周玉寶 蔡海濤

[摘 ?要] 概念教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有重要地位，以學(xué)生為主體的教學(xué)，應(yīng)鼓勵學(xué)生“動”起來，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，積極參與數(shù)學(xué)活動.文章以“數(shù)列的概念”教學(xué)為例，談?wù)劇吧眲咏虒W(xué)的實踐與思考.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)列;“生”動;概念教學(xué);實踐與思考

數(shù)學(xué)概念是反映現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)屬性的思維過程，而中學(xué)數(shù)學(xué)是由概念、命題經(jīng)推理組成的邏輯體系[1]. 因此，概念教學(xué)的重要性不言而喻. 而在當(dāng)前的概念教學(xué)中，部分教師對概念的生成、辨析和厘清淺嘗輒止，把課堂上的時間更多地花在概念的應(yīng)用上，認為學(xué)生只要通過重復(fù)的訓(xùn)練，就能達到理解概念、深化概念的目的. 殊不知，如果教學(xué)中忽視了概念的生成，那么學(xué)生對概念的本質(zhì)就會一知半解，遇到情境新穎的問題就無從下手.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]. 所以，概念教學(xué)也應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標.筆者認為，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)是以學(xué)生為主體的教學(xué)——“生”動教學(xué). 其中，“生”代表“學(xué)生”，“動”代表學(xué)生動腦、動手、動口等. “生”動教學(xué)是以學(xué)生為主體的教學(xué)，通過教師的引導(dǎo)，學(xué)生參與系列化的數(shù)學(xué)活動，掌握“四基”，提高“四能”，發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

下面，筆者以“數(shù)列的概念”教學(xué)為例，談?wù)劵凇吧眲咏虒W(xué)的概念課的教學(xué)設(shè)計與實踐，以期與同人交流.

[?]教材分析

“數(shù)列的概念”是人教A版數(shù)學(xué)（選擇性必修二）[3]“第四章 數(shù)列”的起始課. 在本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了自然數(shù)、整數(shù)、實數(shù)等概念，并學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)的概念. 本章分為4個小節(jié)：數(shù)列的概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法. “數(shù)列的概念”涉及的知識有數(shù)列、數(shù)列的項、通項公式、遞推公式、有窮數(shù)列、無窮數(shù)列、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列等基本概念，以及歸納、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等思想方法. 一方面，數(shù)列是函數(shù)知識的延伸及應(yīng)用，學(xué)習(xí)數(shù)列概念可以加深學(xué)生對函數(shù)概念的理解;另一方面，學(xué)習(xí)數(shù)列概念又為進一步學(xué)習(xí)等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，以及數(shù)列的通項公式、前n項和公式做好了鋪墊. 本節(jié)課的目標是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)，這四個素養(yǎng)貫穿“數(shù)列”整個章節(jié)的學(xué)習(xí).

[?]教學(xué)過程

1. “生”動創(chuàng)設(shè)情境——概念引入

問題1 有人說，大自然都是懂?dāng)?shù)學(xué)的，不知道你注意過沒有，樹木的分叉、花瓣的數(shù)量、植物種子的排列等都遵循著某種數(shù)學(xué)規(guī)律，你能發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律與這些數(shù)的關(guān)系嗎？

問題2 王芳從1歲到17歲，每年生日那天都會測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：cm）依次排成一列數(shù)：75，87，96，103，

110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168①. 記王芳第i歲時的身高為h，那么h=75，h=87，…，h=168.我們發(fā)現(xiàn)，h中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即h=75是排在第1位的數(shù)，h=87是排在第2位的數(shù)……h(huán)=168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置. 所以，①是具有確定順序的一列數(shù).

問題3 在兩河流域發(fā)掘的一塊泥版（編號K90，約產(chǎn)生于公元前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天每天月亮可見部分的數(shù)：5，10，20， 40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240②. 記第i天月亮可見部分的數(shù)為s，那么s=5，s=10，…，s=240. 這里，s中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1到15的順序排列時的確定位置，即s=5是排在第1位的數(shù)，s=10是排在第2位的數(shù)……s=240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置. 所以，②也是具有確定順序的一列數(shù).

問題4 -次冪按1次冪、2次冪、3次冪、4次冪……依次排成一列數(shù)：-，，-，，…③你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：問題1通過實際生活情境引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察問題，用數(shù)學(xué)思維思考問題.問題2和問題3讓學(xué)生認識生活中的數(shù)列，讓學(xué)生感受這些數(shù)是具有確定順序的，每個位置上的數(shù)都有其特定的意義，為抽象出“數(shù)列”的概念做鋪墊.問題4讓學(xué)生認識數(shù)學(xué)中的數(shù)列，通過仿照問題2和問題3，用數(shù)學(xué)符號表示數(shù)列并進行分析，進一步認識數(shù)列是具有確定順序的一列數(shù).

2. “生”動觀察歸納——概念形成

問題5 問題2、問題3、問題4三個例子的共同特征是什么？

教師引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般，歸納概括其共同特征，教師在師生活動的基礎(chǔ)上給出數(shù)列的概念，抓住“一列數(shù)”和“順序”這兩個關(guān)鍵點.

追問1：1，3，5，7是一個數(shù)列，7，5， 3，1也是一個數(shù)列，這兩個數(shù)列是不是同一個數(shù)列？

師：這就好比在生活中輸入賬號時，若某兩個數(shù)字的順序輸入錯誤，即使數(shù)字正確，也無法登錄.

追問2：1，1，1，1，…是不是一個數(shù)列？

追問3：如何用一般的符號表示數(shù)列？

設(shè)計意圖：問題5是從特殊到一般歸納得到數(shù)列的概念，結(jié)合追問讓學(xué)生感受數(shù)列“序”的特征，達到對概念辨析的目的. 在概念的形成過程中，幫助學(xué)生學(xué)會觀察、分析、歸納，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng).

問題6 數(shù)列{a}中的各項a與它的序號k（k=1，2，3，…，n，…）是什么關(guān)系？

教師呈現(xiàn)數(shù)列{a}中的各項a與它的序號k一一對應(yīng)的關(guān)系：

數(shù)列{a}是從正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項a，記為a=f（n）.

追問1：你能從函數(shù)的角度解釋問題2、問題3、問題4中的三個數(shù)列的特點嗎？

追問2：在數(shù)列中，符號{a}與a所表示的意義是否相同？

設(shè)計意圖：揭示數(shù)列的項與它的序號的對應(yīng)關(guān)系本質(zhì)上是函數(shù)關(guān)系，通過列舉數(shù)列使學(xué)生進一步認識數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，并給出其定義域，再通過追問進一步揭示數(shù)列的函數(shù)特點.

問題7 對于不同的數(shù)列，它們的項數(shù)有何特點呢？

設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧問題2、問題3和問題4，問題2中的數(shù)列有17項，問題3中的數(shù)列有15項，它們是項數(shù)有限的數(shù)列，而問題4中的數(shù)列有無窮多項.根據(jù)數(shù)列中的項數(shù)是有限還是無限，自然地將數(shù)列分成以下兩類：有窮數(shù)列（項數(shù)有限的數(shù)列），無窮數(shù)列（項數(shù)無限的數(shù)列）.

問題8 數(shù)列有哪些表示方法？

追問1：數(shù)列圖像有什么特點？

追問2：數(shù)列通項公式的作用是什么？

設(shè)計意圖：通過問題8和兩個追問，讓學(xué)生理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列和函數(shù)一樣有三種表示方法，數(shù)列的圖像是一些孤立的點，數(shù)列的通項公式就是數(shù)列作為函數(shù)的解析式.

問題9 單調(diào)數(shù)列怎樣定義呢？

追問：函數(shù)有哪些性質(zhì)？類比函數(shù)，數(shù)列有什么性質(zhì)？

設(shè)計意圖：教師讓學(xué)生從表和圖中觀察單調(diào)數(shù)列中的項隨序號變化出現(xiàn)的特點.問題2中，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)從第2項起，每一項都大于它的前一項，教師給出遞增數(shù)列的定義：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.類比遞增數(shù)列，給出遞減數(shù)列的定義.特別地，各項都相等的數(shù)列叫做常數(shù)列.研究數(shù)列的性質(zhì)，讓學(xué)生進一步深入理解數(shù)列，體會數(shù)列單調(diào)性的特殊性與一般性.

3. “生”動即時訓(xùn)練——概念應(yīng)用

例1 根據(jù)下列數(shù)列{a}的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并畫出它們的圖像.

（1）a=;（2）a=cos.

變式：寫出下列數(shù)列的前10項，并畫出它們的圖像.

（1）當(dāng)自變量x依次取1，2，3，…時，函數(shù)f（x）=2x+1的值構(gòu)成的數(shù)列;

（2）數(shù)列的通項公式為

a=2，n為奇數(shù)，

n+1，n為偶數(shù).

師生活動：學(xué)生計算、畫圖，教師利用電子表格計算、畫圖.請學(xué)生回答例1和變式中的數(shù)列是否為遞增數(shù)列.

設(shè)計意圖：例1和變式是對數(shù)列通項公式的直接應(yīng)用，要求學(xué)生描點作圖，使學(xué)生從通項公式、表格和圖像三個角度認識數(shù)列.

例2 根據(jù)下列數(shù)列的前4項，寫出數(shù)列的一個通項公式.

（1）1，-，，-，…;

（2）2，0，2，0，…;

（3）9，99，999，9999，….

設(shè)計意圖：讓學(xué)生體會從數(shù)列的具體項歸納數(shù)列通項公式的基本方法，認識數(shù)列的通項公式不是唯一的.

4. “生”動討論交流——概念深化

問題10 回顧數(shù)列的概念及其表示方法的學(xué)習(xí)過程，說一說其中運用了怎樣的思想方法.

學(xué)生交流后回答，由教師總結(jié).

問題11 課外欣賞兩個數(shù)列——斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，…;提丟斯數(shù)列：4，7，10，16，28，52，100，196，388，772，…. 利用本節(jié)課所學(xué)知識觀察其規(guī)律.

設(shè)計意圖：一方面鞏固本節(jié)課所學(xué)知識，另一方面引導(dǎo)學(xué)生重視使用教材中的習(xí)題.

[?]教學(xué)反思

1. 關(guān)注序言，做好起始教學(xué)

“數(shù)列的概念”是“數(shù)列”這一章節(jié)的起始課，起始課是一個章節(jié)的源頭，有較多的基本概念，這些概念為后續(xù)數(shù)列的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ). 好的開始是成功的一半，起始課承擔(dān)的首要任務(wù)就是把源頭概念講清、講透. 教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀章節(jié)序言，明確章節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，然后將思想方法和素養(yǎng)在教學(xué)過程中逐漸滲透、積累、提升[4].

2. 關(guān)注主題，函數(shù)數(shù)列關(guān)系

新教材突出“主線—主題—核心內(nèi)容”的基本結(jié)構(gòu)和框架.“數(shù)列”是離散型函數(shù)，屬于函數(shù)主題方面的內(nèi)容[5]. “數(shù)列的概念”這節(jié)課中，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式即函數(shù)的解析式，通過“列表—函數(shù)—數(shù)列”的流程，以函數(shù)思想貫穿教學(xué)，指導(dǎo)學(xué)生運用研究函數(shù)的一般方法，通過觀察、概括、歸納和反思來研究數(shù)列，鼓勵學(xué)生自主探究、合作交流，主動參與數(shù)學(xué)活動，形成依托函數(shù)主題的數(shù)列學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗.

3. 關(guān)注“生”動，發(fā)展核心素養(yǎng)

本節(jié)課以“生”動為主線，關(guān)注概念的“引入—生成—應(yīng)用—深化”，讓學(xué)生經(jīng)歷解決問題方法的形成過程，教師適時啟發(fā)和點評. 課堂上留給學(xué)生足夠的時間去思考、練習(xí)、歸納，一方面讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中抽象出數(shù)學(xué)原理、規(guī)律的基本方法，注重培養(yǎng)學(xué)生用準確嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)概念、規(guī)則;另一方面讓學(xué)生在應(yīng)用中把握概念的本質(zhì)屬性，注重思想方法的提煉. 由這兩個方面提高學(xué)生的“四基”和“四能”，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] ?蔡海濤，林運來. 核心素養(yǎng)下高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)策略[J]. 數(shù)學(xué)通報，2019，58（09）：20-25+66.

[2] ?中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3] ?人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書·數(shù)學(xué)（A版）：選擇性必修第二冊[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4] ?李響，黃繼紅. “單元統(tǒng)整”背景下序言課教學(xué)設(shè)計的思考與實踐——以滬教版“7.1數(shù)列”為例[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2021（06）：13-16.

[5] ?陳俊鵬. MPCK視角下新教材“數(shù)列的概念”教學(xué)[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2021（16）：30-32.