煩人的無(wú)限小數(shù)

有一次，4

8，20

5和4

12在分?jǐn)?shù)小屋一起玩變身游戲，它們先變成了1

2，4

1和1

3。緊接著，4

8 變成了0.5，20

5變成了4。輪到4

12了，它的身體開(kāi)始飛速地長(zhǎng)大，變成了0.333……幸虧4

8拿出了祖?zhèn)魉帯h(huán)丹，將4

12變成了0.3 ，分?jǐn)?shù)小屋才沒(méi)有被撐破。

這是怎么回事？為什么有些分?jǐn)?shù)可以變身成常見(jiàn)的小數(shù)，而有些卻變成無(wú)限小數(shù)了呢？

我將4

12拿過(guò)來(lái)，先在它身上做研究。4

12= 4

2×2×3，好像看不出有什么特別之處，于是我決定把其他的分?jǐn)?shù)2

80，6

57，66

99，1

21，7

50 也拿來(lái)做研究，今天我非要把它們研究明白不可。

我先對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再將分母展開(kāi)成質(zhì)因數(shù)相乘的形式，最后化為小數(shù)。

2

80=1

40=1

2×2×2×5=0.025? ? ? ? ? ? ? ?  ①

6

57=2

19=0.105263157……? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②

66

99=2

3=0.6? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?③

1

21=1

3×7=0.047619? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?④

7

50=7

2×5×5=0.14? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ⑤

這下子“搗蛋鬼”就被揪出來(lái)了！從式子中可以看出，分母的質(zhì)因數(shù)中只包含2和5（式子①、⑤）這兩個(gè)數(shù)字，那么分?jǐn)?shù)就可以化成一個(gè)有限小數(shù);如果分母的質(zhì)因數(shù)里有3，7，19（式子②、③、④）等這些“煩人”的數(shù)，那么只要分子是除0外的任意數(shù)，分?jǐn)?shù)化成小數(shù)后都會(huì)成為無(wú)限小數(shù)。

“病根”找到了，那么“病因”呢？一位合格的“數(shù)學(xué)醫(yī)生”可不能如此草率地下結(jié)論。于是，我繼續(xù)做了以下研究。

我先設(shè)一個(gè)任意正整數(shù)為a，則有a=a×1

10×10，記為⑥式。

在⑥式左右兩邊同時(shí)除以2，則有a÷2=a×1

10×10÷2=a×1

10×5。

在⑥式兩邊同時(shí)除以5，則有a÷5=a×1

10×10÷5=a×1

10×2。

看，任意一個(gè)正整數(shù)除以2時(shí)就等于這個(gè)數(shù)縮小10倍再放大5倍，所得的值不可能是無(wú)限小數(shù)。同理，任意一個(gè)正整數(shù)除以5時(shí)就等于這個(gè)數(shù)縮小10倍再放大2倍，也不可能得到無(wú)限小數(shù)。所以，當(dāng)分母只包含2和5，或者若干個(gè)2和若干個(gè)5的乘積時(shí)，這個(gè)分?jǐn)?shù)都不可能化成無(wú)限小數(shù)。

我們還可以這樣理解。在除法中，如果除數(shù)是2或者5，或2n、5n等這些數(shù)時(shí)，它們總會(huì)被十分位、百分位、千分位上含有0的數(shù)約掉，但3，6，7，9，11等數(shù)則無(wú)法被約掉，最后就變成無(wú)限小數(shù)了。

以上就是我對(duì)無(wú)限小數(shù)的診斷結(jié)果，大家覺(jué)得我這個(gè)“數(shù)學(xué)醫(yī)生”是否稱職？

指導(dǎo)老師 廖 寬

陳思怡? 5月3日? 15：47：35

羅逸真是華佗再世！通過(guò)你的診斷結(jié)果，我一下子就明白了分?jǐn)?shù)為什么會(huì)變成無(wú)限小數(shù)。但為什么還要再分為無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)呢？統(tǒng)稱為無(wú)限小數(shù)不就行了嗎？請(qǐng)“神醫(yī)”在線解答！

劉秋月? 5月3日? 15：59：01

有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，其中無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。而無(wú)理數(shù)代表不能寫(xiě)作兩個(gè)整數(shù)之比的小數(shù)，也就是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。兩者所屬的集合不同，所以有時(shí)候需要單獨(dú)分開(kāi)談。

高福奧? 5月3日? 16：30：21

原來(lái)數(shù)學(xué)也和我們班里一樣，有不少不安分的“刺頭”，并不都是性質(zhì)相同的“乖寶寶”，這讓我更加喜歡上了數(shù)學(xué)這個(gè)大家庭。