趙永

[摘 ?要] “輔助圖”是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效抓手、媒介和載體。小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，教師要合理、高效、充分地應(yīng)用輔助圖，來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，催生學(xué)生的學(xué)習(xí)思維，激活學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)。通過應(yīng)用“輔助圖”，提升學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，從而不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 小學(xué)數(shù)學(xué);輔助圖;代數(shù)教學(xué)

瑞士心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段理論認(rèn)為，小學(xué)生思維處于抽象思維向具體形象思維過渡的階段。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以借助“輔助圖”來輔助學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。小學(xué)數(shù)學(xué)，從大的板塊來看可以分為“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”等內(nèi)容。在運(yùn)用“輔助圖”方面，教師更多的是將其運(yùn)用于“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”板塊。但考慮到學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的良好發(fā)展，教師應(yīng)有意識(shí)地研究、實(shí)踐將“輔助圖”應(yīng)用于“數(shù)與代數(shù)”板塊的教學(xué)中。

[?] 一、用“輔助圖”激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

教學(xué)“輔助圖”的內(nèi)容十分豐富，它包括實(shí)物圖、學(xué)具圖、點(diǎn)子圖、幾何圖、綜合圖、符號(hào)圖等。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)過程中，教師可以使用輔助圖來具體、直觀地表達(dá)題意，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激活學(xué)生的創(chuàng)造性潛質(zhì)。此外，“輔助圖”也是可視化學(xué)生思維的有效的、重要的手段。

以教學(xué)“認(rèn)識(shí)比例”（蘇教版六年級(jí)下冊(cè)）為例，很多教師都是按照教材的做法，從“生活中的事例”入手，引出“比例的意義”。盡管這些事例蘊(yùn)含著事理，但由于這樣的事例往往比較枯燥因而不能激發(fā)學(xué)生的興趣。為了激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，筆者以生活中形狀相同、大小不同的國旗實(shí)物圖為例，將它逐漸抽象成幾何圖——“長(zhǎng)方形”，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生探究?jī)蓚€(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)的比和寬的比。在這個(gè)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生把握關(guān)鍵的兩點(diǎn)：其一是“形狀不變”，其二是“大小變”。這樣，為學(xué)生感性判斷、認(rèn)識(shí)圖形的放大和縮小奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。由于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有了生活中實(shí)物圖的支撐，也有由實(shí)物圖抽象出幾何圖的直觀表象的認(rèn)識(shí)，因此在這個(gè)過程中，“實(shí)物圖”喚醒了學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，“幾何圖”深化了學(xué)生的感知，幫助學(xué)生建立了直觀的、具體的表象。借助“輔助圖”，學(xué)生計(jì)算了圖形放大或縮小后與圖形放大或縮小前的數(shù)據(jù)比，建立了比例的概念。借助“輔助圖”，學(xué)生能將兩個(gè)比值的意義與圖形的放大或縮小的倍數(shù)聯(lián)系起來，形成了深刻的感悟。同時(shí)，這一部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)也為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)“比例尺的意義”奠定了基礎(chǔ)。

“輔助圖”能幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生自主探究。在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”教學(xué)中，教師要充分運(yùn)用教材中蘊(yùn)含基本數(shù)學(xué)思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的輔助圖，并且自主創(chuàng)建相關(guān)的輔助圖。通過輔助圖，教師可以更有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，并深化學(xué)生的數(shù)學(xué)探索。

[?] 二、用“輔助圖”催生學(xué)生的學(xué)習(xí)思維

輔助圖是一種感性的、具體的、直觀的圖形。在“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地運(yùn)用輔助圖去激發(fā)學(xué)生的思維，催生學(xué)生的想象。當(dāng)學(xué)生在“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)中產(chǎn)生思維困惑、障礙時(shí)，教師要有意識(shí)地運(yùn)用“輔助圖”來突破學(xué)生的思維障礙，解除學(xué)生的思維困惑，讓學(xué)生的思維更流暢、更清晰、更明確。同時(shí)，教學(xué)時(shí)借助“輔助圖”，能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考方法、思考路徑更優(yōu)化、更便捷。

比如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”（蘇教版三年級(jí)下冊(cè)）這部分內(nèi)容，為了突破學(xué)生的理解障礙，讓學(xué)生充分理解算理、掌握算法，筆者相繼以“實(shí)物圖”“點(diǎn)子圖”“幾何圖”為載體來引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知。從實(shí)際效果來看，這有助于學(xué)生初步認(rèn)識(shí)算理，對(duì)于計(jì)算法則理解有困難的學(xué)生則有一定的提示、支撐等輔助作用。在初步認(rèn)識(shí)算理的基礎(chǔ)上，教師有必要對(duì)實(shí)物圖進(jìn)行抽象，用“點(diǎn)子圖”來表達(dá)較大的兩個(gè)兩位數(shù)相乘的情況。相較于實(shí)物圖，“點(diǎn)子圖”的結(jié)構(gòu)性更強(qiáng)、抽象度更高，更便于學(xué)生圈畫。教師在這個(gè)階段使用“點(diǎn)子圖”，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，滲透對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想。在學(xué)生基本掌握算理、算法之后，教師有必要對(duì)“點(diǎn)子圖”這一輔助圖形進(jìn)行再次抽象，從而用長(zhǎng)方形幾何圖來表達(dá)兩位數(shù)乘兩位數(shù)的情況。

此外，輔助圖還有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移，將兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理、算法遷移、應(yīng)用到三位數(shù)乘兩位數(shù)乃至多位數(shù)乘兩位數(shù)中。教學(xué)中，教師還可以借助于點(diǎn)子圖、幾何圖，引導(dǎo)學(xué)生探究不同的算法，從而讓學(xué)生的計(jì)算過程走向多樣化。比如“15×12”既可以寫成“15×4×3”，也可以寫成“15×6×2”，還可以寫成“15×10+15×2”。借助“輔助圖”，教師能有效探究學(xué)生計(jì)算方法的多樣性，從而提升學(xué)生的計(jì)算能力和運(yùn)算素養(yǎng)。

特級(jí)教師馬芯蘭認(rèn)為，一切的科學(xué)研究都離不開形象的儲(chǔ)備、識(shí)別和模型的建立等。輔助圖的應(yīng)用為學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。從實(shí)物圖過渡到點(diǎn)子圖，從點(diǎn)子圖過渡到長(zhǎng)方形幾何圖，它們之間的連續(xù)性，代表學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從具體到抽象，這樣的學(xué)習(xí)過程順應(yīng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知發(fā)展順序以及數(shù)學(xué)思維發(fā)展規(guī)律與特質(zhì)。在小學(xué)“數(shù)與代數(shù)”板塊內(nèi)容的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生將相關(guān)的知識(shí)與圖形結(jié)合起來，從而將數(shù)形有機(jī)結(jié)合，以形助數(shù)、以數(shù)解形。

[?] 三、用“輔助圖”激活學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，輔助圖通常能將抽象的代數(shù)語言轉(zhuǎn)譯為圖形語言，從而讓教師的數(shù)學(xué)教學(xué)達(dá)到化抽象為形象、化繁雜為簡(jiǎn)單的目的。作為教師，要將“輔助圖”作為一個(gè)觸發(fā)器，去激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)，同時(shí)用輔助圖引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題，這樣能有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能，提升教師的數(shù)學(xué)教學(xué)效能。而借助“輔助圖”，學(xué)生通常能夠舉一反三、觸類旁通。因此，輔助圖的應(yīng)用不僅要具有層次性，而且要具有整體性、價(jià)值性。

以教學(xué)“分?jǐn)?shù)的意義”（蘇教版五年級(jí)下冊(cè)）為例，學(xué)生在這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，容易對(duì)“量”和“率”產(chǎn)生混淆，陷入“量率不分”的學(xué)習(xí)尷尬境地。為此，筆者從學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，給定一個(gè)分?jǐn)?shù)，讓學(xué)生借助“輔助圖”表示該分?jǐn)?shù)的意義。如此，學(xué)生積極、主動(dòng)地調(diào)動(dòng)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，有用一個(gè)物體來表示單位“1”，對(duì)之進(jìn)行平均分的;有用一條線段來表示單位“1”，對(duì)之進(jìn)行平均分的;還有用幾個(gè)物體組成的整體來表示單位“1”，對(duì)之進(jìn)行平均分的，等等。在此基礎(chǔ)上，筆者再引導(dǎo)學(xué)生比較、抽象、概括出分?jǐn)?shù)的意義，從而幫助學(xué)生建立單位“1”的概念。然后，筆者采用“控制變量法”，引導(dǎo)學(xué)生變化平均分的份數(shù)，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的大小與平均分的份數(shù)有關(guān);引導(dǎo)學(xué)生變化單位“1”的量的多少，從而讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的大小與單位“1”的量的多少無關(guān)。最后，筆者再借助輔助圖，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)的意義與平均分的份數(shù)和表示的份數(shù)有關(guān)。如此，學(xué)生對(duì)于分?jǐn)?shù)的量、率的概念才能真正完整、深刻。圖形與分?jǐn)?shù)概念的相互轉(zhuǎn)化與詮釋，有助于學(xué)生深刻理解分?jǐn)?shù)的概念本質(zhì)，內(nèi)化抽象的分?jǐn)?shù)概念以及靈活地應(yīng)用分?jǐn)?shù)概念去判斷、分析和推理。

在教學(xué)過程中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生把握單位“1”的量以及平均分的份數(shù)等的變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的意義、大小與什么因素有關(guān)，引導(dǎo)學(xué)生舍棄變化中的非本質(zhì)屬性，從而實(shí)現(xiàn)從直觀模型到抽象化模型的轉(zhuǎn)化、提煉和建構(gòu)。

總而言之，輔助圖是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效抓手、媒介和載體。在小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)中，教師要合理、高效地運(yùn)用“輔助圖”，來提升學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)知識(shí)的理解，促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)的熟練運(yùn)用。同時(shí)，教師還應(yīng)以提升學(xué)生看圖、認(rèn)圖、識(shí)圖、構(gòu)圖、畫圖、用圖、創(chuàng)圖等的能力為目標(biāo)，幫助學(xué)生分析“數(shù)與代數(shù)”相關(guān)知識(shí)，不斷提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。