)，即離開課堂之后即使忘了數(shù)學(xué)知識還能留下數(shù)學(xué)思想.

3 結(jié)束語

數(shù)學(xué)學(xué)程模式的建構(gòu)突出了學(xué)生的主體地位，使教師發(fā)揮出適度的引導(dǎo)、點撥的作用，在教學(xué)過程中逐漸滲透數(shù)學(xué)思想和方法，實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)長期目標(biāo)的落實.