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      核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)讀題能力提升策略研究

      2022-04-25 01:02:50舒建明
      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)語言數(shù)學(xué)閱讀數(shù)學(xué)素養(yǎng)

      摘要:數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是具有數(shù)學(xué)基本特征的思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價值觀的綜合體現(xiàn),是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐漸形成的必備品格和關(guān)鍵能力.問題的解決需要我們首先弄清題意,在有效的讀題前提下,找到最佳的破題之策,實(shí)現(xiàn)題目的精準(zhǔn)解答.

      關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)語言;數(shù)學(xué)閱讀

      中圖分類號:G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A文章編號:1008-0333(2022)07-0106-03

      收稿日期:2021-12-05

      作者簡介:舒建明(1980.12-),男,浙江省蘭溪人,本科,中學(xué)一級教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ)]

      解決問題,需要我們首先要弄清題意,對題干進(jìn)行有效地瀏覽閱讀,并完成對題目的理解、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化.然而,根據(jù)筆者多年觀察,現(xiàn)在很多學(xué)生在解答數(shù)學(xué)問題時,往往都對題目條件一知半解,缺乏對題目的有效解讀,無法實(shí)現(xiàn)對問題的清晰表達(dá).所以,能否順利解題,讀題并理解題意至關(guān)重要.

      1 研究背景

      案例1已知e1,e2是空間單位向量,e1·e2=12,若空間向量b滿足b·e1=2,b·e2=52,且對于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),則x0=,y0=,|b|=.

      這道題以向量為載體,以多變量最值為背景,考查向量的數(shù)量積運(yùn)算和向量模的概念及對幾何意義的理解,對大部分學(xué)生來說,要完全正確地解答出來,確實(shí)有一定的難度.但問題是,很多學(xué)生根本就無法理解題意.典型的陷入困境的做法如下:

      e1·e2=e1·e2cosθ,b·e1=b·e1cosθ1=2,|b-(xe1+ye2)|2≥|b-(x0e1+y0e2)|2=1.

      大部分學(xué)生面對數(shù)量積選擇定義,面對模就直接平方.不能否定他們的選擇就是錯誤的,但問題是他們并沒有多花一點(diǎn)時間去理解題意,而倉促動筆.理解題目中的x0,y0,也不清楚不等式|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R)所暗含的含義.

      其實(shí)對于這個不等式,在必修1中有一個關(guān)于最值的定義:

      一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足:

      (1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

      (2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.

      那么 ,我們稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值.

      在該題中,如果對這個定義有一定的了解,我們應(yīng)該很容易知道|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R)的含義,即當(dāng)x=x0,y=y0時,|b-(xe1+ye2)|取到最小值1.

      另外,對數(shù)量積運(yùn)算b·e1=b·e1cosθ1=2理解的單一化,也造成思維的局限性.我們知道,求數(shù)量積的運(yùn)算除了根據(jù)定義,還有幾何意義,即:

      b·e1的幾何意義是

      b與b在e1方向上的投影的乘積;還有坐標(biāo)法,甚至極化恒等式.所有這些方法的多樣化選擇,也會有助于我們對題目的理解,并選擇正確的方向進(jìn)行求解.

      本題中出現(xiàn)的讀題障礙,只是整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生問題解決的一個縮影.在日常的學(xué)習(xí)中,我們的學(xué)生由于要完成大量的練習(xí),而往往缺少對問題進(jìn)行有效解讀,讀懂題目含義.再加上數(shù)學(xué)語言的抽象化、符號化等特征,也增加了學(xué)生閱讀理解的難度.

      2 理論基礎(chǔ)

      《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出,通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí),學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來發(fā)展所必需的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想,基本活動經(jīng)驗(yàn);提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.因此,我們在關(guān)注學(xué)生掌握知識技能的同時,更關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),用數(shù)學(xué)思維去分析解讀問題.

      按照波利亞《怎樣解題》中提出的解題步驟:第一,弄清問題;第二,擬定計劃;第三,實(shí)現(xiàn)計劃;第四,回顧.其中,弄清問題是我們開始解題的第一步,同時它包含了兩個階段:熟悉問題和深入理解問題.而要弄清問題直至深入理解,這一切就要求我們學(xué)生具有較強(qiáng)的讀題能力,知道已知什么,要我們做什么,并由此尋找與此相關(guān)的信息點(diǎn),以完成由已知到未知的過渡.

      3 提高讀題能力的措施分析

      3.1 重視數(shù)學(xué)語言教學(xué),提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

      數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平劃分明確要求,學(xué)生能夠理解用數(shù)學(xué)語言表達(dá)的概念、規(guī)則、推理和論證. 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾認(rèn)為:“數(shù)學(xué)教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué).”懂得數(shù)學(xué)語言是我們進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解讀并理解題目的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號語言和圖形語言,以及將數(shù)學(xué)知識內(nèi)化后的自然語言.

      數(shù)學(xué)讀題過程重在理解,它是內(nèi)部語言的轉(zhuǎn)化過程,最終是要用自己的語言來理解題目的已知和要求,它是對新知識的同化和順應(yīng)的過程.在閱讀時,往往需要完成各種語言間的轉(zhuǎn)化.

      對于語言的教學(xué),從學(xué)生進(jìn)入高中學(xué)習(xí)第一課開始,書本教材中就有所體現(xiàn)了,即集合.集合語言是數(shù)學(xué)語言中的最明顯的代表,它貫穿了我們整個高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終.

      案例2(浙江省2014年高考第8題)

      記max{x,y}=x,x≥yy,x<y,min{x,y}=y,x≥yx,x<y,記a,b為平面向量,則( )

      A. mina+b,a-b≤mina,b

      B. mina+b,a-b≥mina,b

      C. maxa+b2,a-b2≤a2+b2

      D. maxa+b2,a-b2≥a2+b2

      讀題剖析

      第一步:選項呈現(xiàn)符號語言.

      max{a+b2,a-b2}和a2+b2.

      第二步:由向量加法減法的幾何意義,考慮平行四邊形,即圖形語言.

      第三步:將題目條件結(jié)合圖1內(nèi)化為自己的語言,即自然語言.

      兩對角線中較大的與兩鄰邊的平方比較大小,該圖中就是研究△ABC中的三邊,有平方和的結(jié)構(gòu)考慮余弦定理.

      第四步:利用數(shù)學(xué)的文字語言,將其代數(shù)化.

      △ABC中,cosB=a2+b2-a+b22a·b≤0得:maxa+b2,a-b2≥a2+b2

      此時,我們首先要讀懂題目中的這些符號語言,將這些符號語言用自己通俗的話語(即自然語言)加以表達(dá),以便能夠更好地理解題目的含義.最后,又將自己對該題的理解轉(zhuǎn)化為文字語言,以便能夠進(jìn)行書面表達(dá)和運(yùn)算.

      3.2 強(qiáng)化基于直觀想象下的問題解讀能力培養(yǎng)

      直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化,理解和解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,很多抽象的概念和內(nèi)容,需要我們從形的角度進(jìn)行理解,由形析數(shù),是我們發(fā)現(xiàn)和解讀問題的重要手段.

      案例3已知非零向量a,b,c,a·b=a2,3c=2a+b,則b·c|b|·|c|的最小值是.

      讀題剖析條件1:由a·b=a2,得|b|cos<a,b>=|a| (b在a方向上投影等于a),

      形:如圖2所示.

      條件2:由3c=2a+b,得c=23a+13b,用大寫字母表示有 OC=23OA+13OB(C,A,B三點(diǎn)共線),形:如圖3所示.

      我們通過直觀想象,建立數(shù)與形的聯(lián)系,借助幾何直觀來理解問題,最終轉(zhuǎn)化為一個解三角形的問題.直觀想象在最初的問題解讀過程中,不僅加深了對題目的理解,而且起到了方向性的作用.

      3.3 加強(qiáng)知識的關(guān)聯(lián)性教學(xué),促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的提升

      邏輯推理素養(yǎng)的基本水平要求是能夠結(jié)合與學(xué)過的知識有關(guān)聯(lián)的命題,通過對問題的條件與結(jié)論的分析探索論證的思路.對于較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,能夠通過構(gòu)建過渡性命題,探索論證的途徑.

      案例4已知α是第二象限角,sinα+cosα=33,求cos2α的值.

      學(xué)生:因?yàn)閟inα=33-cosα且sin2α+cos2α=1,聯(lián)立方程

      可求得cosα和sinα.

      對本題來說,學(xué)生的解題思路無可非議,他所找到的與問題相關(guān)的關(guān)聯(lián)性問題就是“平方關(guān)系”.但是,我們?nèi)绻屑?xì)分析題干條件,和要求對象間的聯(lián)系,本題還有其它的知識關(guān)聯(lián)性.

      目標(biāo)引導(dǎo)的關(guān)聯(lián)性:cos2α=cos2α-sin2α=(cosα+sinα)(cosα-sinα).

      條件引導(dǎo)的關(guān)聯(lián)性:sinα+cosα=33 (和),可以求出cosα·sinα(積)cosα-sinα(差).

      通過對條件和結(jié)論關(guān)聯(lián)性的邏輯推理,我們就很明確本題的另外一種解題策略.

      3.4 給予學(xué)生進(jìn)行閱讀的機(jī)會

      數(shù)學(xué)讀題能力的提高除了教師要教會學(xué)生能夠讀懂各種數(shù)學(xué)的語言,并能實(shí)現(xiàn)有效的相互轉(zhuǎn)化,以及教給學(xué)生各種閱讀的方法外,還要在日常的課堂教學(xué)中給予學(xué)生更多的自我閱讀機(jī)會,如閱讀教材.

      案例5必修1《函數(shù)的概念》

      應(yīng)該說這個概念相比較初中時候的函數(shù)概念更加抽象,它從集合角度定義了兩個變量間的關(guān)系,里面的關(guān)鍵點(diǎn)是“非空數(shù)集,任意性和唯一性”.在課前5分鐘,我讓學(xué)生自己閱讀教材.盡管結(jié)果可能并不如我們所愿,但我們卻給予了學(xué)生靜心閱讀的機(jī)會,讓他們自己去讀懂各種各樣的例子、符號,抽象出內(nèi)容的精髓.

      數(shù)學(xué)的題目數(shù)不勝數(shù),花樣變化萬千,唯有我們踏踏實(shí)實(shí)地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),學(xué)會用數(shù)學(xué)思維去思考和解讀問題,我們才能以不變應(yīng)萬變?nèi)プx懂它,理解它,我們才有可能找到解決它的辦法.

      參考文獻(xiàn):

      [1]?中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)[M].北京:人民教育出版社,2018.

      [2] 單墫.解題研究[M].南京:南京師范大學(xué)出版社,2018.

      [責(zé)任編輯:李璟]

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