湖北省武漢市華中科技大學(xué)同濟(jì)附中(430030) 王凱旋

在七年級(jí)上冊(cè),我們學(xué)過的角的表示方式有四種,(1)用三個(gè)大寫字母表示,例如∠ABC,∠BAC,∠BCA(如圖1) ;(2)用一個(gè)大寫字母表示,例如∠A,∠B,∠C(如圖1);(3)用一個(gè)特殊的字母表示例如∠α,∠β,∠γ(如圖2);(4)用一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示,例如∠1,∠2,∠3(如圖3).學(xué)生在解答平面幾何問題時(shí),往往處理得很簡單,不管三七二十一就用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角.這種做法很多時(shí)候使解題過程略顯復(fù)雜.每次考試閱卷,批閱幾何題的速度都是最慢的,閱卷老師總是抱怨不好批改.其中一個(gè)原因就是角的表示都選用三個(gè)大寫字母表示,老師要逐一判斷每一個(gè)角的對(duì)應(yīng).如何解決學(xué)生這一表達(dá)習(xí)慣? 教師可以考慮在教學(xué)過程中貫徹以下三個(gè)原則,并不斷滲透,直到學(xué)生不拘泥于一種表示方式,掌握角的多種表達(dá)方式,并在解題中熟練地選擇出最為合適的一種表達(dá)方式,使解題過程顯得更為清晰和簡潔.

圖1

圖2

圖3

1 簡單原則

在平面幾何圖形中如果一個(gè)頂點(diǎn)只有一個(gè)角,我們自然選擇方式(2),這就是最簡單的表示方式;如果一個(gè)頂點(diǎn)處有多個(gè)角,大多情況下,選用方式(1),但為了使解題過程簡單,可以選擇方式(4),即盡量避免全部用三個(gè)大寫字母表示.這樣可以使整個(gè)解答過程簡單,表達(dá)清晰.

例1 如圖4,在四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,BE平分∠ABC,DF平分∠CDA,求證:BE//DF.

圖4

圖5

說明:1.∠ABC,∠ADC的頂點(diǎn)處有多個(gè)角,為了相互區(qū)分,選用三個(gè)大寫字母表示是最準(zhǔn)確的;2.∠A,∠C的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角,不選擇三個(gè)大寫字母表示,選擇一個(gè)大寫表示就是最優(yōu)化的;3.∠1,∠2,∠3 的頂點(diǎn)處有多個(gè)角,不選擇三個(gè)大寫字母表示,選擇用數(shù)字來表示角就是最優(yōu)化的.

例2 已知如圖6,直線AM//DN,求證:∠A+∠C=∠B+∠D.

圖6

證如圖7,分別過點(diǎn)B,C作BE//AM,CF//AM,∵AM//DN,∴BE//AM,BE//CF,CF//DN,∴∠A=∠1,∠3=∠2,∠4=∠D,∴∠A+∠3+∠4=∠1+∠2+∠D,即:∠A+∠BCD=∠ABC+∠D.

圖7

說明:1.∠ABC,∠BCD的頂點(diǎn)處有多個(gè)角,為了相互區(qū)分,選用三個(gè)大寫字母表示是最優(yōu)化的;2.∠A,∠C的頂點(diǎn)處只有一個(gè)角,不選擇三個(gè)大寫字母表示,選擇一個(gè)大寫表示就是最優(yōu)化的;3.∠1,∠2,∠3,∠4 的頂點(diǎn)處有多個(gè)角,不選擇三個(gè)大寫字母表示,選擇用數(shù)字來表示角就是最優(yōu)化的.

2 結(jié)構(gòu)原則

在幾何圖形中,如果一個(gè)角自身需要用三個(gè)大寫字母表示,而且除了頂點(diǎn)外,其余字母可以有多種選擇,這樣我們可以根據(jù)“結(jié)構(gòu)原則”進(jìn)行表示.即對(duì)這個(gè)角進(jìn)行定位,所研究的角是放在哪個(gè)三角形或者哪個(gè)多邊形中,則三個(gè)大寫字母選擇相應(yīng)的頂點(diǎn)字母.例如“全等三角形”和“相似三角形”中的對(duì)應(yīng)關(guān)系.而非隨意選擇三個(gè)大寫字母.

例3 如圖8,已知D,E分別為AB,AC上兩點(diǎn),且BE,CD交于點(diǎn)O,AD=AE,BD=CE,求證:OB=OC.

圖8

說明:1.∠A同時(shí)在ΔBAE和ΔCAD,選擇用一個(gè)大寫字母表示,既體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)原則”又提現(xiàn)了“最簡原則”;2.∠AEB,∠ADC,∠BDO,∠CEO,四個(gè)角的表示方式都不唯一,除了頂點(diǎn)字母,另外兩個(gè)字母可以有不同的選擇;選擇這三個(gè)大寫字母表示,主要體現(xiàn)其所在的三角形.

上面所說的“簡單原則”和“結(jié)構(gòu)原則”中角的表示方式,集中在表示方式(1)(2)(4),這三種角的表示方式,它們都依賴一定的幾何圖形,強(qiáng)調(diào)了角的位置.而方法(3),可以脫離幾何圖形指某個(gè)角,教材中也有這樣的例子.例如:①∠α的度數(shù)是48 度56 分37 秒,記作:∠α=48°56′37′′;②∠α的補(bǔ)角是它的3 倍,∠α是多少度? 在此,并不知∠α在哪一個(gè)具體的圖形中.但不影響角的相關(guān)計(jì)算.在此基礎(chǔ)上,可進(jìn)一步補(bǔ)充一種角的表示方式,這種方式體現(xiàn)了角的代數(shù)性.

3 計(jì)算原則

在解答幾何問題時(shí),有一部分問題僅僅側(cè)重角度的大小計(jì)算,可以考慮具體的幾何圖形,也可以不考慮.此時(shí)可選擇一個(gè)小寫字母來表示角的大小,常用有:x,y,z等,這樣可以使角度的計(jì)算過程流暢,計(jì)算的結(jié)果明確.這種表示方式遵循的是“計(jì)算原則”,主要強(qiáng)調(diào)了角的大小運(yùn)算.

例4 如圖9,在ΔABC中,三條角平分線AD,BE,CF相交于點(diǎn)G,GH⊥BC于H,求證:∠BGD=∠HGC.

圖9

說明:1.∠BAG,∠CAG,∠ABG,∠CBG,∠ACG,∠BCG選擇用三個(gè)大寫字母表示,既體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)原則”又提現(xiàn)了“最簡原則”;

2.同時(shí)為了使計(jì)算更明確,對(duì)于參與運(yùn)算的這6 個(gè)角我們選用小寫字母x,y,z表示,體現(xiàn)了“計(jì)算原則”,這樣還可以使角的運(yùn)算大小明確,快速做出判斷.

例5 如圖10,AD,BC相交于E,連接AB,CD,AF,CF分別平分∠BAD和∠BCD,交點(diǎn)為F,CF交AD于G,求證:

圖10

說明:1.∠GCD,∠BAH,∠HCF∠GAF這4 個(gè)角選擇了用三個(gè)大寫字母表示,既體現(xiàn)了“結(jié)構(gòu)原則”又體現(xiàn)了“最簡原則”;2.∠GCD,∠BAH,∠HCF∠GAF這4 個(gè)角選用小寫字母x,y,z表示,使運(yùn)算更流暢,體現(xiàn)了“計(jì)算原則”,使角的運(yùn)算大小明確,快速表示出三個(gè)角之間的相互運(yùn)算關(guān)系.

俗話說,“一花獨(dú)放不是春,百花齊放春滿園”.在解答幾何問題時(shí),如果能靈活選擇角的表示方式,應(yīng)用于角的多種運(yùn)算關(guān)系,優(yōu)化解答過程.可以使解題過程簡潔,思路清晰.同時(shí)能減輕閱卷老師的負(fù)擔(dān),增加自己的得分,何樂而不為也?