研究離心率的求法

摘要：圓錐曲線的離心率是高考的重要考點，題型靈活多變，解法總體可以從代數(shù)和幾何兩個角度入手，但不同解法的運算量差距很大，一題多解研究離心率問題很重要，往往可以發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解，巧妙解.

關鍵詞：雙曲線；離心率；解法

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）28-0027-04

收稿日期：2022-07-05

作者簡介：徐健（1970-），女，江蘇省海安人，本科，中學高級教師，從事中學數(shù)學教學研究.

2022年3月23日下午，烏魯木齊地區(qū)全體高三學生和部分高中數(shù)學老師參加了本地高度重視的高三第二次質量檢測考試，題目較以往有明顯的變化：新穎但偏易！但是第11題大家一致反映不好做，花了很多時間卻無果而終，甚至影響了后續(xù)答題，這種反應老師中也存在.因此，我第一時間展開了研究，先分享于此，以饗讀者.

1 題目呈現(xiàn)

題目（烏魯木齊地區(qū)2022年高三年級第二次質量檢測數(shù)學理科第11題） 已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左，右焦點，點P位于第一象限的漸近線上，滿足PF1⊥PF2，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為（）.

A.54B.43C.53D.2

2 總體把握

要求雙曲線的離心率，本質就是尋求其參數(shù)a，c的關系，進而要尋找建立關系的條件.顯然點P，Q在雙曲線的漸近線上就是突破口，那么這兩點的坐標必須被雙曲線的參數(shù)a，b，c表達，所以問題歸結為探究點P，Q的坐標.由幾何位置關系知，點P制約著點Q，因此突破點P的坐標是關鍵，我們嘗試著用a，b，c來表達.

3 解法探究

策略1估算速解.

解法1如圖1，記坐標原點為O，顯然OP是Rt△PF1F2斜邊上的中線，于是OP=c.

又因為點P在漸近線y=bax上，且c2=a2+b2，所以猜測P（a，b）.

由已知PQ∶QF1=3∶2，得PQ=35PF1.

設Q（m，n），則

（m-a，n-b）=35（-c-a，-b）.

所以m-a=35（-c-a），n-b=35（-b）.

解得m=25a-35c，n=25b.（*）

將（*）代入y=-bax，得

2b5=-ba（25a-35c）.

整理，得45=35·ca.

所以e=43.

故選B.

評注作為考試，又快又準答題是非常重要的.估算猜想可以實現(xiàn)速解.猜想當然需要解題經(jīng)驗和正確的理論支持.本解法就是依據(jù)曲線與方程的關系和參數(shù)的數(shù)量關系c2=a2+b2合理推理后猜想而得.

策略2利用直線和圓的方程求交點.

解法2因為PF1⊥PF2，所以點P的軌跡方程為x2+y2=c2（除去點F1，F(xiàn)2）.

由x2+y2=c2，y=bax，得

x2+（bax）2=c2.

整理，得（a2+b2）x2=a2c2.

因為a2+b2=c2，

所以c2x2=a2c2.

解得x=a.

所以y=ba×a=b.

因此點P的坐標P（a，b）.

以下同解法1.

策略3利用向量垂直建立方程.

解法3因為PF1⊥PF2，

所以PF1⊥PF2.

于是PF1·PF2=0.

設P（s，t），

則（-c-s，-t）·（c-s，-t）=0.

整理，得s2+t2=c2.①

又P（s，t）在直線y=bax上，

所以t=bas.②

有①②解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略4依托斜率關系式建立方程.

解法4因為PF1⊥PF2，

所以kPF1·kPF2=-1.

設P（u，v），

則v-0u+c·v-0u-c=-1.

整理，得u2+v2=c2.③

又P（u，v）在直線y=bax上，

所以u=bav.④

由③④解得P（a，b）.

以下同解法1.

策略5依托兩直線方程求點Q的坐標.

解法5由前文知點P（a，b），又F1（-c，0），

所以F1（-c，0）.

所以kPF1=ba+c.

故PF1所在直線方程為y=ba+c（x-c）.

聯(lián)立y=ba+c（x+c），y=-bax，得

點Q（-ac2a+c，bc2a+c）.

由已知得F1Q=25F1P.

所以（-ac2a+c+c，bc2a+c）=25（a+c，b）.

由bc2a+c=25b，

得4a=3c.

從而離心率e=ca=43.

故選B.

評注解法2，3，4，5均在交點上做文章，只是曲線（直線）方程產(chǎn)生的渠道不同而

已，殊途同歸.可以根據(jù)自己的喜好進行選擇，運算量差距不大.多角度思考，有助于提高學生的應試能力，拓廣思維.而考生思維受阻的原因是引入變量太多，將點P，Q的橫縱坐標均看作相互獨立的4個變量，未準確把握它們之間的數(shù)量關系.

策略6依托三角函數(shù)關系式建立方程.

解法6由已知得kOP=ba.

設∠POx=α，α是銳角，那么tanα=ba.

由同角三角函數(shù)的基本關系，得

sinα=bc，cosα=ac.

由直角三角形中的三角函數(shù)，得

Px=c×ac=a，Py=c×bc=b.

因此點P的坐標P（a，b）.

以下同解法1.

評注解析幾何中恰當引入三角函數(shù)往往可以減少變量，降低運算量.本題的相關點不

在雙曲線上，不易引入三角函數(shù)，需要綜合考慮，從直線傾斜角的角度引入角，然后才有三角運算，解題過程十分簡潔.

策略7幾何法，構造相似形直接得解.

解法7如圖2，設點P關于y軸的對稱點為P′，結合前文得P′（-a，b）.

同時，PP′∥OF1.

所以△QPP′∽△QOF1.

于是PQ∶QF1=PP′∶OF1.

因為PQ∶QF1=3∶2，

所以PP′∶OF1=2a∶c=3∶2.

解得e=ca=43.

評注解析幾何的本質是幾何，能夠將解析幾何問題的數(shù)量關系轉化為幾何位置關系，通常會大大降低運算量，使解題顯得簡潔明了.當然，這種轉化還是很不容易的，縱觀以上解法，本解法最為巧妙便捷.

4 追蹤溯源

題1（2017年烏魯木齊地區(qū)教師業(yè)務考試卷第11題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，在雙曲線上存在一點P，使得PF1與漸近線平行，∠F1PF2=π2，則雙曲線C的離心率為（）.

A.3B.5C.5D.2

參考答案C.

題2（2018年全國高考Ⅲ卷理科卷第11題） 設F1 ，F(xiàn)2是雙曲線C∶x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點，O是坐標原點，過點F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為點P.若PF1=6OP，則C的離心率為（）.

A.5B.2C.3D.2

參考答案C.

題3（2019年全國高考Ⅰ卷理科卷第16題）已知雙曲線C∶x2a2-y2b2=1的左、右焦點分別為F1 ，F(xiàn)2，過點F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點.若F1A=AB，F(xiàn)1B·F2B=0，則C的離心率為.

參考答案e=2.

評注以上三個題目均是直角背景下求雙曲線的離心率問題，解法多樣，但最簡潔還是幾何法，限于篇幅，請數(shù)學同仁自行探究，感悟其中的樂趣.

5 變式拓展

變式1已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，點P位于雙曲線第一象限的圖象上，滿足PF1⊥PF2，PF1與斜率為負值的漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=

3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式2已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，過點F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線的漸近線在第一象限的交點為P，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

變式3已知雙曲線方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，過點F2作直線l⊥x軸，l與雙曲線在第一象限的交點為P，PF1與另一條漸近線交于點Q，若PQ∶QF1=3∶2，則雙曲線的離心率為.

評注直角背景下的離心率問題很活，以上僅從直角頂點的位置在漸近線上、在曲線上、在坐標軸上進行了改裝 ，問題就變得耳目一新.事實上還可變換曲線，將雙曲線換成橢圓，這類問題也很受高考命題專家的青睞，有興趣的同仁可以查閱歷年高考題.

6 題型綜述

直角背景下的離心率問題通常應從以下角度思考：圓錐曲線的第一定義式，正余弦定理，焦點三角形面積，三角換元，直線與直線的關系，直線與曲線的關系，向量的數(shù)量積，直線的斜率，互補角的誘導公式，互余角的誘導公式，相似形等，再輔以代數(shù)運算技巧，一般可以解決問題.其中最優(yōu)解法是構造相似形的純幾何法，同時也是思維量最大的解法.多從幾何角度思考研究此類問題有助于提高解題速度和正確率.

參考文獻：

［1］李昌成.結論應用重要 結論證明更重要——以一個雙曲線的結論為例[J].中學生理科應試，2022（03）：13-15.

[2] 任志鴻.十年高考[M].北京：知識出版社，2019.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 杜海洋.一道壓軸小題的巧解淺議圓錐曲線離心率的常見求法［J］.數(shù)理化解題研究，2021（31）：16-17.

［5］ 吳喜平.求圓錐曲線離心率的三種思路［J］.語數(shù)外學習，2021（11）：40.