王樂

[摘 要]“平行四邊形的面積”是一節(jié)非常經(jīng)典的數(shù)學(xué)課，重點(diǎn)在于讓學(xué)生在將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程中推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，常規(guī)的教學(xué)是將大部分時間花在學(xué)生剪拼和教師推導(dǎo)的過程上。隨著教學(xué)的不斷發(fā)展，教師在前測的基礎(chǔ)上進(jìn)行了剖析和思考，著力于解決“現(xiàn)在的學(xué)生學(xué)習(xí)這部分知識的起點(diǎn)究竟在哪里？他們的困惑在哪里？”“教師能夠教給學(xué)生的只是公式嗎？還要給學(xué)生怎樣的價值觀和思考力？”等問題。

[關(guān)鍵詞]平行四邊形的面積;思考力;價值觀

[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0018-04

一、同課異構(gòu)，疑惑重重

【教學(xué)案例】“平行四邊形的面積”常規(guī)教學(xué)

教師先讓學(xué)生復(fù)習(xí)長方形的面積計算的方法，并完成長方形和正方形的面積計算練習(xí);然后進(jìn)入探索新知的環(huán)節(jié)，引出問題“怎樣求一個平行四邊形的面積”。學(xué)生通過自主探索，得到很多解決問題的方法：數(shù)格子法、剪拼成長方形、直尺測量等。教師將學(xué)生得到的方法進(jìn)行整合，以剪拼成長方形的方法為主，總結(jié)出平行四邊形的面積計算公式。最后是鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生完成幾道典型的習(xí)題。

從教學(xué)后的反饋得知，學(xué)生掌握知識的情況非常好，他們不僅知道了平行四邊形的面積計算公式，也經(jīng)歷了公式的推導(dǎo)過程。但筆者對該課的教學(xué)有兩個疑問：

（1）讓學(xué)生經(jīng)歷平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程是本課的核心，除此以外，教師還應(yīng)該讓學(xué)生有哪些方面的提升？

（2）教師基本上都是推廣將平行四邊形剪拼成長方形的方法，可不可以不剪拼，直接讓學(xué)生畫一畫或是口述？學(xué)生有沒有這些能力？學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)到底在哪里？

有些教師認(rèn)為，學(xué)生對于這部分知識存在的主要問題是長方形的面積計算公式所產(chǎn)生的負(fù)遷移：認(rèn)為平行四邊形的面積等于鄰邊相乘。對此，筆者在引入環(huán)節(jié)進(jìn)行調(diào)整，其余教學(xué)環(huán)節(jié)不變。

【教學(xué)案例】“平行四邊形的面積”引入環(huán)節(jié)

對于求第三個圖形平行四邊形的面積，有學(xué)生的算式是6×5=30（平方厘米）。筆者拿出一個平行四邊形的模型，通過拉伸講解這個方法是不正確的，進(jìn)而引出本課探索新知的環(huán)節(jié)。這樣的引入是不是會誤導(dǎo)學(xué)生？

二、前測調(diào)查，探知起點(diǎn)

為了弄清楚心中的疑問，筆者對四年級學(xué)生進(jìn)行了關(guān)于平行四邊形的面積知識的前測，前測時間為15分鐘，不能討論。一共發(fā)出前測卷70份，收回67份。

【設(shè)計意圖：核實長方形的面積計算公式的負(fù)遷移是不是影響很大，學(xué)生在看到其他條件的時候是否能正確計算平行四邊形的面積?！?/p>

【前測結(jié)果：學(xué)生求第一個圖形和第二個圖形的面積時幾乎全對，而第三個圖形的解答正確率為65.7%。可見，在看到其他條件的情況下，大部分學(xué)生能正確計算平行四邊形的面積，少部分學(xué)生采用了鄰邊相乘的方法。】

前測試題2：

我們應(yīng)該怎樣求平行四邊形的面積呢？平行四邊形的面積=? ? ? ? ? ? ?×

你可以把你的想法用畫圖或者講道理或者你喜歡的其他方式表達(dá)出來。

你可以選擇任何你喜歡的工具，比如：格子圖、1平方厘米的小正方形、剪刀、直尺、三角尺等。看誰想到的方法最多。

【設(shè)計意圖：觀察學(xué)生在沒有工具的前提下，只憑想象能否正確求出平行四邊形的面積，是否能夠清晰表達(dá)所用的方法?！?/p>

【前測結(jié)果：知道平行四邊形的面積計算公式，并可以清楚地把平行四邊形剪拼成長方形后解決問題的學(xué)生占82.1%;能用格子圖或者用1平方厘米的面積單位來測量的學(xué)生占22.4%?！?/p>

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，對于怎樣求平行四邊形的面積，學(xué)生的方法非常多，并且大部分學(xué)生夠解決問題，但也存在兩個問題：

（1）學(xué)生更善于用畫圖的方式表達(dá)自己的思考過程，不善于用文字或是語言表達(dá)。

（2）學(xué)生能夠求出平行四邊形的面積，但是對于轉(zhuǎn)化后的長方形和平行四邊形的關(guān)系不清楚，即學(xué)生并不清楚平行四邊形面積公式的推導(dǎo)過程。

前測試題3：

關(guān)于平行四邊形的面積，你還知道什么？你還有什么不明白的地方？什么是你想知道的？

【設(shè)計意圖：了解學(xué)生還知道什么，以及想知道什么，或是有什么不明白的地方。】

學(xué)生的主要問題有兩類：（1）平行四邊形的面積為什么是“底×高”，而不是鄰邊相乘？（2）平行四邊形的面積與它的哪些因素有關(guān)？與鄰邊有什么關(guān)系？與角有什么關(guān)系？

三、名師指路，撥云見谷

通過前測和訪談學(xué)生，筆者已基本清楚學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，但對于最初的疑問“教師還應(yīng)該讓學(xué)生有哪些方面的提升？”并沒能找到答案。恰好，筆者有幸聽到了俞正強(qiáng)老師的報告，俞正強(qiáng)老師在報告中介紹了“知識”“思考力”和“價值觀”三者之間的關(guān)系：“知識的下面是思考力，思考力的下面是價值觀?！蹦窃谄叫兴倪呅蔚拿娣e知識的下面又有著怎樣的思考力和價值觀呢？

平行四邊形的面積計算屬于面積的測量，如果要測量某個物體的面積就必須要規(guī)定面積的單位和測量的方法。循著這樣的方向，筆者查閱了各種書籍，找到平行四邊形面積知識下面的思考力和價值觀（如圖3）。

至此，筆者恍然大悟：教學(xué)時太過注重知識的教授，而忽略了或是弱化了對于思考力和價值觀的滲透。隨著時間的推移，學(xué)生很容易就忘記腦中的知識，但是腦中的思考力和價值觀卻會跟隨學(xué)生一輩子，是學(xué)生生命中的寶貴財富。

四、思考力和價值觀不是空洞的

有了以上的分析和思考，筆者將這節(jié)課的教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計。

【教學(xué)案例】“平行四邊形的面積”

教學(xué)目標(biāo)：

1.讓學(xué)生經(jīng)歷探索平行四邊形的面積計算公式的過程，并能正確利用公式計算平行四邊形的面積，思考平行四邊形的面積與平行四邊形的斜邊和角度有著怎樣的關(guān)系。

2.在平行四邊形的面積計算公式推導(dǎo)的過程中，讓學(xué)生了解各種方法的同時明確基本的解決問題的方法，并轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生空間觀念的發(fā)展。

3.在解決平行四邊形面積的相關(guān)問題的過程中，培養(yǎng)學(xué)生主動參與教學(xué)活動的意識，使學(xué)生獲得成功的體驗，樹立學(xué)習(xí)的信心。

教學(xué)重點(diǎn)：平行四邊形面積計算公式的推導(dǎo)過程。

教學(xué)難點(diǎn)：測量的一般方法及滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

教學(xué)過程：

1.課前預(yù)習(xí)

師（出示前測題2和3）：不限時間，可以和伙伴交流，可以向父母請教，也可以利用網(wǎng)絡(luò)查詢。

【設(shè)計意圖：以預(yù)習(xí)單的形式讓學(xué)生有目的地預(yù)習(xí)，可以達(dá)到事半功倍的效果。學(xué)生充分展示自己的思考過程，也暴露了薄弱點(diǎn)?！?/p>

2.方法反饋，探索新知

師：今天我們來一起學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”。怎么求平行四邊形的面積呢？同學(xué)們的學(xué)習(xí)單已經(jīng)有了非常精彩的答案，下面我們來一起欣賞，看看怎樣求出平行四邊形的面積。

方法一：數(shù)格子

用1平方厘米的小正方形鋪滿整個平行四邊形，沒填滿的圖形算半個小正方形，數(shù)出平行四邊形的面積;也可通過剪拼成長方形快速數(shù)出格子數(shù)。

方法二：算組合圖形面積

a.將平行四邊形分割成三部分（如圖4），將2和3兩部分拼成一個長方形，分別利用長方形面積計算公式計算1號長方形面積和2、3兩部分拼成的長方形面積，最后將兩部分面積相加。

b.在平行四邊形左右兩邊補(bǔ)上兩個直角三角形，使平行四邊形變成長方形（如圖5）。先計算出長方形的面積，再計算出由2和3兩個直角三角形拼成的長方形的面積，最后將兩部分相減。

方法三：剪拼

剪拼的方法是多樣的（如圖6），但都是沿著高進(jìn)行剪拼的，都是把平行四邊形剪拼成長方形后求出面積。

師：大家都想到了剪拼成長方形的方法，剪成了長方形后怎么就知道了平行四邊形的面積呢？（面積沒變，長方形的面積是已經(jīng)學(xué)過的）還有不同的剪法嗎？它們有什么相同的地方嗎？（都是沿著高剪拼的）

方法四：先量出數(shù)據(jù)，再用公式直接求出平行四邊形的面積

直接量出平行四邊形的底和高，用“底×高=平行四邊形的面積”這個公式計算出圖形的面積。

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生針對自己的作品進(jìn)行表述，注重學(xué)生的表達(dá)能力的培養(yǎng)，滲透轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。】

師：你都看明白了這些方法嗎？給它們分分類，并說出分類的理由。

生：剪拼的為一類，數(shù)格子的為一類，公式的為一類。

師：求平行四邊形的面積怎么會想到剪拼成長方形？怎樣計算長方形的面積？（數(shù)格子）怎么會想到用數(shù)格子的方法？（包含幾個面積單位，它的面積就是多少）

師：大家想到了數(shù)格子的方法，想到了轉(zhuǎn)化成長方形的方法，但歸根到底，最基本的方法還是數(shù)格子的方法。（如圖7）

【設(shè)計意圖：讓學(xué)生給方法分類，意在讓學(xué)生從總體上重新審視解決問題的方法，對方法進(jìn)行回顧。讓學(xué)生體會測量物體的基本方法是數(shù)格子的方法，即數(shù)被測量的物體包含多少個面積單位。這是一個思考方式的滲透過程?！?/p>

師：有的同學(xué)是用公式來計算的，請說說這個公式是怎么得來的。

師：沒錯，平行四邊形的底=長方形的長，平行四邊形的高=長方形的寬，長方形的面積=長×寬，所以平行四邊形的面積=底×高。

（學(xué)生很少想到這種方法，如果學(xué)生想不到則由教師展示，如圖8）

師：老師這里還有一種計算平行四邊形面積的方法。（課件展示）

【設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)不僅讓學(xué)生再次經(jīng)歷將平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形的過程，以長方形為“跳板”總結(jié)出平行四邊形的面積計算公式，還通過更直觀的方式讓學(xué)生明白，原來底就表示每行格子數(shù)，高就表示一共有幾行，只不過每行的格子擺放呈階梯狀?！?/p>

3.拓展練習(xí)

師（展示學(xué)生的疑問“平行四邊形的面積為什么是‘底×高，而不是鄰邊相乘？”）：這是同學(xué)昨天提出的疑問，現(xiàn)在你能解答嗎？

師（課件展示，如圖9）：如果是鄰邊相乘，計算的是什么？（長方形的面積）

【設(shè)計意圖：解答學(xué)生心中的疑惑，得出平行四邊形的面積是不能像長方形那樣用相鄰的邊相乘的。課件的展示能讓學(xué)生更清楚之前錯誤的原因。】

師（展示學(xué)生的疑問“平行四邊形的面積跟它的斜邊的長短和角度大小是否有關(guān)系？平行四邊形的面積最大是多少？最小是多少？”）：在回答這些疑問之前，先解一道題（如圖10），看看對回答這些疑問是不是有所幫助。

師：看來平行四邊形的面積不僅與它的底和高有關(guān)系，還與它的斜邊和角度存在著某種聯(lián)系。

【設(shè)計意圖：在計算中鞏固平行四邊形的面積公式，讓學(xué)生在面積的不斷變化中感受面積不僅與底和高有關(guān)，還和斜邊及角度有很大的關(guān)系?！?/p>

4.全課總結(jié)

師：通過今天的學(xué)習(xí)你有哪些收獲呢？

教學(xué)反思：

1.只有學(xué)生自己產(chǎn)生的問題，才能使學(xué)生的思維真發(fā)展

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)肯定有問題，教師不能只給學(xué)生提問題，還應(yīng)該幫助學(xué)生得出更多的問題和解決更多的問題，使學(xué)生的思想更活躍、更豐富。而放手讓學(xué)生獨(dú)立思考，大膽嘗試解決新問題，再交流想法和碰撞思維，是讓學(xué)生產(chǎn)生問題的有效方法。

課始，筆者沒有用一系列小問題進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)，而是讓學(xué)生在課前直面“怎樣計算平行四邊形的面積”這個問題，并以足夠的時間進(jìn)行獨(dú)立自由的思考和大膽的嘗試。眾多不同的答案才會促使學(xué)生自我反思，才會引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑他人的想法，從而不斷生成新問題：割補(bǔ)平移成長方形后算出面積是正確的，那“拉轉(zhuǎn)”成長方形后算得的面積為什么是錯誤的？周長相等的平行四邊形的面積也相等嗎？“拉轉(zhuǎn)”過程中導(dǎo)致面積大小發(fā)生變化的原因是什么？……這些問題才真正是學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的問題，才會讓學(xué)生真參與，也才會讓學(xué)生有思維的真發(fā)展。更重要的是，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力在這一過程中得到培養(yǎng)?！疤岢鲆粋€問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數(shù)學(xué)上或?qū)嶒炆系募寄芏眩岢鲂碌膯栴}，卻需要有創(chuàng)造性的想象力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步?！保◥垡蛩固梗?/p>

2.不能空洞地、形式地教思考力和價值觀

教數(shù)學(xué)一定要教思考力和價值觀，但是不能空洞地、形式地教，要以數(shù)學(xué)知識為載體教思考力和價值觀，讓學(xué)生在學(xué)會知識的過程中學(xué)會運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式思考問題。面對怎樣計算平行四邊形的面積這一問題，有的學(xué)生用平行四邊形相鄰兩邊相乘，也有學(xué)生將平行四邊形“拉轉(zhuǎn)”成長方形后用“長乘寬”去計算。這些都是合情推理。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)往往重演繹推理，輕合情推理，只滿足于證明現(xiàn)成結(jié)論，很少有學(xué)生探索結(jié)論、提出猜想的活動過程。用合情推理獲得猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，用演繹推理驗證猜想、證明結(jié)論，這兩種推理是相輔相成的。因此，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，讓學(xué)生在合情推理的過程逐漸養(yǎng)成數(shù)學(xué)的思考力和價值觀。

（責(zé)編 金 鈴）