一類多項(xiàng)式系統(tǒng)的中心條件

諸慧

（溫州科技職業(yè)學(xué)院 公共教學(xué)部，浙江 溫州325000）

1 概述

微分方程模型是反映變量之間變化率的關(guān)系式，它可以幫助人們精準(zhǔn)地刻畫宏觀和微觀世界，已廣泛應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。因此，微分方程的定性理論和應(yīng)用成為眾多學(xué)者關(guān)注的熱點(diǎn)問題之一，而中心焦點(diǎn)判定就是微分方程中極為重要的一塊內(nèi)容，它與Arnold 問題和Hilbert第16 問題的解決聯(lián)系密切。考慮平面多項(xiàng)式微分方程系統(tǒng)，當(dāng)線性部分為中心型時(shí)，可寫成如下形式：

其中P(x,y)和Q(x,y)是多項(xiàng)式，原點(diǎn)可能為系統(tǒng)（1）的中心焦點(diǎn)判定問題，目前主要的研究方法有形式級數(shù)法、后續(xù)函數(shù)法、形式積分因子法、不變曲線法、奇點(diǎn)量法、V 函數(shù)法等[1]。這些研究結(jié)果為中心焦點(diǎn)的探索提供了重要判斷方法。但是當(dāng)P(x,y)和Q(x,y)的次數(shù)增多時(shí)，焦點(diǎn)量的階數(shù)也隨之增加，無論用何種方法約化焦點(diǎn)量都會產(chǎn)生巨大的計(jì)算量，從而使中心焦點(diǎn)的判定及其不易，因此如何讓運(yùn)算效率提高是一個(gè)非常關(guān)鍵的問題。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，不少研究者借助符號計(jì)算軟件Maple 輔助證明微分系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問題，涌現(xiàn)出不少高效通用的焦點(diǎn)量計(jì)算算法[2-3]。因而微分方法的定性理論研究取得不少重要的成果，且發(fā)表在國際主流數(shù)學(xué)期刊上。本文考慮系統(tǒng)（1）的一個(gè)特例，即如下系統(tǒng)：

當(dāng)n=3 時(shí)，Gine 和Santallusia[4]得到了原點(diǎn)是系統(tǒng)（2）中心的充要條件。

定理1.1[4]如下系統(tǒng)

原點(diǎn)是系統(tǒng)（3）的中心充要條件是以下之一條件成立

本文繼續(xù)考慮系統(tǒng)（2）的中心焦點(diǎn)判定問題，借助符號計(jì)算軟件Maple 給出了n=4 時(shí)，原點(diǎn)為系統(tǒng)（2）中心的充要條件及細(xì)焦點(diǎn)的階數(shù)，根據(jù)同一算法，陸續(xù)演算了當(dāng)n = 5，6，7 時(shí)，原點(diǎn)為系統(tǒng)（2）中心的充分條件。

2 預(yù)備知識

本文利用二維微分系統(tǒng)的焦點(diǎn)量算法[4]——形式級數(shù)法，這里設(shè)Li為系統(tǒng)（2）的第i 階焦點(diǎn)量，按照Hilbert 基定理，存在唯一的正整數(shù)N，使得結(jié)式消元后的新焦點(diǎn)量Li=0（i=1，2，…，N），就可保證原點(diǎn)是中心。因此只要具體分析前N 個(gè)Li，我們就可得到原點(diǎn)為系統(tǒng)（2）中心的充要條件，同時(shí)得到系統(tǒng)（2）的至多小擾動極限環(huán)個(gè)數(shù)。通閱文獻(xiàn)，Hilbert 基定理并沒給出N 的具體計(jì)算方法，一般情況下，我們先計(jì)算前一個(gè)低階焦點(diǎn)量，并不斷約化高階焦點(diǎn)量，從而得到原點(diǎn)為中心的必要條件，再通過其它途徑證明這些條件是充分的，從而得到充要條件[5]。

引理2.1[3]（Poincaré 對稱原理）如果系統(tǒng)（2）

右側(cè)的向量場關(guān)于x 軸或y 軸對稱，即函數(shù)P(x,y)，Q(x,y)滿足P(x, -y) =-P(x,y)，Q(x, -y) =Q(x,y)或P(-x,y) =P(x,y),Q(-x,y) =-Q(x,y)，因此原點(diǎn)必為系統(tǒng)（2）的中心。

3 主要結(jié)果及證明

首先考慮系統(tǒng)（2）n = 4 時(shí)的情形，系統(tǒng)（2）轉(zhuǎn)化為

定理3.1 原點(diǎn)為系統(tǒng)（4）的中心，充要條件是下述四組條件之一成立

證明：（充分性）

其中

雖然P(u,v)和Q(u,v)項(xiàng)數(shù)比較多，借助Maple 比較容易判斷出新系統(tǒng)滿足P(u, -v) =-P(u,v)，Q(u,-v)=Q(u,v)。根據(jù)Poincare 對稱原理，原點(diǎn)為中心。

其中P(m,n)和Q(m,n)都是含36 個(gè)單項(xiàng)式的多項(xiàng)式，同理利用Maple 驗(yàn)證系統(tǒng)滿足P(m,-n) =-P(m,n)，Q(m,-n)=Q(m,n)。根據(jù)Poincare 對稱原理，原點(diǎn)為中心。

（必要性）

利用Maple 計(jì)算出系統(tǒng)（4）的前8 個(gè)焦點(diǎn)量。

另外L3，L4，…，L8是含有8 個(gè)變量{ai，bi，i=1，2，3，4}的多項(xiàng)式，它們所含的單項(xiàng)式個(gè)數(shù)分別為26，73，166，340，651，1176。只要一直對低階焦點(diǎn)量進(jìn)行結(jié)式消元來約化高階焦點(diǎn)量，最終我們就可得到原點(diǎn)為系統(tǒng)（4）中心的條件。

Step 1：令L1=0，即b2=-a2，借助Maple 將b2=-a2迭代到上述的焦點(diǎn)量L2，L3，…，L8中，L2則約化為

其他約化后的高階焦點(diǎn)量L3，L4，…，L8所含有的單項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)減少為15，44，90，175，307，524，跟原先的焦點(diǎn)量相比，多項(xiàng)式的增長速度減緩不少，說明這種計(jì)算方法是有效的。

Step 3：令L3=0，觀察這個(gè)多項(xiàng)式，a3和b3的最高次為一次，同理，利用Maple 計(jì)算得

Step 4：令L4=0，繼續(xù)利用Maple 輔助證明，這里分類討論：

(A) 若80a+ 57a2b1- 36a1b≠0

再分3 種情況討論：

(1)a1-b1=0時(shí)，迭代到高階的焦點(diǎn)量，得L5=L6=L7=L8= 0，繼續(xù)將a1-b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中，即可得a1-b1=a2+b2=a3-b3=a4+b4=0條件（1）證畢。

(2)a1+b1=0時(shí)，迭代到高階的焦點(diǎn)量，得L5=L6=L7=L8=0，繼續(xù)將a1+b1=0代入到前面所求的條件式b3、b4中，即可得

a1+b1=a2+b2=a3+b3=a4+b4=0. 條件（2）證畢。

(B)若80a+ 57a2b1- 36a1b=0

將上述多項(xiàng)式分類討論：

(1) 若b1=0 時(shí)，則a1=0

(2) 若b1≠0時(shí)，解得

ii)若a2≠0，則

這時(shí)將L3，L4，…，L8做結(jié)式運(yùn)算，最終得只含系數(shù)b1的單項(xiàng)式，因b1≠0，故焦點(diǎn)量L3，L4，…，L8之間沒公共解，這是說明系統(tǒng)了（4）具有4 階細(xì)焦點(diǎn)，證明完畢。

4 討論

當(dāng)n=5，6，7 時(shí)，本文繼續(xù)對系統(tǒng)（4）進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)這類系統(tǒng)以原點(diǎn)為中心的充要條件有著以下的規(guī)律，結(jié)果的形式與定理1.1 和定理3.1 相似，于是有下述的猜想：

猜想:原點(diǎn)為系統(tǒng)（4）的中心的充要條件為以下條件之一成立