王朝祥

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362021)

1 預(yù)備知識(shí)

單位圓盤D={z||z|<1}內(nèi)的解析函數(shù)類記作H(D)，對給定的F∈H(D)，設(shè)BF表示F(D)包含的所有單葉圓盤的半徑的上確界.Bloch常數(shù)B定義為B=inf{BF|F∈H(D)，且F′(0)=1}.

2 主要結(jié)果

設(shè)F(z)∈B(D)，且F′(0)=1，F(xiàn)′(z)=f(z)=1+a1z+a2z2+….由文獻(xiàn)[8]可知a1=0，|a2|≤1，|a3|≤21/5.還需要用到如下的一些結(jié)論，即

命題2[8]設(shè)F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假設(shè)ai∈R(i=2，3，…)，則有

命題3[8]設(shè)F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并設(shè)ai∈R(i=2，3，…)，則當(dāng)a3≥0時(shí)，有

2 引理及其證明

引理1設(shè)F(z)∈B(D)，且F′(0)=1，F(xiàn)′(z)=f(z)=1+a1z+a2z2+…，則有

a1=0，|a2|≤1，|a3|≤21/5-|a2|2/2.

證明：Bonk[7]證明a1=0，|a2|≤1及|a3|≤5.Chen等[8]進(jìn)一步證明了|a3|≤4.2.以下證明|a3|≤21/5-|a2|2/2.

引理2設(shè)0≤x≤1，0≤θ≤1/5，令σ(θ，x)=(1-x)2(2arg(eiθ-x)-θ)，則

(1)

式(1)中：k=407/625-(149ln 5)/5 625=0.608 5….

證明：只需證明0<θ≤1/5的情形.由于

所以有

上式中：k=407/625-(149ln 5)/5 625=0.608 5….

(2)

因此有

由命題2可知，當(dāng)a3≤0，0≤t<1時(shí)，有

(3)

于是有

(4)

(5)

引理4設(shè)F∈B(D)，且F′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假設(shè)ai∈R(i=2，3，…)，則有

(6)

文[8]的引理2中估計(jì)式(6)得到的是A0=0.01 09，顯然，文中的估計(jì)更優(yōu).

(7)

經(jīng)積分可得

于是可得

(8)

以下證明當(dāng)-1

當(dāng)|w|=r時(shí)，有

而由H(w)的定義可知其在|w|≤r上解析，因此，當(dāng)|w|≤r時(shí)，|H(w)|

由此可得到

從而有

這說明當(dāng)z=ρeiτ∈Γ且0≤ρ≤ρt時(shí)，總有Re(Φ(z))≥(1-t2)α成立.

因?yàn)閷τ?z∈γt，總有0≤|z|≤ρt，且有Re(Φ(z))≥(1-t2)α，因此對于w∈ct總有Re(H(w))=Re(RΦ(z))≥R(1-t2)α.

上式中：k1=0.648 4…是找到的一個(gè)絕對常數(shù).下面將對式(8)的積分進(jìn)行估計(jì).

(9)

至此，引理4證畢.

引理5設(shè)F∈B(D)，F(xiàn)′(z)=f(z)=1+a2z2+a3z3+…，并假設(shè)a3≥0，a2=|a2|eiθ0，|θ0|≤π/3.若0≤r<1，θ∈[-π，π]，則有

上式中：|θ0|≤π/3；a3≥0；A2=|a2|cos(2θ+θ0)，A3=a3cos 3θ，…，An=|an|cos(nθ+argan)，…均為實(shí)數(shù).

由Fθ(z)的定義可知

3 定理1的證明

(10)

即可.在式(10)中，有