劉達(dá)鋒

(廣東省廣州大學(xué)附屬中學(xué)南沙實(shí)驗(yàn)學(xué)校,511466)

本文從一道新高考解析幾何試題出發(fā),揭示命題背景，探究題源,挖掘命題的“題根”,達(dá)到由例及類、觸類旁通的目的．

一、試題呈現(xiàn)

(1)求C的方程;

該題與2016年的四川高考理科數(shù)學(xué)第20題十分相似．

(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT，與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值．

這兩題第(2)問(wèn)的條件類似,|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,|PT|2=λ|PA|·|PB|,容易讓人想起初中所學(xué)的相交弦定理、割線定理、切割線定理．我們知道,橢圓是可以由圓伸長(zhǎng)或壓縮得到,那么,橢圓、雙曲線是否也有類似定理?

二、尋根溯源

研究數(shù)學(xué)問(wèn)題最好的方法也是尋根刨底,找到問(wèn)題的根源．從基礎(chǔ)入手,由淺入深,層層遞進(jìn),找尋方法,挖掘真相．首先來(lái)看一下圓的相交弦定理的證明．

證明如圖1，連結(jié)AD,BC,由圓周角定理的推論,得∠A=∠C,∠D=∠B．∴?PAD∽?PCB，∴PB∶PC=PD∶PB,PA·PB=PC·PD.

如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在圓外時(shí),就有了割線定理；如圖3，當(dāng)A，B重合一點(diǎn)時(shí),有|PA|2=|PC|·|PD|,即切割線定理．

顯然，想要通過(guò)相似三角形來(lái)探究橢圓的類似結(jié)論似乎不太可行；考慮通過(guò)弦長(zhǎng)公式、距離公式直接運(yùn)算求解,運(yùn)算量又太大.那么還有沒(méi)有更好的方法呢?說(shuō)到長(zhǎng)度距離問(wèn)題,不得不說(shuō)直線的參數(shù)方程是解決圓錐曲線中長(zhǎng)度距離問(wèn)題的最佳工具,不妨一試．

三、推廣應(yīng)用

設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),過(guò)拋物線內(nèi)一點(diǎn)P作兩條直線與拋物線相交,交點(diǎn)分別為A，B和C，D,則則|PA|·|PB|和|PC|·|PD|有何關(guān)系?

例3已知曲線C:y2=4x，傾斜角互補(bǔ)的兩條直線l1,l2其中l(wèi)1與曲線C交于A，B兩點(diǎn),l2與C交于M，N兩點(diǎn),l1與l2交于點(diǎn)P(x0,y0),求證:|PA|·|PB|=|PM|·|PN|.