精心設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié) 發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)
——以“雙曲線的漸近線”一節(jié)教學(xué)為例

劉慧萌 濮安山

(揚州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,225002)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版,2020年修訂版)》提出“以核心素養(yǎng)為宗旨”的課程理念，指出數(shù)學(xué)課程要著眼于學(xué)生適應(yīng)未來社會發(fā)展和個人生活的需要.發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)是課程實施的基本要求，也是課程預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)[1]．

一、相關(guān)情況分析

1.教學(xué)內(nèi)容分析

該內(nèi)容在人教A《數(shù)學(xué)》選擇性必修一第三章雙曲線一節(jié)的“探究與發(fā)現(xiàn)”模塊中,是對雙曲線的重要幾何性質(zhì)漸近線的定義補充,在感性的幾何描述的基礎(chǔ)上給出一個理性的代數(shù)解釋,是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算四大核心素養(yǎng)的良好載體.

2.學(xué)生對漸近線認(rèn)知障礙分析

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過“雙曲線與它的漸近線無限接近,但永不相交”,這常常會給學(xué)生造成漸近線都不能與曲線相交的錯誤認(rèn)識[2].學(xué)生能從“形”的角度直觀感受到漸近線與雙曲線的“無限接近”、“永不相交”,但對于從“數(shù)”的角度刻畫兩者的關(guān)系仍然感到無從下手.

3.教師對漸近線的認(rèn)識分析

部分教師由于對教科書漸近線定義理解的局限,常常會認(rèn)為曲線都是“單調(diào)”趨于漸近線的,曲線與漸近線是沒有交點的[2].在教學(xué)時往往直截了當(dāng)?shù)亟o出結(jié)論, 然后利用幾何畫板進(jìn)行驗證,沒有進(jìn)行嚴(yán)格論證或者僅僅從垂直距離角度給出證明,未完成從“形”到“數(shù)”的難點突破.

二、教學(xué)過程設(shè)計

1.直觀感受,引出定義

預(yù)設(shè)較多學(xué)生作圖不規(guī)范,不作漸近線,直接作出雙曲線.

問題2如果我們?nèi)我庾饕粭l直線,與該雙曲線的圖象至多有幾個交點呢?

預(yù)設(shè)學(xué)生能利用聯(lián)立方程的方法得到最多有2個交點.

教師活動選擇一張不規(guī)范的作圖,在學(xué)生所作圖形上作一條過原點的直線與雙曲線有4個交點．

設(shè)計意圖回顧直線與雙曲線的位置關(guān)系,喚起學(xué)生對舊知的回憶,用學(xué)生作圖的不規(guī)范引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,引導(dǎo)其思考如何作出較為準(zhǔn)確的雙曲線草圖.

問題3為什么從 這張圖象上可以得到4個交點呢?

預(yù)設(shè)雙曲線的圖象不準(zhǔn)確,應(yīng)該先作漸近線再作雙曲線的圖象.

教師活動在原圖象上作出兩條漸近線,借助雙曲線向外延伸時無限接近于漸近線這一性質(zhì)修改原來的雙曲線圖象,修改后的雙曲線圖象與問題2中所作直線僅有兩個或者一個交點(如圖1).

設(shè)計意圖讓學(xué)生感受到漸近線對雙曲線形狀的限制,產(chǎn)生探究漸近線的興趣,進(jìn)而引出漸近線的定義,發(fā)展學(xué)生直觀想象的素養(yǎng).

2.啟發(fā)引導(dǎo),抽象定義

問題4分析課本上給出的漸近線定義,你認(rèn)為關(guān)鍵性詞語有哪些?

預(yù)設(shè)找出“向外延伸”、“無限接近”兩個關(guān)鍵定性描述詞.

教師活動通過“向外延伸”、“無限接近”這兩個關(guān)鍵詞,能直觀地感受到雙曲線和漸近線的位置關(guān)系,借助GGB軟件,作出雙曲線及其漸近線的圖象.

追問1能否結(jié)合圖象把這兩個“形”的關(guān)鍵詞轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言嗎?

預(yù)設(shè)隨著|x|變大,雙曲線和漸近線的距離越來越小.

教師活動雙曲線圖象向外延伸時,雙曲線逐漸遠(yuǎn)離原點,雙曲線上點的橫坐標(biāo)的絕對值在變大,即|x|變大,那么對于此雙曲線可以用|x|變大刻畫“向外延伸”.

追問2點與點有距離,點與線有距離,兩條直線有距離,曲線和直線的距離怎么刻畫呢?

預(yù)設(shè)學(xué)生可能先想到從縱向距離角度來嚴(yán)格論證,接著類比得到橫向距離,最后想到把曲線和直線的距離轉(zhuǎn)化為曲線上的點與直線的距離,即垂直距離.

教師活動根據(jù)學(xué)生課堂上實時發(fā)現(xiàn)過程,在多媒體展現(xiàn)的雙曲線圖形上作出如圖1中對應(yīng)的距離,引導(dǎo)學(xué)生抽象出漸近線的形式化定義:在雙曲線上任取一點,隨著該點沿著雙曲線趨于無窮遠(yuǎn)時,該點與某條直線的距離趨于零,則稱此條直線為雙曲線的漸近線.

設(shè)計意圖利用GGB直觀展現(xiàn)y=±2x確是雙曲線的漸近線,通過不斷追問,幫助學(xué)生把“形”的語言轉(zhuǎn)化成“數(shù)”的語言,突破難點,進(jìn)而抽象概括出漸近線的形式化定義,為接下來用“數(shù)”的語言嚴(yán)格論證漸近線與雙曲線的位置關(guān)系做好鋪墊.

3.推理論證,集思廣益

問題5小組合作,討論特殊方程下能否嚴(yán)格論證雙曲線向外延伸時無限接近于直線y=±2x?

教師活動觀察學(xué)生討論情況,對個別小組進(jìn)行啟發(fā)指導(dǎo).

追問1一部分同學(xué)只研究了第一象限內(nèi)的圖象,大家覺得正確嗎?

預(yù)設(shè)學(xué)生利用圖象的對稱性發(fā)現(xiàn)只需證明在第一象限內(nèi)成立,接著通過對稱推廣到其它象限即可.

教師活動根據(jù)學(xué)生作答情況,投影學(xué)生答案或者請學(xué)生在黑板上展示.

設(shè)計意圖給出特定的雙曲線方程,通過小組討論的方式,引導(dǎo)學(xué)生從三種距離方式解決問題,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的探究欲望.

問題6觀察雙曲線圖形,它和我們之前學(xué)過的哪種函數(shù)圖象類似呢?

預(yù)設(shè)反比例函數(shù)圖象．

追問2我們已經(jīng)學(xué)過漸近線的定義,觀察分析反比例函數(shù)有漸近線嗎?

預(yù)設(shè)x軸和y軸是它的漸近線.

追問3借助反比例函數(shù)和它的漸近線,你能給出雙曲線漸近線的嚴(yán)格證明嗎?

設(shè)計意圖通過觀察分析雙曲線圖形,回想起熟悉的反比例函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生利用換元法將雙曲線方程轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù),從而求得該雙曲線的漸近線,在巧借已經(jīng)解決的問題,鞏固換元法的同時發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).

問題7能否對一般方程進(jìn)行嚴(yán)格論證?

預(yù)設(shè)類比特殊方程,學(xué)生可能從距離、反比例函數(shù)等角度嚴(yán)格論證.

教師活動觀察學(xué)生的作答方法,對于特殊方程已得到的解決方法，可通過投影學(xué)生解答的方式講解,對于新的證明方法(比如從斜率角度嚴(yán)格證明)著重分析、探討.

4.拓展推廣,深化認(rèn)知

問題8回顧學(xué)習(xí)過的曲線,想一想還有哪些曲線有漸近線?

設(shè)計意圖將漸近線與學(xué)生學(xué)過的指數(shù)、對數(shù)、反比例函數(shù)、對勾函數(shù)、正切函數(shù)建立聯(lián)系,在深化漸近線的定義的同時,讓學(xué)生學(xué)會用新知迭代舊知.

問題9漸近線一定和曲線無交點嗎?

5.歸納小結(jié),反思內(nèi)化

問題10在本課的學(xué)習(xí)中,你收獲了哪些思想和方法?

問題11在本課中,你印象最深的感悟是什么?

設(shè)計意圖通過課堂反思讓學(xué)生對課上使用的恒等變形、放縮方法和三種思想歸納總結(jié),感悟合作探究學(xué)習(xí)的意義,有利于學(xué)生內(nèi)化思想方法、建立良好的思維模式,從而發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),增強合作意識.

6.課后思考,意義學(xué)習(xí)

問題12雙曲線還有其它漸近線嗎?

設(shè)計意圖在嚴(yán)格論證雙曲線的漸近線后提出是否唯一確定的問題,既是對上面問題的補充,也告訴學(xué)生探究不止于課堂,需延伸至課外,幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí),進(jìn)而學(xué)會終身學(xué)習(xí).

三、思考與拓展

1.距離

垂直、縱向和橫向距離的證明方法較常見,這里不再詳細(xì)給出.

2.斜率

3.反比例函數(shù)轉(zhuǎn)化法

4.漸近線的通用解法[3]