電力系統(tǒng)低模型耦合智能狀態(tài)估計

趙化時，李 勝，林子杰，何宇斌，周華鋒，陳根軍，胡斯佳，曹一家

(1.中國南方電網(wǎng)電力調(diào)度控制中心，廣東 廣州 510623；2.湖南大學(xué)電氣與信息工程學(xué)院，湖南 長沙 410082；3.南京南瑞繼保電氣有限公司，江蘇 南京 211102)

電力系統(tǒng)狀態(tài)估計(state estimation，SE)利用量測系統(tǒng)提供的冗余信息，根據(jù)相應(yīng)估計準(zhǔn)則，自動剔除不良量測數(shù)據(jù)，消除或減少隨機干擾、裝置故障和人為誤操作引入的誤差信息，得出當(dāng)前條件下最逼近量測真值的系統(tǒng)狀態(tài)，從而達到“提純”數(shù)據(jù)的目的，SE是現(xiàn)代能量管理系統(tǒng)的重要組成部分。20世紀(jì)70年代，麻省理工學(xué)院的F. C. Schweppe教授首次將采用加權(quán)最小二乘法(weighted least square, WLS)的SE思想引入電力系統(tǒng)監(jiān)控體系[1]，隨后WLS-SE技術(shù)逐漸成為電力系統(tǒng)狀態(tài)估計的主流，并得到廣泛應(yīng)用[2]。

電力系統(tǒng)潮流計算是狀態(tài)估計的特例[2]，在潮流計算中，提高迭代的收斂性和魯棒性一直是它的一個重要研究課題[3-4]。針對大規(guī)模交直流電網(wǎng)潮流計算收斂困難的問題，文獻[5]引入步長優(yōu)化因子大幅改善了迭代的收斂性，并能較好地處理病態(tài)系統(tǒng)的潮流；在交直流系統(tǒng)的潮流計算中，文獻[6]在步長優(yōu)化乘子中引入了混合乘子，獲得了較好的計算性能；文獻[7]將最優(yōu)乘子引入電流注入型保留非線性潮流計算，提高了潮流計算的收斂性與速度。

相對于變步長潮流計算，傳統(tǒng)WLS-SE算法的步長因子常設(shè)定為1，此外，其修正方程增益矩陣的條件數(shù)是其量測方程雅克比矩陣條件數(shù)的平方。因此，與潮流計算相比，狀態(tài)估計在迭代計算的數(shù)值結(jié)構(gòu)上“先天不足”[1]?？紤]到實踐中狀態(tài)估計常面臨量測數(shù)據(jù)質(zhì)量偏低、量測缺失、網(wǎng)絡(luò)條件復(fù)雜等情況，傳統(tǒng)定步長WLS-SE算法很難在收斂性、估計質(zhì)量和運算速度上同時獲得優(yōu)良的效果。

為改善SE的收斂性能，文獻[8]從解析角度提出了SE最優(yōu)乘子，獲得了較好的收斂性和計算效率；文獻[9]進一步驗證了該方法對檢測、識別和消除壞數(shù)據(jù)的適應(yīng)性；文獻[10]考慮了目標(biāo)函數(shù)條件預(yù)處理的影響。雖然文獻[8-10]在SE中采用的最優(yōu)乘子法各有特點，但這些基于“解析法”的步長調(diào)整策略都與電力系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型緊密聯(lián)系，每次迭代都必須精確求得與模型高度耦合的步長因子，演算過程較為復(fù)雜、計算量偏大；而且，若電力系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)的變化導(dǎo)致其數(shù)學(xué)模型發(fā)生改變，將直接影響其運算性能。此外，實際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可能會表現(xiàn)出一定“病態(tài)”并存在不良數(shù)據(jù)(如快速發(fā)展中的電網(wǎng))，在該條件下進行狀態(tài)估計，因網(wǎng)絡(luò)存在一定數(shù)值缺陷且外界輸入真假難辨，SE的迭代過程可能會表現(xiàn)出收斂慢、震蕩、發(fā)散等異常情況。目前尚無文獻對上述情況下的SE進行研究。

雖然步長的變化有利于提高SE的收斂性，但僅通過SE本身無法抑制量測系統(tǒng)中不良數(shù)據(jù)的影響，為提高SE抵御不良數(shù)據(jù)的能力，基于抗差理論[11]，文獻[12-14]通過引入權(quán)函數(shù)在迭代的過程中對狀態(tài)變量的權(quán)重進行自動調(diào)整，取得了較好效果。然而，該類方法一般不具備步長調(diào)整能力，其性能還有進一步提高的空間。

為提高SE在上述情況下的數(shù)值穩(wěn)定性、估計質(zhì)量和電網(wǎng)適配性，考慮采用變權(quán)操作可抵御不良數(shù)據(jù)的影響，本文首先在WLS-SE上建立基于IGG抗差法的變權(quán)狀態(tài)估計模型。受經(jīng)典邏輯函數(shù)圖像(logistic function, LF)[15-17]的啟發(fā)，本文重點研究狀態(tài)估計的步長調(diào)整技術(shù)，通過對傳統(tǒng)LF進行重構(gòu)，找到在“形狀”上與狀態(tài)估計高質(zhì)量數(shù)值迭代具有天然適配性的“母函數(shù)”，并將其作為步長控制因子，設(shè)定母函數(shù)的形狀控制參數(shù)，并使其中部分可通過“迭代效果”進行實時“智能”調(diào)整，母函數(shù)的“形狀”會自動適配調(diào)整至符合高質(zhì)量狀態(tài)估計數(shù)值計算的狀態(tài)。因該過程無需網(wǎng)絡(luò)模型的直接“介入”，故該方法對電網(wǎng)的數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出低耦合性，相對于解析法，其本身也將更易于理解和掌握，并具有更好的可移植性。最后，通過含不良數(shù)據(jù)和準(zhǔn)病態(tài)、病態(tài)條件的算例分析，驗證本文所提方法的有效性。

1 原理簡述

1.1 WLS狀態(tài)估計

在電力系統(tǒng)狀態(tài)估計中，量測方程表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

本文在直角坐標(biāo)系下對系統(tǒng)進行數(shù)學(xué)描述和求解。在求解SE問題時，暫不考慮權(quán)重的影響(令R為單位矩陣)，從式(3)的第2式可觀察到：

(5)

式中κ(*)表示“矩陣*”的條件數(shù)。

式(5)說明WLS-SE技術(shù)在本質(zhì)上具有比潮流計算更“脆弱”的數(shù)值穩(wěn)定性[2, 20]；在一定條件下，SE解算過程可能會較潮流計算更易表現(xiàn)出收斂緩慢、估計值不準(zhǔn)確甚至不收斂等問題。

1.2 變權(quán)重WLS-SE

為提升狀態(tài)估計在不良數(shù)據(jù)條件下的估計質(zhì)量，可在經(jīng)典WLS-SE算法中植入適當(dāng)權(quán)函數(shù)，抗差最小二乘估計[11]是通過等價權(quán)將抗差估計理論與最小二乘法緊密結(jié)合的算法，能滿足上述要求。該類算法在數(shù)學(xué)格式上與WLS-SE保持一致，僅在權(quán)重上有不同含義，即經(jīng)典WLS-SE的權(quán)重是根據(jù)量測設(shè)備的精度先驗確定的，而抗差最小二乘估計的權(quán)重是殘差的函數(shù)。本文基于IGG抗差法對權(quán)重進行調(diào)整，其權(quán)因子函數(shù)[14]為

(6)

圖1 IGG抗差法權(quán)因子函數(shù)Figure 1 IGG robust method weight factor function

(7)

2 步長智能調(diào)整

2.1 基本思想

1) 在迭代開端，為加快收斂速度，可選擇大于1的步長因子，但步長過大易造成迭代震蕩或發(fā)散；

基于迭代三原則，本文在式(3)的第1式中引入步長因子λ，即

(8)

在傳統(tǒng)方法中，λ是一個與系統(tǒng)模型高度相關(guān)的量，為在提高迭代質(zhì)量的前提下降低運算復(fù)雜度，本文提出以下觀點：

1) 一個良好設(shè)計的λ需在迭代過程中較好地滿足迭代三原則；

通過分析發(fā)現(xiàn)，LF的形狀具有同時滿足2個觀點的潛力。yLF定義[15-17]為

(9)

該函數(shù)關(guān)于點(0,0.5)奇對稱，在0～1之間取值，形似英文字母S，在深度學(xué)習(xí)中具有重要應(yīng)用[22-23]。

2.2 具體策略

Δx=max|Δx|

(10)

為了使yLF更具可控性，進而能較好滿足迭代三原則，引入n、a、b、α和β共5個控制參數(shù)，將式(9)所示基本yLF“重構(gòu)”(已將因變量用λ代替，自變量替換為Δx)，并稱其為“母函數(shù)”，即

Δx∈R

(11)

取n為自由變量，其他4個參數(shù)固定為1，式(11)的圖像如圖2所示，當(dāng)n>1時，λ與Δx的關(guān)系與迭代三原則具有天然適配性。進一步觀察，n越大，算法在迭代尾聲將獲得更小的步長(λ較小)，密集的迭代有利于提高狀態(tài)估計的收斂性，但也會增加計算時間。鑒于此，對于網(wǎng)絡(luò)較弱的系統(tǒng)(HTH條件數(shù)較大)可適當(dāng)增大n；對于網(wǎng)絡(luò)較健壯的系統(tǒng)(HTH條件數(shù)相對較小)可通過適當(dāng)降低n使其迭代尾聲的步長緩慢減小，迭代次數(shù)和計算時間也會降低。對于本文研究的系統(tǒng)(如圖3所示)，通過離線仿真發(fā)現(xiàn)n=3可獲得較好的迭代性能，因此，后文將暫且將n固定為3進行討論，當(dāng)n取其他值時討論過程類似。

圖2 不同n條件下的母函數(shù)圖像Figure 2 The curves of generating function in different n

圖3 IEEE 30節(jié)點網(wǎng)絡(luò)量測配置Figure 3 IEEE 30 node network measurement configuration

在固定n=3的前提下，分別在a為變量、β=b=α=1，β為變量、a=b=α=1，b為變量、a=β=α=1，α為變量、a=β=b=1這4種情況下繪制函數(shù)圖形，λ與Δx的關(guān)系如圖4(a)～(d)所示，可以看出，在n=3的前提下，參數(shù)a和β主要控制λ的取值范圍(圖4(a)、(b))，為方便設(shè)計，在式(11)中可將a固定為1，僅通過β來控制λ的取值范圍。此外，從圖4(c)～(d)可以觀察到，參數(shù)b和α主要控制函數(shù)的形狀，考慮到α對曲線形狀的影響更大，可令式(11)中的b=1，僅通過α來調(diào)整函數(shù)形狀?；谝陨戏治?，式(11)可進一步變化為

Δx∈R

(12)

當(dāng)?shù)趉步狀態(tài)修正量Δx(k)>Δx(k-1)時，表明狀態(tài)修正量正在增大，此時第k步的步長因子λ(k)應(yīng)朝增大的方向變化，以加快收斂速度；當(dāng)Δx(k)<Δx(k-1)時，λ(k)應(yīng)緩慢減小，實現(xiàn)算法的穩(wěn)定收斂。仔細(xì)觀察圖4(d)可知，當(dāng)Δx固定時，參數(shù)α的變化與λ的變化正相關(guān)，因此，第k步α的值α(k)也應(yīng)隨著狀態(tài)修正量的變化而變化，以進一步在迭代的過程中優(yōu)化λ的調(diào)整。令：

(13)

可使迭代過程中的α滿足迭代要求。

此外，數(shù)字濾波的研究顯示，狀態(tài)修正量的Δx(k)Δx(k-1)能有效去除噪聲對估計結(jié)果的影響[24]?？梢胫虚g變量p(k)作為自相關(guān)Δx(k)Δx(k-1)的估計：

p(k)=γp(k-1)+(1-γ)Δx(k)Δx(k-1)

(14)

其中γ∈(0,1)為權(quán)系數(shù)，其取值一般接近1，用來控制收斂速度?？墒功说淖兓鶕?jù)Δx(k)Δx(k-1)估計的平均值迭代變化。將式(12)中的Δx換成中間變量p(k)，可實現(xiàn)用Δx(k)Δx(k-1)間接調(diào)整λ。

圖4 控制參數(shù)對改進母函數(shù)圖像的影響(n=3)Figure 4 The influence of the control parameters to the shape of the improved generating function (n=3)

由式(12)～(14)經(jīng)一定化簡計算可得本文所提算法步長因子的迭代格式：

(15)

式中β∈(0,2]可使迭代初始階段獲得較大的λ。

結(jié)合式(3)、(7)、(8)、(15)，可得本文所提SE的迭代方程為

(16)

基于以上討論，所提算法的流程如圖5所示，在每次迭代過程中算法先對權(quán)重進行調(diào)整(“變權(quán)操作算法”模塊)，當(dāng)權(quán)重調(diào)整至最佳狀態(tài)后，此時系統(tǒng)已較好地削弱了不良數(shù)據(jù)的影響，再根據(jù)“迭代效果”直接對狀態(tài)估計的步長因子進行智能調(diào)整，從而進行高質(zhì)量數(shù)值計算(“智能步長調(diào)整算法”模塊)，直至狀態(tài)修正量達到收斂條件(因初值需要，應(yīng)預(yù)先進行一步基于式(3)的基本W(wǎng)LS-SE迭代)。

圖5 狀態(tài)估計流程Figure 5 State estimation flow chart

3 算例分析

IEEE 30節(jié)點網(wǎng)絡(luò)量測配置見圖3。為了驗證本文所提算法的有效性，基于Matlab平臺并以IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)[25]作為研究對象，分別對比傳統(tǒng)固定步長固定權(quán)重(fixed step size WLS，F(xiàn)SSWLS)、變步長固定權(quán)重(adaptive step size WLS，ASSWLS)、固定步長變權(quán)重(weighting fixed step size WLS，WFSSWLS)和本文所提出的變步長變權(quán)重(weighting adaptive step size WLS，WASSWLS)WLS-SE算法的收斂性能和估計質(zhì)量(變權(quán)重中權(quán)因子函數(shù)、ASSWLS和WFSSWLS中變步長的表達式分別見式(6)、(15))。

3.1 量測出現(xiàn)不良數(shù)據(jù)(算例1)

為讀取數(shù)據(jù)方便，本文將IEEE 30節(jié)點系統(tǒng)中的節(jié)點1和30互換，并將新的節(jié)點30作為平衡節(jié)點，其他節(jié)點和線路等參數(shù)保持不變。設(shè)定電壓、支路功率、節(jié)點注入功率量測的σ分別為0.004、0.008、0.01 p.u.(零功率注入節(jié)點的σ為0.000 1 p.u.)，取ε=10-6。以潮流計算結(jié)果作為真值，正常量測值是真值1.5個標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)的隨機修改量(見圖1保權(quán)區(qū)邊界)。本算例所用不良量測數(shù)據(jù)的設(shè)置如圖3標(biāo)注和表1所示。

表1 不良數(shù)據(jù)設(shè)置Table 1 Bad data setting p.u.

在具體執(zhí)行式(16)時，參數(shù)β、γ、p(k)初始值p(0)的選取會對迭代性能產(chǎn)生影響。為獲得參數(shù)的最佳值，本文在主程序外層編寫3個for循環(huán)對β、γ、p(0)在各自取值范圍內(nèi)進行滾動搜索(參數(shù)取值范圍：β∈[1,2.5]，γ∈[0.90,0.98]，p(0)∈[1,2.5])。程序每運行到一組β、γ、p(0)都自動記錄下算法的迭代次數(shù)和估計精度，對應(yīng)迭代次數(shù)最少、估計精度最高者即為3個參數(shù)的最佳值。經(jīng)過程序自動篩選，本文最終確定p(0)=2.0、β=2.0、γ=0.95，這些參數(shù)對迭代產(chǎn)生的影響如圖6所示(β、γ、p(0)中任何一個參數(shù)發(fā)生變化，其他2個參數(shù)均固定為通過for循環(huán)最終確定的最佳值)。

由圖6可知，β、γ、p(0)對算法的收斂性能影響較大，適當(dāng)增大β、γ、p(0)將有利于提高收斂性能，但通過仿真也發(fā)現(xiàn)參數(shù)的取值過大或過小都不利于收斂。實際上，由式(15)可知β、γ、p(0)與λ表現(xiàn)出正相關(guān)特性，因此，β、γ、p(0)的取值在一定程度上反映了λ的大小，由文2.1中的迭代三原則可知，過大或者過小的λ均不利于收斂。因此，β、γ、p(0)的取值也存在一定范圍，這將由具體網(wǎng)絡(luò)條件決定。

圖6 不同控制參數(shù)下算法的收斂過程Figure 6 Algorithm convergence process with different key parameters

FSSWLS、WFSSWLS、ASSWLS和本文所提WASSWLS算法的收斂過程如圖7所示，4種算法的電壓幅值和相角的初值分別為1.05、0，對于ASSWLS和WASSWLS算法，Δx(k-1)的初始值為1，p(0)=2.0、β=2.0、γ=0.95。此外，在計算過程中，為防止α變化太大致使母函數(shù)的形狀變化劇烈，本文對α的限幅措施：當(dāng)α(k)<0.2時，取α(k)=0.2；當(dāng)α(k)>10時，取α(k)=10。

由圖7可知，ASSWLS的迭代次數(shù)小于FSSWLS算法，且其收斂曲線全程低于FSSWLS，這說明本文所提的步長調(diào)整策略有利于加快收斂。此外，WFSSWLS的迭代次數(shù)低于FSSWLS算法，這說明對于一個存在不良數(shù)據(jù)但數(shù)值結(jié)構(gòu)健壯的網(wǎng)絡(luò)，通過變權(quán)操作篩查量測中的不良數(shù)據(jù)也有利于加速收斂；對比文中曲線可發(fā)現(xiàn)WASSWLS較ASSWLS具有更為優(yōu)良的收斂特性，這說明在進行步長調(diào)整的情況下，調(diào)整權(quán)重有利于進一步提高SE的收斂性能，同時，也證明了本文提出的步長和權(quán)重調(diào)整策略是互相兼容的；WFSSWLS的收斂次數(shù)略低于ASSWLS(兩者收斂曲線接近)，考慮到前者只進行了變權(quán)操作，后者只進行了變步長操作，這說明對于一個存在不良數(shù)據(jù)但數(shù)值結(jié)構(gòu)健壯的網(wǎng)絡(luò)，抑制不良數(shù)據(jù)和調(diào)整步長在提升迭代性能上具有一定等效性，有時前者的作用會更明顯(網(wǎng)絡(luò)趨壞的條件下調(diào)步長的作用優(yōu)于調(diào)權(quán)重)。最后，WASSWLS和WFSSWLS的收斂曲線比較接近(實際上如表2所示，WASSWLS的收斂性能略好于WFSSWLS算法)，這一方面再次證明了上述論斷；另一方面，WASSWLS算法所對應(yīng)的Δx較ASSWLS以更為

表2 估計質(zhì)量(不良數(shù)據(jù)條件)Table 2 Estimation quality (bad data condition)

“緩和”的方式趨于收斂門檻值，這與文2.1中所提的“迭代三原則”是相匹配的，有利于提高迭代質(zhì)量(表2)。

FSSWLS、ASSWLS、WFSSWLS和WASSWLS這4種算法中λ與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線如圖8所示(因初值需要，WASSWLS中僅在首次迭代中使用了式(3)的格式，后續(xù)過程均采用式(16)的格式進行迭代)，在初始階段ASSWLS和WASSWLS的λ明顯大于1(WASSWLS第1次迭代除外)，有利于加快收斂。隨后，λ隨Δx的減小逐漸降低，當(dāng)?shù)M行到第3或者第4次時，兩者的λ開始小于1；當(dāng)?shù)M入尾聲，λ逐漸趨于平緩，與之對應(yīng)，圖7中的Δx也平緩變化，這有利于提高估計質(zhì)量(分別對比表2中數(shù)據(jù))。

圖8 步長因子變化過程Figure 8 Variation process of step size factor

分別引入平均估計誤差S1和平均最大估計誤差S2，對所提算法的估計質(zhì)量進行綜合評估[26]，S1和S2的數(shù)值越小說明估計精度越高。

(17)

(18)

圖9 迭代過程中WASSWLS不良數(shù)據(jù)點的權(quán)重(算例1)Figure 9 The weight of bad data point during iteration in case1 by using of WASSWLS

通過20次狀態(tài)估計(對應(yīng)20個隨機輸入數(shù)據(jù)斷面)，F(xiàn)SSWLS、ASSWLS、WFSSWLS和WASSWLS所對應(yīng)的S1、S2見表2，可知在20個數(shù)據(jù)斷面中，采用本文所提的WASSWLS算法，其S1、S2、平均迭代次數(shù)以及平均迭代時間是4種算法中最優(yōu)的。進一步觀察會發(fā)現(xiàn)，WASSWLS算法平均僅需迭代8.1次就使S1較其他3種算法高出一個數(shù)量級，這充分證明了本文所提方法在估計質(zhì)量和運算效率上的優(yōu)勢。

某一典型輸入數(shù)據(jù)斷面下30個節(jié)點(圖3)電壓幅值的估計結(jié)果如圖10所示，可以觀察到，采用變權(quán)操作的WASSWLS和WFSSWLS所對應(yīng)的估計值更接近真值(表2的數(shù)值指出WASSWLS最接近真值)，該圖從直觀上驗證了本文所提算法在估計質(zhì)量上的優(yōu)勢。

圖10 某一典型數(shù)據(jù)斷面節(jié)點電壓幅值估計結(jié)果Figure 10 Voltage magnitude estimation result of a typic input data section

需要說明的是，與經(jīng)典不良數(shù)據(jù)檢測、辨識技術(shù)(如“J檢測法[2]”)不同，所提算法在每一步迭代中都采用了變權(quán)重的方法來剔除(或削弱)“不良數(shù)據(jù)”對狀態(tài)估計結(jié)果的影響。所以本算例也驗證了量測“不良”時本文所提WASSWLS算法的有效性。

3.2 準(zhǔn)病態(tài)條件(算例2)

在電力系統(tǒng)接近病態(tài)條件下(“準(zhǔn)病態(tài)”)，為了驗證本文所提算法的性能，對算例1中IEEE 30節(jié)點的支路參數(shù)進行修改(保持X不變，增大線路的R/X值[27])，如表3所示，用以模擬系統(tǒng)在準(zhǔn)病態(tài)條件下的狀態(tài)估計。算例1中FSSWLS迭代方程的條件數(shù)為1.622 1×106(式(5))，按表3修改線路參數(shù)后其條件數(shù)增加至2.54×108，這說明系統(tǒng)已處于更差的數(shù)值計算狀態(tài)。在該條件下，采用FSSWLS、ASSWLS、WFSSWLS和WASSWLS算法進行狀態(tài)估計得到如圖11所示的收斂特性。

觀察圖11可知，采用FSSWLS算法，系統(tǒng)的迭代次數(shù)從線路參數(shù)修改前的11次(圖7)增加到了此時的15次，WFSSWLS從修改前的8次(圖7)增加到了此時的12次，這是系統(tǒng)數(shù)值穩(wěn)定性變差后的必然結(jié)果。然而，采用對步長進行智能調(diào)整的ASSWLS、WASSWLS算法，其迭代次數(shù)僅較圖7略有增加(1次)。進一步觀察還會發(fā)現(xiàn)，采用變步長的ASSWLS和WASSWLS其收斂次數(shù)都比只有變權(quán)操作的WFSSWLS低，這與圖7是不同的，說明在網(wǎng)絡(luò)數(shù)值條件趨壞的條件下，本文所提的步長調(diào)整策略在提高SE解算過程的魯棒性上較變權(quán)操作更具優(yōu)勢。此外，在圖11中，WASSWLS和ASSWLS算法在迭代初始階段Δx較大，迭代進入尾聲時Δx趨緩收斂于停止條件，這與文2.1中所提的理想迭代三原則相吻合，有利于提高迭代質(zhì)量(分別對比表4所示數(shù)據(jù))。

表3 修改前、后線路的參數(shù)配置Table 3 Line’s parameter before and after modification

圖11 準(zhǔn)病態(tài)條件下的收斂過程Figure 11 Convergence process under quasi-ill-condition

表4 估計質(zhì)量(準(zhǔn)病態(tài)條件)Table 4 Estimation quality (quasi-ill-conditioned)

算例2中λ的變化特性如圖12所示。與算例1不同的是，ASSWLS和WASSWLS算法的λ開始小于1時的迭代次數(shù)均較圖8增加了1次；類似之處是，當(dāng)進入迭代尾聲，2種算法λ的減小趨于平緩，與之對應(yīng)，Δx也在此階段平緩變化(圖11)。算例2中WASSWLS不良數(shù)據(jù)點的權(quán)重與迭代次數(shù)的關(guān)系與算例1完全相同(圖9)，如圖13所示，這說明在網(wǎng)絡(luò)趨壞的條件下，本文所提算法對不良數(shù)據(jù)的篩選能力沒有發(fā)生變化。

圖12 步長因子變化過程Figure 12 Variation process of step size factor

圖13 迭代過程中WASSWLS不良數(shù)據(jù)的權(quán)重Figure 13 The weight of bad data point during iteration by using of WASSWLS

按表3變更網(wǎng)絡(luò)參數(shù)后20個數(shù)據(jù)斷面下系統(tǒng)的估計質(zhì)量見表4。對比表2、4可知，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)值條件進入“準(zhǔn)病態(tài)”后，其所對應(yīng)的S1、平均迭代次數(shù)以及平均迭代時間較表2中的對等項都有明顯的增加，其中，WASSWLS算法增加得最少、ASSWLS次之、WFSSWLS最多。同時，WASSWLS算法的S1、S2均小于其他3種算法，迭代質(zhì)量較為滿意。

通過分析準(zhǔn)病態(tài)條件下的估計結(jié)果可知，步長固定的FSSWLS和WFSSWLS算法對系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的變化表現(xiàn)出了較強的敏感性，相較之下，WASSWLS和ASSWLS算法因解算過程步長的變化由狀態(tài)修正量決定而不與系統(tǒng)模型產(chǎn)生直接聯(lián)系，在整個迭代過程中仍保持了較好的穩(wěn)定性和較高的估計質(zhì)量。另外，表4顯示，雖然WFSSWLS的平均迭代次數(shù)遠高于WASSWLS，但其S1、S2卻與WASSWLS差距不大且明顯小于FSSWLS算法，說明：①變權(quán)操作在提高SE估計準(zhǔn)確性上作用明顯，這是因為權(quán)重的調(diào)整抵御了大部分不良數(shù)據(jù)對估計精度的影響，可從圖14中WASSWLS、ASSWLS對應(yīng)曲線較為接近也可以得到驗證；②變步長操作在抵御電力系統(tǒng)模型的“趨壞”、提高狀態(tài)估計的收斂性上起主要作用。

圖14為與算例2對應(yīng)的某一典型輸入數(shù)據(jù)斷面下各節(jié)點電壓幅值的估計值，與算例1中的圖10相比，F(xiàn)SSWLS、ASSWLS、WFSSWLS和WASSWLS算法的估計結(jié)果均在一定程度上進一步遠離了真值，但總體來說，WASSWLS所對應(yīng)的曲線更接近真值曲線。在系統(tǒng)處于準(zhǔn)病態(tài)條件下，該圖從直觀上進一步驗證了本文所提WASSWLS算法仍具有良好的估計質(zhì)量。

圖14 某一典型數(shù)據(jù)斷面節(jié)點電壓幅值估計結(jié)果Figure 14 Voltage magnitude estimation result of a typic input data section

3.3 病態(tài)條件(算例3)

為進一步展示本文所提算法的特性，在表3的基礎(chǔ)上進一步修改部分線路的電阻參數(shù)，如表5所示，將HTH的條件數(shù)進一步提高到6.810 7×1012。

表5 修改前、后線路的參數(shù)配置Table 5 Line’s parameter before and after modification

在病態(tài)條件下，采用FSSWLS、ASSWLS、WFSSWLS和WASSWLS的收斂過程如圖15所示，顯然，采用FSSWLS算法迭代已不再收斂，系統(tǒng)進入數(shù)值上的“病態(tài)”。采用WFSSWLS算法時迭代過程表現(xiàn)出大幅震蕩和收斂遲緩，計算過程在某種程度上趨于臨界不收斂狀態(tài)，最終需要17次迭代；ASSWLS需要15次迭代能夠收斂，而此時的WASSWLS算法只需13次迭代即可收斂，且從圖15、16可知，即使在這種“惡劣”的條件下，采用WASSWLS和ASSWLS算法的Δx和λ仍然表現(xiàn)出符合理想迭代的變化趨勢，計算的魯棒性較好(因WFSSWLS和WASSWLS的權(quán)重調(diào)整情況與圖9、13完全相同，不再贅述)。

圖15 病態(tài)條件下的收斂過程Figure 15 Convergence process under ill-conditioned

圖16 步長因子變化過程Figure 16 Variation process of step size factor

在病態(tài)條件下，ASSWLS、WFSSWLS以及WASSWLS這3種算法在某一典型數(shù)據(jù)斷面的節(jié)點電壓幅值估計結(jié)果如圖17所示(因FSSWLS不收斂，故未繪制在圖17中)，基于20個隨機數(shù)據(jù)斷面的估計質(zhì)量如表6所示。

圖17 某一典型數(shù)據(jù)斷面節(jié)點電壓幅值估計結(jié)果Figure 17 Voltage magnitude estimation result of a typic input data section

表6 估計質(zhì)量(病態(tài)條件)Table 6 Estimation quality (ill-conditioned)

綜合圖15、17和表6可知，WASSWLS算法的S1、S2、平均迭代次數(shù)以及平均迭代時間說明：在系統(tǒng)處于病態(tài)條件下，其迭代速度和估計質(zhì)量均較ASSWLS、WFSSWLS優(yōu)良。與算例2類似，觀察表6可知，雖然WFSSWLS算法的平均迭代次數(shù)高于WASSWLS，但它們的S1和S2差別不大，說明權(quán)重的調(diào)整在控制估計精度上起主要作用，這從圖17中WFSSWLS、WASSWLS對應(yīng)曲線較為接近也可以得到驗證，而步長的智能調(diào)整則對狀態(tài)估計的收斂性起主要作用，這與算例2所得結(jié)論一致。

通過算例2、3可以證實本文所提WASSWLS方法在網(wǎng)絡(luò)準(zhǔn)病態(tài)、病態(tài)條件下具有較好的數(shù)值穩(wěn)定性和估計質(zhì)量。本文所提步長調(diào)整算法對電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的耦合性較低，步長因子只取決于當(dāng)前和歷史迭代效果(式(16))；同時，權(quán)重的調(diào)整又降低了不良數(shù)據(jù)對估計結(jié)果的影響。因此，可以說所提算法對網(wǎng)絡(luò)條件的變化具有較強適應(yīng)性。

4 結(jié)語

通過所構(gòu)建的母函數(shù)，本文提出并重點研究了一種對模型耦合性較低且可進行權(quán)重自動調(diào)整的電力系統(tǒng)狀態(tài)估計方法?；贗EEE 30節(jié)點系統(tǒng)分別討論了當(dāng)量測出現(xiàn)不良數(shù)據(jù)、系統(tǒng)準(zhǔn)病態(tài)和病態(tài)3種情況下的狀態(tài)估計結(jié)果，得到如下結(jié)論：

1) 因迭代過程會根據(jù)迭代效果“智能”調(diào)整至符合健壯數(shù)值計算的狀態(tài)，在收斂性、估計質(zhì)量和運算效率上，本文所提算法均明顯優(yōu)于傳統(tǒng)方法；

2) 本文所提算法具有低模型耦合性，在維持優(yōu)良迭代性能的前提下，其迭代過程對電力系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的“趨壞”表現(xiàn)不敏感，數(shù)值穩(wěn)定性高、估計質(zhì)量優(yōu)良；

3) 本文所提步長調(diào)整策略與變權(quán)操作具有兼容性，能在獲得較高數(shù)值運算性能的條件下抵御不良數(shù)據(jù)的影響，估計結(jié)果精度高。