福建省廈門外國語學校海滄附屬學校(361026) 王晴

“圖形的變化”是“圖形與幾何”領域的三大模塊之一.軸對稱是三種全等變換中重要的一種.點是構(gòu)成幾何圖形的基本元素,任何一種圖形變換的本質(zhì)都是圖形上的點發(fā)生了變化.

原軸對稱試題多直接指明,哪兩個三角形關于某條直線呈軸對稱.而現(xiàn)在有些試題不再直接出現(xiàn)軸對稱,僅表述點關于線對稱.如福建省2021年的中考試題第24 題.如圖1,在正方形ABCD中,E、F為邊AB上的兩個三等分點,點A關于DE的對稱點為A′,AA′的延長線交BC于點G.求證:DE//A′F.可見在軸對稱問題的教學中,我們要抓住變化的本質(zhì),即點的對稱.

圖1

1 點對稱問題的認識過程

學生在小學二年級,首次認識了軸對稱.通過對折,剪紙等一系列活動感受軸對稱現(xiàn)象.受年齡認知的限制,書中的例子多是生活實例,葫蘆,蝴蝶,這些實例幾何特征并不明顯,學生很難感受到軸對稱本質(zhì)是點關于線的對稱.

四年級進一步學習軸對稱.能在網(wǎng)格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸.用測量的方式得到對應點與對稱軸的距離是一樣的.這個時候?qū)W生對軸對稱仍停留于直觀的感知,對其本質(zhì)圖形上的點關于線對稱,還是一種朦朧的認識.

八年級,課本用規(guī)范的語言描述了兩個圖形成軸對稱,同時出現(xiàn)了對稱點的概念,并在邏輯推理中得到,對稱軸與對應點連線的關系.

2 點對稱問題的教學思考

初中階段點對稱問題可以分為兩種.點關于點對稱,點關于線對稱.學生對于點對稱問題的學習,始于對軸對稱的認識.但無論是小學還是初中課本,都沒有直接出現(xiàn)點關于點的對稱,點關于線的對稱的概念解釋.在實際教學中,有些老師們默認對稱這個概念學生是會的,也就沒有在教學上做分析與引導.

筆者聽過一節(jié)七年級的課.有一道題已知,點B關于A的對稱點C,求點C所表示的實數(shù).學生對于這個問題表示很茫然,不理解題目的意思.在改卷的時候,看到學生會這樣書寫:∵點A與點A′關于直線l對稱,∴ΔABC∽=ΔA′B′C′,可見對于點對稱問題學生是含糊不清的.在初中階段教學中,教師應在相應知識點上進行點對稱問題教學,讓學生弄清對稱問題的本質(zhì).

知識學習是一個螺旋上升,不斷深化的過程.盡管課本沒有直接出現(xiàn)點關于點對稱、點關于線對稱的概念,但我們在教學過程中卻可以在適當?shù)慕虒W內(nèi)容進行滲透,最終達到知識體系的建構(gòu).

七上第一章“有理數(shù)”數(shù)軸學習中,可以設計這樣的問題:數(shù)軸上先確定一個點A,找出與它距離3 個單位的點,借此問題讓學生直觀感受點關于點的對稱就是到點A距離相等的兩個點,而這個點A就是這兩個點的中點.七下第七章“平面直角坐標系”,我們會研究一個點關于坐標軸對稱.這就是點關于直線對稱.八上第十三章“軸對稱”,這一章是學習點關于直線對稱最好的契機,要抓住這個點引導學生認識點是構(gòu)成幾何圖形的基本元素.變換前后的對應點的連線被對稱軸垂直平分,這兩個點稱為關于直線的對稱點,即軸對稱變換本質(zhì)是點關于直線對稱.本章的課題學習內(nèi)容最短路徑問題,正是點關于直線對稱的運用.此時,學生對點對稱已經(jīng)有了較深的認識.九上第二十三章“旋轉(zhuǎn)”,學習了中心對稱圖形.這里對應點與對稱中心的關系是點關于點的對稱,若這個對稱中心為原點,關系就特殊化為關于原點對稱.至此,我們可以把初中階段所有點對稱問題串成一條線,深化學習認知.

縱觀初中三年的學習,每個年級的教材內(nèi)容都涉及了點對稱,體現(xiàn)了知識學習的延續(xù)性和整體性.但不少老師在教學的過程中沒有深入理解教材,對于點對稱環(huán)節(jié)的學習都是草草帶過,而學生也只能是淺嘗輒止,在解決問題的時候就表現(xiàn)出無所適從.

3 點對稱問題的解題方法

3.1 點關于點對稱

若點B,C關于點A對稱,則|AB|=|AC|.

特殊化:若點B(x,y),點C(x1,y1) 關于原點對稱,則|OB|=|OC|,x=-x1,y=-y1.

圖2

例2 已知關于x的二次函數(shù)y=kx2-(2k-1)x+k+1(0).若拋物線上始終存在兩個不重合的點關于原點對稱,求k的取值范圍.

抓住距離相等,以及關于原點對稱的點坐標特征是解決此問題的關鍵,能快速找到題目的切入口.

3.2 點關于直線對稱

如圖3,若點B,C關于直線l對稱,則l為BC的垂直平分線.即l⊥BC,BO=CO,AB=AC.

圖3

例3 如圖4,正方形ABCD,以DF為軸,將C點對稱至E點,連接DE.若∠BAE=70°,求∠DCF的度數(shù).

圖4

解∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°,AD=CD,∵∠BAE=70°,∴∠DAE=20°,∵點C與點E關于直線DF對稱且點D在DF上,∴直線DF垂直平分CE,∴DC=DE,CF=FE,∴ΔCDF∽=ΔEDF,∴∠DCF=∠E,∴AD=ED,∴∠DAE=∠E=∠DCF=20°.

例4 如圖5,在直角ΔABC中,∠C=90°,AB=5,,r=1在AB上取點O,以點O為圓心,OB為半徑畫圓分別與AB、BC相交于點E、F(異于點B).AC是⊙O的切線,D為切點.若點F關于BD軸對稱后得到點F′,直接寫出ΔBFF′與ΔDEF′的面積之比.

圖5

例5 如圖6,反比例函數(shù)y=(x ＞0)的圖象經(jīng)過點A(2,1),過A作AB⊥y軸于點B,連OA,直線CD⊥OA,交x軸于點C,交y軸于點D,若點B關于直線CD的對稱點B′恰好落在該反比例函數(shù)圖像上,求點B′的坐標.

圖6

這類問題解決方法,由點關于直線對稱得垂直平分,中點或線段相等.在此基礎上再依條件做進一步推理,完成后續(xù)解題.

3.3 拓展延伸

(1)最小值問題

例6 如圖7,在RtΔABC中,∠BAC=90°,AB=4,AC=3,∠ABC的平分線交AC于點D,點E,F分別是BD、AB上的動點,求AE+EF的最小值.

圖7

解作點A關于BD的對稱點M,∴BD垂直平分AM.∵BD平分∠ABC,∴M落在BC上.∴BM=BA=4,AE+EF=EM+EF.過M作MF⊥AB于F,交BD于E,則AE+EF的最小值是MF的長.∵∠MFB=∠CAB=90°,∴MF//CA.∴,∴MF=2.4,∴AE+EF的最小值為2.4.

(2)二次函數(shù)圖象變換

例7 已知拋物線C:y=x2+2x-3,將拋物線C平移.請問如何平移,使兩條拋物線,關于直線x=1 對稱?

解依題意得,y=x2+2x-3=(x+1)2-4.二次函數(shù)的頂點坐標為(-1,-4).由于如果兩條拋物線,關于直線x=1 對稱,即頂點坐標關于x=1 對稱,∴拋物線C′的頂點坐標為(3,-4).∴點(-1,-4)向右平移4 個單位長度.∴拋物線C沿x軸向右平移4 個單位得到拋物線C′.

(3)中點問題

例8 如圖8,已知直線y=kx+2與直線y=3x交于點A(1,m),與y軸交于點B.設直線y=n與直線y=kx+2,y=3x及y軸有三個不同的交點,且其中兩點關于第三點對稱,求出n的值.

圖8

以上三題皆為關于點對稱問題的拓展應用.例6 學生只有真正理解點關于直線對稱的本質(zhì)才能夠準確作圖找到對稱點M.所有圖象變換的本質(zhì)皆為點的變化,在例7 中,重在抓住關鍵點的變化,二次函數(shù)最特殊的點即頂點,只要分析出頂點的變化即可知整個圖象的變化.例8 點關于點對稱問題中,|AB|=|AC|距離相等的深化理解,點A為BC的中點,本題運用了高中解析幾何的中點坐標公式,可以幫助我們快速求解.

點對稱問題是高中數(shù)學平面解析幾何中的一個重要內(nèi)容,初中階段應打好扎實的基礎.點對稱問題的教學,在教材中是分散的、零碎的.教師應為學生構(gòu)建一個前后一致、邏輯連貫的學習過程,使學生深入學習,認識點對稱問題的本質(zhì),進而發(fā)展邏輯推理,直觀想象素養(yǎng).