廣東省廣州市執(zhí)信中學(xué)(510080) 堯祿華

1 引言

邏輯推理素養(yǎng)是《普通高中數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》中明確規(guī)定的六大核心素養(yǎng)之一,對學(xué)生成長具有重要意義,在形成人的科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、理性思維及促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展具有重要作用.2017 版課程標(biāo)準(zhǔn)指出:邏輯推理是指從一些事實和命題出發(fā),依據(jù)規(guī)則推出其它命題的素養(yǎng).

相比之前的階段學(xué)習(xí),高中是學(xué)生邏輯推理能力發(fā)展的重要階段,需要更強(qiáng)的邏輯推理能力.學(xué)生通過高中課程學(xué)習(xí),要掌握基本的邏輯推理形式,要有邏輯的思考問題,要能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián),把握事物的發(fā)展脈絡(luò),形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神,增強(qiáng)交流能力.因此,在高中課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力顯得更為重要.

眾所周知,解題教學(xué)歷來是提升學(xué)生思維能力、培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要途徑.教師可以通過典型的、具體的題目,引導(dǎo)學(xué)生開展探究活動,幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識,構(gòu)建知識內(nèi)在邏輯,合理得出數(shù)學(xué)結(jié)論,體會蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

目前關(guān)于如何培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng),已經(jīng)有很多文獻(xiàn)給出了很好的建議.但主要聚焦于新授課中,例如文獻(xiàn)1、2、3;也有的是從教材編寫角度,闡述編者意圖,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng),例如文獻(xiàn)4.但是對于如何在解題中培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng),卻鮮有論述.2021 年全國卷第17 題是一道數(shù)列知識的題,考查的知識是數(shù)列奇偶項分類,數(shù)列通項、求和等.對于類似題目,備考中學(xué)生做過不少練習(xí),在各類模擬試卷中也經(jīng)常出現(xiàn),對大部分學(xué)生而言是必須要拿到一個滿意分?jǐn)?shù).然而從閱卷老師反饋得知,得分并不樂觀;尤其是第二問,從教師角度看,就算逐項計算,得出前20 項的和也并不困難,然而很多學(xué)生卻沒有計算正確結(jié)果,甚至不少交空白卷.為什么大量練習(xí)失效了,難道是“熟能生笨”.數(shù)列作為每年高考重點,承載著命題者對多種核心素養(yǎng)的考查,拋開學(xué)生運(yùn)算能力不足、步驟不嚴(yán)謹(jǐn)丟分原因之外,另一個原因便是學(xué)生思維不夠靈活、邏輯推理素養(yǎng)不高.據(jù)此,下文筆者以一道平常數(shù)列問題的解決為例,通過變式與拓展,逐步開拓學(xué)生思路,引導(dǎo)學(xué)生深度思考,從本質(zhì)上把握問題,培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理素養(yǎng),提高學(xué)生解決問題能力.

2 一道數(shù)列題的教學(xué)過程

題目:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+an+1=n2,n ∈N*,求數(shù)列{an}通項.

實踐教學(xué)表明,學(xué)生在第一次接觸該題目時,會感覺到無從下手.如果直接告訴怎樣解答,則學(xué)生感覺無異于魔術(shù)師從帽子里變出一只兔子來,下次碰到類似問題,還是不會解決.

2.1 從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)設(shè)計教學(xué),培養(yǎng)前后連貫一致的邏輯思維

要構(gòu)建前后連貫一致的邏輯推理,首先要具備邏輯思維的起點.即面對一個新問題,我們應(yīng)該先找到問題突破口,從而進(jìn)行邏輯推理,推動解題向目標(biāo)前進(jìn).通常情況下,問題的突破口隱藏在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗中.但實際解題中,某些問題思維跨度較大,或者情境較為陌生,學(xué)生是不容易根據(jù)已有經(jīng)驗想到的;這時,就需要教師精心設(shè)計問題串,合理搭建臺階,從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)開展教學(xué),讓學(xué)生思維自然流淌,從而構(gòu)建出從已知條件到問題(結(jié)論)的前后連貫一致的邏輯推理,從而提高學(xué)生有邏輯的分析問題能力.

考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知基礎(chǔ),對等差數(shù)列很熟悉,本題可以設(shè)計如下問題串:

問題1:如果把條件“an+an+1=2,n ∈N*”改為:“an+1-an=2,n ∈N*”,大家熟悉嗎?

這是一個等差數(shù)列題,學(xué)生當(dāng)然熟悉.進(jìn)一步追問:

問題2:如果改為“an+1-an=2n-1,n ∈N*”,能求出數(shù)列{an}通項嗎?

這仍然是學(xué)生熟悉的問題,稍加思索,學(xué)生便能夠想到運(yùn)用累加法.不過需要提醒學(xué)生注意數(shù)列的角標(biāo)問題.

問題3:如果改為“Sn-an=n2,n ∈N*”,能求出數(shù)列{an}通項嗎?

這是一個已知Sn與an關(guān)系,求數(shù)列通項的問題,學(xué)生也能很快想到運(yùn)用公式an=,求出{an}通項.需要提醒學(xué)生注意的是,運(yùn)用該公式能推出的通項公式僅當(dāng)n≥2 成立,需要檢驗a1的數(shù)值是否滿足這個通項.

問題4:如果把條件改為“a1=1,a2=2,an+2-an=2,n ∈N*”,求數(shù)列{an}通項.

對于該問題,學(xué)生第一感覺這好像是一個等差數(shù)列,但又有所區(qū)別.這并不是連續(xù)相鄰兩項的差是一個常數(shù),而是中間隔了一項的“相鄰”的兩項的差是一個常數(shù),也即是該數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別成等差數(shù)列;此時,只需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)符號表達(dá)即可.由a2k-1=a1+(k-1)d=2k-1,a2k=a2+(k-1)d=2k得,an=n,n ∈N*.

通過以上四個問題,不難發(fā)現(xiàn)一個共性,就是要順利求出某個數(shù)列通項,關(guān)鍵在于能否把已知條件轉(zhuǎn)化成“類等差”數(shù)列的結(jié)構(gòu).例如an-an-1=f(n)、an-Aan-1=f(n)、an+2-an=f(n)等結(jié)構(gòu),其中f(n)可以是常數(shù)C、c·n+d、或者C ·an等.這種轉(zhuǎn)化是符合學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的,把一個未知問題,轉(zhuǎn)化成曾經(jīng)學(xué)過的、熟悉的、已經(jīng)解決了的問題.

回到開頭提出的問題,條件是an+an+1=n2,n ∈N*,等式左邊是兩項相鄰的和,那么如何才能轉(zhuǎn)化成上述“類等差”數(shù)列的結(jié)構(gòu)呢? 這是解決本題的關(guān)鍵.思索片刻后,學(xué)生有下面解法:

仿照問題3 的處理方法,由an+an+1=n2,n ∈N*,可得an+1+an+2=(n+1)2,n ∈N*,兩式相減得an+2-an=(n+1)2-n2=2n+1,由累加法可得，

以上的教學(xué)設(shè)計充分揭示了解題思維的形成過程,相比直接告訴學(xué)生解法,更能讓學(xué)生理解老師“是怎么想到的”,也即知其然,更知其所以然.

2.2 多角度構(gòu)建知識間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生思維廣闊性

著名特級教師孫維剛曾說:教師要站在系統(tǒng)的高度教學(xué),使學(xué)生對知識產(chǎn)生八方聯(lián)系,漸漸使學(xué)生思維養(yǎng)成時時處在浮想聯(lián)翩、思潮如涌的狀態(tài).就本題而言,進(jìn)一步觀察“an+an+1=n2,n ∈N*”結(jié)構(gòu)特征,不難發(fā)現(xiàn),這是一個相鄰的兩項和結(jié)構(gòu),那么我們完全可以推出數(shù)列{an}的前n項和Sn,再通過Sn求出an.

解法2:當(dāng)n為偶數(shù)時,

再比如學(xué)生在平常練習(xí)中經(jīng)常會出現(xiàn)把“an+1=A·an+B”轉(zhuǎn)化成“an+1+p=A·(an+p)”結(jié)構(gòu),如果從這個角度考慮,是否也可以得出答案呢? 答案顯然是肯定的.

2.3 適度變式訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比能力

教師在課堂教學(xué)中,要善于抓住教學(xué)契機(jī),引導(dǎo)學(xué)生加強(qiáng)知識、解題方法縱橫間聯(lián)系,適度進(jìn)行變式教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比能力,解題方法遷移能力.章建躍博士在文5 中曾說道:“變式”對于揭露數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)和思想方法具有重要意義,可以使“再發(fā)現(xiàn)”的過程既簡約又有效,使數(shù)學(xué)知識各側(cè)面的本質(zhì)特征更加顯露突出,有利于學(xué)生“透過現(xiàn)象看本質(zhì)”,使學(xué)生更容易地發(fā)現(xiàn)“變化中的不變性”“變化中的規(guī)律性”,在形式的運(yùn)動變化過程中認(rèn)識內(nèi)容,體驗數(shù)學(xué)研究的過程、數(shù)學(xué)思想方法的真諦.就本題,至少可以從以下幾個方面引導(dǎo)學(xué)生變式拓展,加深對解題方法、思路的深刻理解,進(jìn)一步把握問題的本質(zhì).

改變等式“an+an+1=n2”的右邊:

變式1:已知數(shù)列{an}中,a1=1,,求數(shù)列an+an+1=n2+n,n ∈N*通項.

變式2:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+an+1=an,n ∈N*,求數(shù)列{an}通項.

上述變式主要拘泥于轉(zhuǎn)化成“類等差”數(shù)列結(jié)構(gòu).若從訓(xùn)練學(xué)生知識遷移、類比能力角度考慮,本題也可以設(shè)計一些轉(zhuǎn)化成“類等比”數(shù)列結(jié)構(gòu)的問題.

改變等式“an+an+1=n2”的左邊;

變式3:已 知 數(shù)列{an}中,a1=1,an · an+1=n(n+1),n ∈N*,求數(shù)列通項.

變式4:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=an,n ∈N*,求數(shù)列{an}通項.

事實上,學(xué)生掌握情況良好,我們還可以提出更高的要求,設(shè)計一些開放性的問題,進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生深度思考,理解問題的本質(zhì).

變式5:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+an+1=f(n),n ∈N*,其中f(n) 需要滿足什么樣的表達(dá)式,能求數(shù)列{an}通項.你能列舉幾個嗎?

變式6:已知數(shù)列{an}中,a1=1,an·an+1=f(n),n ∈N*,其中f(n)需要滿足什么樣的表達(dá)式,能求數(shù)列{an}通項.你能列舉幾個嗎?

上述變式產(chǎn)生是自然的、合理的,它不同于簡單的應(yīng)試訓(xùn)練,而是基于數(shù)學(xué)發(fā)展內(nèi)在的變與不變,基于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和素養(yǎng)生成的規(guī)律,一方面加深了學(xué)生對問題的理解,另一方面也提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等核心素養(yǎng).是學(xué)生易于接受的.

3 結(jié)束語

適當(dāng)類似重復(fù)題型訓(xùn)練是可以有效增加學(xué)生解題經(jīng)驗和熟練度,也可以提高類似題型的解題速度.但是如果忽略解題過程中邏輯推理能力的培養(yǎng),盲目的加大訓(xùn)練量,壓榨學(xué)生時間,普通學(xué)生也只能是機(jī)械式的記憶,簡單的模仿,將事倍功半.特別是在面對承載著考察核心素養(yǎng)的新高考試題中,反復(fù)訓(xùn)練將會越來越難以湊效.從長遠(yuǎn)來看,反復(fù)訓(xùn)練也會降低學(xué)生創(chuàng)造性能力和對問題理解力.教師要充分研究《課程標(biāo)準(zhǔn)》,準(zhǔn)確理解新課程理念,充分挖掘教學(xué)資源,在遵循學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)上,適當(dāng)?shù)膸ьI(lǐng)學(xué)生進(jìn)行變式拓展訓(xùn)練,多角度思考問題,激發(fā)學(xué)生深度思考,培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng).