【摘 要】 數(shù)學校本選修課程作為國家課程的拓展與補充,沒有高考壓力,在課程實施過程中內(nèi)部動機起著更為主導的作用,學生的多元優(yōu)勢智能得到更大程度的發(fā)揮.以《數(shù)學多棱鏡》第四章中“探秘經(jīng)典”單元—課時教學為例,通過“努力觸發(fā)燃點線”“精心打造共同體”“細致滋養(yǎng)生長點”“繽紛絢爛展示群”的“四步”課程實施,讓學生對“基本不等式”與“柯西不等式”的悠久歷史、相互關聯(lián)、幾何背景、代數(shù)詮釋、思想啟示進行深入探究,在此過程中學生的多元優(yōu)勢智能助推數(shù)理邏輯智能,推動學生的數(shù)學探究活動.
【關鍵詞】 校本選修;多元智能;“四步”實施;探秘經(jīng)典
1 問題緣起
數(shù)學校本選修課程作為國家課程的拓展與補充,其實施過程是以國家課程的實施為基本藍圖,但是又較之國家課程有學生更為廣闊的發(fā)揮發(fā)展空間,因為數(shù)學校本選修課程的實施更為自由靈活機動.國家課程以高考影響下的成績目標為導向,對于學生來講有很強的外部動機,而校本選修課程沒有高考的壓力,學生的表現(xiàn)更隨心而動,內(nèi)部動機起著更為主導的作用.在課程實施過程中,學生潛藏的多元智能得到更大程度的開發(fā),用學生各種優(yōu)勢智能助推數(shù)理邏輯智能,引導學生用數(shù)學的眼光觀察世界,用數(shù)學的思維思考世界,用數(shù)學的語言描述世界.
2 多元智能理論基礎
霍華德加德納認為人的智能是一個復雜的綜合體,涵蓋語言智能、空間視覺智能、運動智能、音樂智能、數(shù)理邏輯智能、人際關系智能、自我認知智能、自然觀察者(博物學家)智能、存在智能.就智能的發(fā)展問題,加德納認為各種智能的發(fā)展存在不同的規(guī)律,但從整體而言主要有以下幾點:(1)對于某一個人來說,智能的發(fā)展是不平衡的.即每個人都有各自的智能強項和弱項.智能之間的不同組合表現(xiàn)出個體間的智能差異,即每個人都有自己的智能輪廓;(2)智能的發(fā)展受教育和文化環(huán)境的影響很大.通過教育培養(yǎng)可以提高人的智能,即人的多元智能發(fā)展水平的高低關鍵在于后天的開發(fā);(3)不同智能顯現(xiàn)出來的年齡存在明顯差異,應有意識捕捉不同智能發(fā)展的最佳時機;(4)不同智能之間存在相互影響,如“瓶頸效應”“補償效應”“催化效應”.
3 《數(shù)學多棱鏡》的“四步”課程實施
筆者基于多元智能理論開發(fā)的校本選修課程命名為《數(shù)學多棱鏡》,之所以命名為《數(shù)學多棱鏡》,是因為筆者將課程分為“數(shù)海覓蹤,學無止境,多思古今,棱角分明,鏡像萬千”五部分,每部分的課程各具特色.“數(shù)海覓蹤”側(cè)重對國家課程里的內(nèi)容二次挖掘;“學無止境”側(cè)重學生的奇思妙想;“多思古今”側(cè)重從數(shù)學史的角度探究高中數(shù)學中的某些內(nèi)容;“棱角分明”側(cè)重對經(jīng)典公式定理的來龍去脈進行探究;“鏡像萬千”側(cè)重數(shù)學與實際生活的緊密聯(lián)系.綜合基于多元智能的校本選修課程實施可以分為“四步”:點燃、構建、深潛、共享.下面筆者以第四章中“探秘經(jīng)典”的單元—課時教學為例,談談數(shù)學校本選修課程的“四步”實施.
3.1 點燃:努力觸發(fā)燃點線
在一般的數(shù)學學習中,學生的數(shù)學學習往往是被教師提出的問題或任務驅(qū)動,而筆者追求的校本選修課程在實施過程中,希望由學生自主自發(fā)地發(fā)現(xiàn)問題.提出一個問題往往比解決一個問題更重要,因為解決問題也許僅是一個技能而已,而提出新的問題、新的可能性或者從新的角度去看舊的問題,卻需要有創(chuàng)造性的想象力,而且標志著科學的真正進步.在“探秘經(jīng)典”課程實施的起始階段,筆者意圖讓學生自己尋找感興趣并且想探究的問題.數(shù)學中有很多經(jīng)典的公式、定理、不等式與性質(zhì)等,所謂的“經(jīng)典”,可以從不同角度詮釋,學生心目中的“經(jīng)典”有他們自己的詮釋.教師設計問卷調(diào)查學生心目中的“經(jīng)典”,統(tǒng)計結(jié)果表明學生對“經(jīng)典不等式”感興趣,因此筆者就將“經(jīng)典”定位在不等式的研究上.進而筆者讓學生選擇心目的“經(jīng)典不等式”,很多學生都選擇“基本不等式”和“柯西不等式”,于是讓學生自己制定研究計劃,點燃探究火花,觸發(fā)思維燃點線.學生通過討論達成共識,制定了以下的研究計劃,盡可能全面揭示“基本不等式”與“柯西不等式”的經(jīng)典之處.
學生對于制定這樣的探究計劃給出了自己的理由:首先這兩個不等式之所以經(jīng)典因其具有深厚的歷史底蘊,其次它們的經(jīng)典之處表現(xiàn)為“經(jīng)典”與“經(jīng)典”之間往往存在千絲萬縷的聯(lián)系,再次它們的經(jīng)典之處應該體現(xiàn)為具有非常好的“數(shù)形結(jié)合”屬性,最后它們的經(jīng)典之處在于蘊含在其中的思想方法具有推廣價值與意義.燃點線的觸發(fā)與研究計劃的制定是一個調(diào)動學生自我認知智能與人際關系智能的過程,當然數(shù)理邏輯智能依然占據(jù)主導地位,而其他智能對數(shù)理邏輯智能的輔助與助推作用也顯得尤為關鍵.3.2 構建:精心打造共同體
從高考的角度看,數(shù)學需要獨立思考,因此在國家課程的實施過程中,教師更多地是鼓勵學生對問題進行獨立思考和自主探究.但從辯證角度看,事物總有兩方面,如果片面地強調(diào)獨立思考,容易閉門造車或出現(xiàn)“當局者迷”的情況,從某種程度上限制了學生多元智能發(fā)展的空間.作為國家課程補充的校本選修課程沒有高考壓力,可以充分發(fā)揮數(shù)學學習共同體的強大功能.精心打造的學習共同體要體現(xiàn)“同組異質(zhì)”.從智能角度講就是同組的學生盡量擁有不同的優(yōu)勢智能,這樣的學習共同體具有兩種基本功能:(1)社會強化:建立學習共同體是滿足學習者的自尊和歸屬感需要的重要途徑,這里的自尊與歸屬感也體現(xiàn)在智能的自尊與歸屬感;(2)信息交流:學習者與輔導者進行交流,同時又與同伴進行交流和合作,共同建構知識、分享知識、智能互補.
在“探秘經(jīng)典”實施過程中,學習共同體內(nèi)部均進行了不同程度的分工,綜合起來基本都是按照學生的智能優(yōu)勢進行分工.擁有語言優(yōu)勢智能的學生側(cè)重挖掘與查詢歷史淵源,擁有自然觀察者優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究兩者的關聯(lián),擁有空間視覺智能優(yōu)勢的學生側(cè)重研究幾何解釋,擁有數(shù)理邏輯優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究代數(shù)詮釋,擁有自我認知優(yōu)勢智能的學生側(cè)重研究思想啟示,而擁有人際關系優(yōu)勢智能的學生負責綜合各類研究,與眾人磨合,形成展示成果,最終進行匯報的人員可以是擁有數(shù)理邏輯優(yōu)勢智能與語言優(yōu)勢智能的“組合”.
3.3 深潛:細致滋養(yǎng)生長點
針對學生制定的研究計劃和共同體分工,筆者為學生的研究活動滋養(yǎng)幾個生長點,讓學生的數(shù)學思維、素養(yǎng)伴隨著多元智能經(jīng)歷頓悟、破土而出.3.3.1 經(jīng)典之“中西方數(shù)學發(fā)展的比較”
中西方數(shù)學文化有著各具特色的發(fā)展歷史與特征,我國古代數(shù)學擁有璀璨的文化,值得學生去追溯,比較中西方關于兩個經(jīng)典不等式的研究特色與區(qū)別.
(1)基本不等式西方對于基本不等式的研究比較早,公元前6世紀,畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術中項、幾何中項以及調(diào)和中項,畢氏學派的哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項,并把幾何中項小于等于算術中項叫做基本不等式.歐幾里得在《幾何原本》中給出了兩條已知線段之間的幾何中項的作圖方法,如圖1所示,以AB為直徑作半圓ADB,則CD即為AC和CB之間的幾何中項.歐幾里得之后,芝諾多魯斯在《論等周圖形》中給出命題:在邊數(shù)相同、周長相等的所有多邊形中,等邊且等角的多邊形的面積最大.在四邊形中便可以得到基本不等式.
我國對于基本不等式的研究最經(jīng)典的首推“趙爽弦圖”(如圖2所示),趙爽是公元3世紀三國時期東吳的數(shù)學家,趙爽弦圖的經(jīng)典之處在于他用截、割、拼、補來證明代數(shù)式之間的恒等關系勾股定理,而“基本不等式”也蘊含于趙爽弦圖中,趙爽在給《周髀算經(jīng)》作注時寫道:“以圖考之,倍弦實,滿外大方,而多黃實,即勾股差實.以差實減之,開其余,得外大方.大方之面,即勾股并也.”由此可以讓學生探究得到基本不等式.
(2)柯西不等式
也許學生會認為“柯西不等式”顧名思義是由柯西首次提出的,但是如果引導學生再細細查找蛛絲馬跡,便可發(fā)現(xiàn)兩個值得斟酌的問題.其一,從歷史角度講,柯西不等式應該稱為“柯西-布尼亞克夫斯基-施瓦茨不等式”,其原因值得學生追溯;其二,從我國歷史角度講,趙爽弦圖的變形圖(比如將趙爽弦圖中的正方形換成平行四邊形等)中也可以得到柯西不等式.
我國古代數(shù)學的風格是以形證數(shù),數(shù)量關系與空間形式往往是形影不離地并肩發(fā)展著,十七世紀笛卡爾解析幾何的發(fā)展正是我國這種傳統(tǒng)思想和方法在幾百年停頓后的重現(xiàn)和繼續(xù).不妨可以對學生進行“立德樹人”的愛國主義教育:我國文化傳承于儒家中庸之道,一向比較低調(diào)含蓄,而且由于年代久遠,我國的很多數(shù)學研究成果未必能夠完整保存下來,所以有待于我們繼續(xù)去考證與發(fā)現(xiàn)我國古代璀璨的數(shù)學文化寶庫.
3.3.2 經(jīng)典之“兩者間關聯(lián)程度的摸索”
數(shù)學的發(fā)展告訴我們,不同的數(shù)學知識之間存在千絲萬縷的聯(lián)系,也正是這種聯(lián)系推動數(shù)學不斷的發(fā)展,學生相信“基本不等式”與“柯西不等式”兩大經(jīng)典不等式之間也存在必然的聯(lián)系.學生發(fā)現(xiàn),對于二維柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,如果取c=d=1時,二維柯西不等式就是二維基本不等式a2+b2≥2ab;而對于三維柯西不等式(a21+a22+a23)(b21+b22+b23)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2,如果取b1=b2=b3=1,三維柯西不等式就是基本不等式的變形a21+a22+a23≥a1a2+a2a3+a3a1;如果繼續(xù)將柯西不等式推廣到n維,依然可以找到與基本不等式之間的關聯(lián).
數(shù)學之間的關聯(lián)不僅僅體現(xiàn)在兩個經(jīng)典不等式橫向之間,也體現(xiàn)在兩個經(jīng)典不等式與不同知識內(nèi)容之間.兩個經(jīng)典不等式原本屬于代數(shù)領域研究的內(nèi)容,但是它們與其他代數(shù)領域的內(nèi)容、幾何領域的內(nèi)容都存在關聯(lián),因此就有了以下兩個“經(jīng)典”:幾何背景與代數(shù)觀點.3.3.3 經(jīng)典之“多角度幾何背景的探究”
基本不等式與柯西不等式具有豐富的幾何背景,單從我國古代數(shù)學看,兩個不等式都可以與優(yōu)美幾何圖形緊密相連.隨著幾何學的深入學習,學生知道向量、復數(shù)都有幾何詮釋,還有完美體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的解析幾何,因此兩個經(jīng)典不等式與向量、復數(shù)、解析幾何都有深刻的關聯(lián).比如圖3所示,設平面直角坐標系中兩點A(a1,a2),B(b1,b2),則a=OA=(a1,a2),b=OB=(b1,b2),OD是O到直線BD的垂線段,OB是O到直線BD的斜線段,二維柯西不等式的一種幾何背景是:定點O到直線BD的垂線段OD比斜線段OB更短\[1\].3.3.4 經(jīng)典之“統(tǒng)一性代數(shù)觀點的整合”
從代數(shù)觀點看兩個經(jīng)典不等式也可以是多角度的整合,可以從不等式作差的角度、復數(shù)集內(nèi)的三角不等式角度、方程的角度、函數(shù)的角度,而不等式、方程、函數(shù)三者之間又存在重要關聯(lián),這也是高中數(shù)學著重要研究和考查的內(nèi)容之一,顯示出數(shù)學內(nèi)部的和諧美與統(tǒng)一美.比如基本不等式與對勾函數(shù)的緊密聯(lián)系,而柯西不等式與某一個一元二次方程的判別式存在關聯(lián),而且可以推廣到n維柯西不等式,從代數(shù)觀點,柯西不等式源于平方式非負的性質(zhì),這與幾何中距離非負相對應.3.3.5 經(jīng)典之“合理化思想方法的推廣”
既然兩個經(jīng)典不等式有著如此悠久的歷史,有著如此默契的關聯(lián),有著如此豐富的幾何背景,有著如此深刻的代數(shù)詮釋,那么我們不僅能夠運用這兩個經(jīng)典不等式解決很多的問題,而且能夠?qū)⑻N含其中的思想方法在解決問題上進行推廣應用,比如構造平面圖形解決問題,構造空間圖形解決問題,構造解析幾何圖形解決問題,構造函數(shù)解決問題,構造復數(shù)解決問題,構造向量解決問題等.3.4 共享:繽紛絢爛展示群
展示是校本選修課程實施的一個重要環(huán)節(jié),經(jīng)過學習共同體對兩個經(jīng)典不等式的“深潛”,均有所斬獲,通過學習共同體的書面匯報,筆者發(fā)現(xiàn),由于不同的學習共同體的主導優(yōu)勢智能有所不同,因此探究側(cè)重點也會有所不同,探究的深淺程度也有所不同.筆者根據(jù)不同學習共同體的優(yōu)勢與特點幫助他們選擇合適的展示點,由此形成繽紛絢爛的展示群.
通過展示,學生的多元智能得到可視化的體現(xiàn),讓共同體內(nèi)的每一位學生的自我價值都得到體現(xiàn);通過展示,學習共同體內(nèi)部遺留的問題可以得到不同視角的釋疑,讓學習共同體走出固步自封的象牙塔,產(chǎn)生豁然開朗的頓悟;通過展示,會閃耀出教師意想不到的亮點,讓學生們驚嘆于“原來如此”,折服于同伴的智慧,充分印證了學生驚人的想象力與敏銳的觀察力;通過展示,匯聚成學生的過程作品集,這是學生多元智能相互推動的成果,記錄團隊精誠合作的歷程,形成學生深度學習的智慧結(jié)晶.
參考文獻
[1] 李尚志.柯西不等式之幾何白話版\[J\].高中數(shù)學教與學,2021(07):41-43.
作者簡介 俞昕(1977—),女,浙江湖州人,正高級教師,碩士;主要研究數(shù)學文化、數(shù)學校本課程、多元智能等;有多篇論文發(fā)表.