?張家港高級(jí)中學(xué) 劉 學(xué)

1 引言

在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，為進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧與解題水平，教師通常會(huì)專門設(shè)計(jì)一些“一題多解”類的專題訓(xùn)練，鼓勵(lì)他們面對(duì)同一道題目時(shí)盡量找出更多不同解法.這一模式能激活學(xué)生的自主思維，使其全身心地投入到思考中，有助于他們更好地鞏固數(shù)學(xué)知識(shí)與技能.

2 一題多解在教學(xué)中的應(yīng)用

2.1 集合問題的中一題多解

集合是高中數(shù)學(xué)教材中第一章節(jié)的內(nèi)容，也是高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系中的基礎(chǔ)構(gòu)成部分，是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)的前提，雖然題目難度一般，但是也有不少一題多解類試題，教師可以利用這類題目，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用多種方法解決問題，讓他們進(jìn)一步了解集合的含義，體會(huì)元素和集合的“屬于”關(guān)系，為利用集合的思想方法解決簡(jiǎn)單實(shí)際問題做鋪墊.

例1已知集合M={x|y2=x+1}，P={x|y2=-2(x-3)}，那么M∩P=( ).

C.[-1，3] D.(-∞，3)

解析：能識(shí)別出集合M與P的元素的特征，是求得M和P交集的關(guān)鍵所在.M∩P的元素并非(x，y)，而是x的形式.

解法2：使用排除法，因?yàn)镸∩P的元素均是x，并非簡(jiǎn)單(x，y)的形式，將A排除掉；比較B，C兩項(xiàng)，假如取x=-1，-1∈M，-1∈P，得知-1∈(M∩P)，排除B；再比較C與D，取x=-2，-2?M，D也排除.正確答案為：C.

針對(duì)上述案例，學(xué)生采用不一樣的解題方法處理這一題目，使其理清集合的本質(zhì)，明確元素的特點(diǎn)具有互異性，再通過代入檢驗(yàn)求出兩個(gè)集合的交集，讓他們學(xué)會(huì)處理該類試題.

2.2 函數(shù)問題中的一題多解

函數(shù)作為學(xué)生從初中階段就開始接觸到的一類知識(shí)，步入高中階段以后，函數(shù)的知識(shí)范圍有所擴(kuò)大，更是出現(xiàn)不少新型函數(shù)，而且對(duì)函數(shù)的研究更為深入，是學(xué)生的學(xué)習(xí)重點(diǎn)與難點(diǎn).在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題訓(xùn)練中，教師同樣可以利用一題多解類的試題，引領(lǐng)學(xué)生從多個(gè)角度看待問題，促使他們充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)與已知條件通過合理正確的方式來解題.

例2在銳角三角形ABC中，如果sinA=2sinBsinC，那么tanAtanBtanC的最小值是多少？

這是一道典型的三角函數(shù)類題目，學(xué)生分析、討論后能夠找到以下幾種解法.

解法1：根據(jù)題意可得

①

令 cosBcosC=tcosA

②

上述案例，從兩種完全不同的解題方法來看運(yùn)用的是兩種思路，用到的數(shù)學(xué)知識(shí)也不一樣，這樣能夠拓展學(xué)生的思維空間，使其嘗試從多個(gè)層面與角度解題，讓他們學(xué)會(huì)舉一反三.

2.3 數(shù)列問題中的一題多解

在高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，數(shù)列也是一類較為重要的內(nèi)容，包括等差數(shù)列與等比數(shù)列兩大類，在高考中出現(xiàn)的頻率較高，是熱門考點(diǎn)之一.高中數(shù)學(xué)教師在數(shù)列解題教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)巧妙設(shè)置一些一題多解的題目，引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)展開分析與探討，有效拓展解題思維空間，使其尋找到最優(yōu)解題思路與方法，繼而提高他們的解題速度與準(zhǔn)確度.

例3在等差數(shù)列{an}中，a1<0，S9=S12，那么數(shù)列{an}的前幾項(xiàng)和最??？

解法2：根據(jù)S9=S12可知a10+a11+a12=3a11=0，則a11=0，又因?yàn)閍1<0，所以公差d>0，據(jù)此能夠判斷出數(shù)列{an}前10項(xiàng)或前11項(xiàng)的和最小.

如此，學(xué)生分別按照常規(guī)思路分析，根據(jù)等差數(shù)列的概念公式，通過尋找轉(zhuǎn)折項(xiàng)運(yùn)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)，或采用函數(shù)思想將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題的方式解題，使其思路更為靈活.

2.4 不等式問題的一題多解

雖然學(xué)生從小學(xué)階段就有所接觸不等式，像簡(jiǎn)單的大于、小于、大于等于、小于等于等算式和數(shù)量關(guān)系，不過高中階段的不等式知識(shí)更為深?yuàn)W，涉及到的題目難度也更大，對(duì)他們的知識(shí)水平與解題能力要求較高.所以，高中數(shù)學(xué)教師可以在不等式問題中設(shè)置一題多解訓(xùn)練，引領(lǐng)學(xué)生充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)通過多種解題方法來處理問題，增強(qiáng)他們的解題自信心.

對(duì)于上述案例，這三種證明方法跨度大，分別利用基本不等式的性質(zhì)、復(fù)數(shù)模的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想，學(xué)生通過尋找更多解題方法，可有效活化他們的數(shù)學(xué)思維，改善解題水平.

2.5 幾何問題中的一題多解

數(shù)學(xué)主要由代數(shù)與幾何兩大部分構(gòu)成，高中數(shù)學(xué)課程體系中的幾何知識(shí)以立體幾何與解析幾何為主，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力、幾何直觀能力與空間想象力有著較高要求，他們?cè)诮忸}中極易遇到障礙.高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)環(huán)節(jié)，可以針對(duì)幾何問題精心設(shè)計(jì)一些題目，要求學(xué)生運(yùn)用多種不一樣的解題方法，使其掌握更多處理幾何問題的技巧，提高解題效率.

A.有兩個(gè)點(diǎn)PB.有四個(gè)點(diǎn)P

C.可能不存在點(diǎn)PD.一定不存在點(diǎn)P

解法1：把線段F1F2當(dāng)作直徑畫一個(gè)圓，已知圓的半徑r=c=3<4=b，所以圓和橢圓不會(huì)相交，即不存在點(diǎn)P.

在上述案例中，面對(duì)這樣一道難度一般的解析幾何類題目，學(xué)生可以輕松找到多個(gè)不一樣的解題方法，使其充分體會(huì)到一題多解的樂趣，同時(shí)讓他們通過比較發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解題思路.

3 結(jié)語

總而言之，高中數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的理論性與學(xué)科性特征，在學(xué)習(xí)與解題訓(xùn)練中經(jīng)常會(huì)遇到不少挑戰(zhàn)，教師應(yīng)用“一題多解”的訓(xùn)練模式，可以有效活化學(xué)生的思維，使其拓展解題思路，掌握高效的解題方法，慢慢增強(qiáng)他們的解題自信.Z