廣東省東莞市萬(wàn)江教育管理中心(523053)溫河山

1 原題呈現(xiàn)

如圖1,邊長(zhǎng)為1 的正方形ABD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn).連接BE,將ΔABE沿BE折疊得到ΔFBE,BF交AC于點(diǎn)G,求CG的長(zhǎng).

圖1

圖2

2 解法探究及模型解析

2.1 原題分析

本題以正方形為背景求線段長(zhǎng)度,包含中點(diǎn)、軸對(duì)稱相關(guān)知識(shí).題目條件簡(jiǎn)單,解法豐富,蘊(yùn)含了豐富的幾何模型.幾何模型是教師借助實(shí)體或者虛擬表現(xiàn)來(lái)客觀闡述幾何形態(tài)結(jié)構(gòu)的模件.幾何模型作為一種“模件”雖然只是借助圖形來(lái)開(kāi)展教學(xué)活動(dòng),但是它指向直觀思維.它根據(jù)數(shù)量關(guān)系在初中階段常見(jiàn)的表現(xiàn)形式構(gòu)造成相應(yīng)圖示.“幾何模型”就像是符合條件的“模件”,能被快速地安裝到各種幾何問(wèn)題中,因此,研究“幾何模型”對(duì)于提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義.

2.2 解法及模型分析

圖3

圖4

圖5

圖6

圖7

圖8

圖9

圖10

圖11

3 教學(xué)反思

幾何模型本質(zhì)上屬于直觀幾何的范疇,是一種通過(guò)圖形所展開(kāi)的數(shù)學(xué)想象能力,對(duì)看到的圖形思考想象,進(jìn)行合情推理,猜想可能的結(jié)論和論證思路.因此要探究幾何模型滲透教學(xué)的基本路徑.

3.1 課堂教學(xué)滲透法

在課堂教學(xué)中采用分類有機(jī)整合、變式、問(wèn)題導(dǎo)向等方法將基本模型嵌入課堂中的方法稱之為課堂教學(xué)滲透法.基本模型的教學(xué)應(yīng)堅(jiān)持課堂滲透為主,可由基本模型主動(dòng)變式,通過(guò)分類等方法,有機(jī)整合教材中的例題和課后習(xí)題.

比如,學(xué)習(xí)“勾股定理”時(shí),可滲透一線三等角模型.比如,引導(dǎo)學(xué)生利用圖12 或者圖13 推導(dǎo)勾股定理時(shí),探究“一線三等角”的性質(zhì),實(shí)現(xiàn)從“趙爽弦圖”到“一線三等角”的過(guò)渡.

圖12

圖13

3.2 課后作業(yè)滲透法

有些模型難度較大,或者需要學(xué)生先行自學(xué),教師后續(xù)強(qiáng)化,這時(shí)可將基本模型放置到課后作業(yè)來(lái)完成,稱之為課后作業(yè)滲透法.

如在“勾股定理”中設(shè)計(jì)課后作業(yè):

如圖14,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,3),將其繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到的點(diǎn)坐標(biāo)是什么? 將點(diǎn)O以直線A′A作中心對(duì)稱變換得到點(diǎn)O′的坐標(biāo)是什么?

圖14

3.3 后續(xù)學(xué)習(xí)伏筆滲透法

有些模型涉及的知識(shí)橫跨不同年級(jí),這時(shí)僅研究本學(xué)段相關(guān)的條件和結(jié)論,從而為后續(xù)學(xué)習(xí),進(jìn)一步挖掘相關(guān)結(jié)論埋下伏筆.

如在“一次函數(shù)”中探究:

(1)如圖15,正比例函數(shù)y=ax與正比例函數(shù)相互垂直,求該正比例函數(shù).

圖15

(2)若正比例函數(shù)y=ax與正比例函數(shù)y=mx相互垂直,探究a與m的關(guān)系.

(3)過(guò)一次函數(shù)y=ax+b與正比例函數(shù)y=mx+n相互垂直,探究a與m的關(guān)系.

又如在“反比例函數(shù)”中探究:

如圖16,點(diǎn)A在反比例函數(shù)上,點(diǎn)B在反比例函數(shù)上,OA⊥OB,探究OA和OB的關(guān)系.

圖16

在完成了幾何模型的首次學(xué)習(xí)后,學(xué)生便得到了關(guān)于該模型的首次印象,包括圖形及其中基本關(guān)系的猜想,而這種關(guān)系是在后續(xù)學(xué)習(xí)中常見(jiàn)或者必要的.在今后的學(xué)習(xí)中再次遇到該“模件”,便能在已有的基本關(guān)系上來(lái)推導(dǎo)其他關(guān)系,從而使得問(wèn)題更快求解.正如史寧中教授所說(shuō)的“思路是看出來(lái)的,不是證出來(lái)的[1]”,正所謂是“始于直觀,終于直觀”.