巧用幾何畫板 妙求定點(diǎn)定值
——以一道高考題為例

蔡珍珍 汪國紅

(湖北省武漢市第二十三中學(xué),430050)

隨著信息時(shí)代的到來,教學(xué)手段日趨多樣化,幾何畫板軟件越來越被廣大教師和學(xué)生所接受,給數(shù)學(xué)教學(xué)中的“數(shù)形結(jié)合”帶來便利,也為數(shù)學(xué)教學(xué)提供新的實(shí)驗(yàn)平臺(tái),它巨大的圖形構(gòu)造和處理功能使數(shù)學(xué)教學(xué)更加生動(dòng)．但幾何畫板不僅僅是處理圖形的工具,更是探究問題、分析問題的導(dǎo)向．本文以一道2020年高考試題為例，借助幾何畫板進(jìn)行探究.

一、真題再現(xiàn)

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點(diǎn).

二、直觀輔助,大膽猜想,培養(yǎng)直觀素養(yǎng)

三、幾何畫板助力,追根溯源,培養(yǎng)探索精神

(1) 通過幾何畫板制作動(dòng)畫,在直線l上移動(dòng)點(diǎn)P,發(fā)現(xiàn)直線CD過x軸上一定點(diǎn)M,經(jīng)過圖1推斷猜想成立．

(2) 進(jìn)一步猜想:點(diǎn)M的橫坐標(biāo)與t有關(guān)系,通過利用幾何畫板制作動(dòng)畫,觀察發(fā)現(xiàn)在橢圓方程不變的情況下,移動(dòng)橢圓和直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P與點(diǎn)M的橫坐標(biāo)乘積為定值,且定值只跟橢圓的長軸長有關(guān),如圖1，2.

四、演繹推理,揭示本質(zhì),培養(yǎng)理性思維

五、細(xì)致觀察,控制變量,培養(yǎng)邏輯素養(yǎng)和創(chuàng)造思維

通過幾何畫板作出圖4，5,將直線CD繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)或在x軸上移動(dòng)點(diǎn)M的過程中,觀察可知點(diǎn)P的軌跡為定直線,且該直線垂直于x軸,滿足xP·xM=a2.

通過幾何畫板作出圖6，7,當(dāng)點(diǎn)P在垂直于x軸的直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),觀察可知直線CD過x軸上定點(diǎn),且滿足xP·xM=a2.

六、類比學(xué)習(xí),拓展思維

(1)求橢圓的方程;

(2)直線l:y=kx+t與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M，N.已知點(diǎn)M關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為M′,點(diǎn)N關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為N′,若A，M′，N′三點(diǎn)共線,求證:直線l經(jīng)過定點(diǎn).

(2)直線l恒過定點(diǎn)(-1,0).

1.直觀演示

① 通過幾何畫板制作圖象,將直線繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),如上圖8可知,在旋轉(zhuǎn)過程中發(fā)現(xiàn)直線MN過x軸上一定點(diǎn);改變點(diǎn)A坐標(biāo)和直線l,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之積為定值,如圖9.

② 改變點(diǎn)A坐標(biāo)和直線l,發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)之積為定值,如圖10、11.

2.演繹推理

1(a>b>0),點(diǎn)A是x軸上一定點(diǎn),直線l與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M,N,已知點(diǎn)M關(guān)于y軸對稱點(diǎn)為M′,N關(guān)于原點(diǎn)O對稱點(diǎn)為N′,若A，M′，N′三點(diǎn)共線,那么直線l過x軸上一定點(diǎn)P,且xA·xp=-a2.

(*)

∵A,M′,N′三點(diǎn)共線,∴(-x1-t,y1)∥(-x2-t,-y2).∴(-my1-s-t)(-y2)=y1(-my2-s-t)，即2my1y2+(s+t)(y1+y2)=0.代入(*)可得2mb2(s2-a2)+(s+t)(-2b2ms)=0，∴st=-a2得證.

圓錐曲線是歷年高考考試難點(diǎn),學(xué)生在計(jì)算、知識(shí)總結(jié)和題型歸納上比較困難.在教育教學(xué)過程中，要抓住“數(shù)形結(jié)合”的特點(diǎn),利用圖形的幾何特征加強(qiáng)學(xué)生對知識(shí)的理解和認(rèn)識(shí),更好地培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力. 幾何畫板軟件是在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中一款非常實(shí)用的工具,通過幾何畫板可以更加快捷地找到解析幾何題型的規(guī)律,大大增加得出正確結(jié)果的概率.