何燕敏

【摘要】影響學(xué)習(xí)的重要因素是學(xué)生已知的內(nèi)容。我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，以“一輪復(fù)習(xí)：解直角三角形”為例，探討如何提高中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性。結(jié)合學(xué)情，讓復(fù)習(xí)課更純粹地直擊學(xué)生的知識(shí)漏洞，使得學(xué)生學(xué)會(huì)探究問題本源、舉一反三，是我們今后繼續(xù)努力的方向。

【關(guān)鍵詞】直角三角形;數(shù)學(xué);復(fù)習(xí)課

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課在初中數(shù)學(xué)課中占據(jù)了很重要的位置，尤其是九年級(jí)下學(xué)期。提高數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的有效性，無疑是提高學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的必經(jīng)途徑。然而，目前大多數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課存在知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單講解、重復(fù)訓(xùn)練、學(xué)生“會(huì)的還是會(huì)的，不懂得仍是一無所得”等問題，數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的效果一般。很多同行都表示，課前先讓學(xué)生進(jìn)行系統(tǒng)梳理會(huì)更有效。但在實(shí)際的教學(xué)中，中考復(fù)習(xí)備考時(shí)間緊，各科作業(yè)繁重，難以保證學(xué)生在課前充分梳理。因此，這種方法難以在每節(jié)復(fù)習(xí)課前進(jìn)行開展。如何利用課堂短短40分鐘，讓大部分學(xué)生在復(fù)習(xí)課中有所悟、有所呢獲？這是筆者教初三以來一直思考的問題。

筆者在準(zhǔn)備校內(nèi)公開課“一輪復(fù)習(xí)：解直角三角形”時(shí)，通過翻閱各種期刊論文，不斷地集體備課、組內(nèi)磨課等深諳要上好一節(jié)復(fù)習(xí)課的不易。有幸經(jīng)過一番努力，這節(jié)公開課得到了不少好評(píng)。一位教師的點(diǎn)評(píng)是“現(xiàn)在很少聽到這種純粹到切中要害的復(fù)習(xí)課”。雖知道是謬贊，但仍讓筆者備受鼓舞。下面，筆者結(jié)合所授的“一輪復(fù)習(xí)：解直角三角形”一課，淺談如何讓數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課更純粹、更高效。

一、以學(xué)定教，切中要害

數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是師生、生生之間積極參與互動(dòng)、共同發(fā)展的過程。教育心理學(xué)家奧蘇伯爾認(rèn)為：“影響學(xué)習(xí)的重要因素是學(xué)生已經(jīng)知道了什么，我們應(yīng)該根據(jù)學(xué)生原有的知識(shí)狀況進(jìn)行教學(xué)。”教師在上復(fù)習(xí)課之前，如果已經(jīng)對(duì)班級(jí)學(xué)生的學(xué)情了如指掌，能很好地展現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的針對(duì)性，必能極大地提升數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的有效性。班級(jí)大部分學(xué)生的基礎(chǔ)比較薄弱，對(duì)于解直角三角形大多停留在了解特殊角的三角函數(shù)，會(huì)解單個(gè)的直角三角形的層面，對(duì)于一些有一個(gè)角是15o、75o、120o等可通過添加輔助線進(jìn)行求解的題目無從下手。究其原因，主要是對(duì)解直角三角形的要素技巧等了解不夠透徹。結(jié)合班級(jí)特色，為增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，本課學(xué)案設(shè)計(jì)緊緊圍繞求解三角形的邊、角、三角函數(shù)進(jìn)行展開，由淺入深，最后引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用解直角三角形的方法解決他們最害怕的需要作輔助線的題型。

二、追根溯源，奠定基礎(chǔ)

這是課堂教學(xué)的首個(gè)環(huán)節(jié)。解直角三角形，動(dòng)詞是“解”，常見于解方程等代數(shù)問題，對(duì)象是“直角三角形”，是典型的幾何問題。由此可見，“解直角三角形”是連接代數(shù)和幾何的重要橋梁。所以，首先引導(dǎo)學(xué)生回顧關(guān)于直角三角形要素之間轉(zhuǎn)換的知識(shí)點(diǎn)：三邊關(guān)系（勾股定理）;兩銳角關(guān)系（直角三角形的兩個(gè)銳角互余）;邊角關(guān)系（三角函數(shù)），并認(rèn)識(shí)到解直角三角形就是根據(jù)已知的邊角求直角三角形的其它未知的基本要素的量的過程。

三、基礎(chǔ)突破，變式訓(xùn)練

解直角三角形的基礎(chǔ)題主要分為兩種類型：已知兩邊解直角三角形和已知一邊一角解直角三角形。

1.已知兩邊解直角三角形

例1：已知在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=6，AC=3 ，求∠B，∠A的大小及BC的長(zhǎng)。

變式1：在Rt△ABC中，∠C=90o，AB=，AC=，則∠A的度數(shù)為（? ）

A.75o? ? ? B.60o? ? ? C.45o? ? ? D.30o

變式2：等腰三角形的腰長(zhǎng)為2cm，底邊長(zhǎng)為cm，則其頂角的度數(shù)為____，面積為____。

變式3：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90o，已知BC=，AC=，解這個(gè)直角三角形。

2.已知一邊一銳角解直角三角形

例2：如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90o，AC=5，∠B=60o，求BC的長(zhǎng)。

變式1：已知在Rt△ABC中，∠C=90o，∠B=45o，AB=a，求AC的長(zhǎng)。

分析：例題的難點(diǎn)在于沒有圖，可通過分析題目確定直角和對(duì)應(yīng)的直角邊，畫出草圖，從而確定要求的對(duì)象所在的位置，通過三角函數(shù)進(jìn)行求解。

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生的幾何建構(gòu)能力較弱，由例題可以加深學(xué)生對(duì)直角三角形的認(rèn)識(shí)。變式2很好地對(duì)這一技能進(jìn)行檢驗(yàn)。學(xué)生通過三道變式訓(xùn)練可以更好地了解到三角函數(shù)的應(yīng)用背景是在直角三角形內(nèi)，并提高計(jì)算能力。

四、推進(jìn)問題，擊中難點(diǎn)

本節(jié)課主要以教學(xué)案進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)案的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)模式指出：課堂要真正做到“教師變教為導(dǎo)，學(xué)生邊聽為學(xué)”，就需要教師在教學(xué)過程中做到“問題讓學(xué)生自己去解決，知識(shí)讓學(xué)生自己去探索，規(guī)律讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，學(xué)法讓學(xué)生自己去歸納”。在學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)能過關(guān)后，筆者直接讓學(xué)生思考并讓學(xué)生代表主講例3的解題突破點(diǎn)。

例3：如圖，在△ABC中，∠A=30o，tanB=，AC=，求AB。

變式1 如圖，在△ABC中，∠A=30o，∠B=45o，AC=，則AB長(zhǎng)為_____。

分析：例3涉及三角函數(shù)，必須構(gòu)造直角三角形，但∠A和∠B是已知的角，不能分割，故應(yīng)過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H。

點(diǎn)評(píng)：“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生通過之前的知識(shí)積累可以深刻地認(rèn)識(shí)到利用三角函數(shù)構(gòu)建直角三角形。

五、拓展提升，提高素養(yǎng)

因課時(shí)緊湊，傳統(tǒng)復(fù)習(xí)教學(xué)為追求高效，教師很多時(shí)候只重視自己的講解質(zhì)量，忽視學(xué)生自主探索的過程。但復(fù)習(xí)課的課堂教學(xué)，應(yīng)該激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性和創(chuàng)造性，置學(xué)生于“有話可說，有理能辯”的位置，讓學(xué)生在分享交流中產(chǎn)生激烈的思維碰撞，迸發(fā)出智慧的火花，使數(shù)學(xué)充滿挑戰(zhàn)性，從而促進(jìn)學(xué)生自主探究能力的提高和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)。為此，筆者要求學(xué)生完成下面拓展題并讓學(xué)生上臺(tái)分享。

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=

90o，AB=3，BC=2，tanA=，則CD=____。

以下是學(xué)生展示的五種不同的解題方法：

方法①：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，通過證明△EDC∽△EBA，得到，從而算出;

方法②：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，通過計(jì)算sinE=，從而算出;

方法③：延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，令A(yù)E中點(diǎn)為F，連接CF，由中位線定理得到CF//AB且，證出△FCE是直角三角形，利用等面積法算出;

方法④：令A(yù)B中點(diǎn)為G，過G作GH⊥AD，垂足為H，連接GH、GC，易證四邊形HGCD是矩形，從而將求CD轉(zhuǎn)化到求HG上，利用三角函數(shù)算出CD=HG=AG·sinA=;

方法⑤：連接AC，延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，針對(duì)△ACE用等面積法，計(jì)算出;由中位線定理得到CF//AB且，證出△FCE是直角三角形，利用等面積法算出。

解法①②? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?; ? 解法③

解法④? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?解法⑤

點(diǎn)評(píng)：學(xué)生最后的展示大大超出筆者的預(yù)期，這是讓筆者最為感動(dòng)的一點(diǎn)。這道拓展題難度不大，意在讓學(xué)生一題多解。對(duì)于一題多解的題目，教師應(yīng)該保持一種開放包容的態(tài)度，為學(xué)生營(yíng)造安全的環(huán)境，讓學(xué)生敢說、敢問、敢辯，使得學(xué)生在平等、信任、尊重的氛圍中受到鼓勵(lì)，得到方法指導(dǎo)和建議。

純粹的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課拋開諸多形式化的東西，使得目標(biāo)明確，任務(wù)條理清晰，讓學(xué)生步步為營(yíng)，在最近發(fā)展區(qū)“跳一跳”就能享受到“摘取”數(shù)學(xué)解題的樂趣。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔡建新.問題化學(xué)習(xí)，優(yōu)化初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2018（10）：20-23.

[2]張偉浚.基于教學(xué)案的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式的實(shí)踐與思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2011：23-26.

[3]孫偉剛.改編課本例題習(xí)題 讓數(shù)學(xué)課鮮活起來[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2007（46）：60.

責(zé)任編輯? 羅良英