毛麗麗

對(duì)角之和是180°的四邊形叫做對(duì)角互補(bǔ)四邊形，通常被稱為對(duì)角互補(bǔ)模型.作為圖形與幾何領(lǐng)域的典型圖形，對(duì)角互補(bǔ)模型常常搭配哪些條件，常常和哪種圖形同時(shí)出現(xiàn)，解題的常見策略又是什么呢？

一、典例解析

例 （2021·重慶B卷）如圖1，在等邊三角形ABC中，BD⊥AC，垂足為D，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)F為射線BD上一點(diǎn)，連接EF. 將線段EF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段EG，連接FG. 若E不與點(diǎn)A，B重合，GF的延長線交BC邊于點(diǎn)H，連接EH，求證：BE + BH = [3]BF.

分析：本題除∠ABC和∠EFH互補(bǔ)外，還有一個(gè)“秘密武器”就是對(duì)角線BD平分∠ABC，充分利用角平分線的特性，借助作雙垂線或旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形即可解決問題.

解法1：如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥BA于M，F(xiàn)N⊥BC于N，

∴∠FME = ∠FNH = 90°，

∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∵∠ABC = 60°，

∴FM = FN，∠MFN = 120°，

∵∠EFH = 120°，∴∠MFE = ∠NFH，∴△FME ≌ △FNH，

∴ME = NH，∴BE + BH = BM - ME + BN + NH = BM + BN.

在△FBM和△FBN中，∠FMB = ∠FNB = 90°，F(xiàn)B = FB，∠FBM = ∠FBN = [12]∠ABC = 30°，∴△FBM ≌ △FBN，

∴BM = BN = BF·cos30° = [32]BF，∴BE + BH = [3]BF.

解法2：如圖3，以點(diǎn)F為中心，將FB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°交BC于P，

∴∠BFP = ∠EFH = 120°，∴∠EFB = ∠HFP，

∵BD⊥AC，∴BD平分∠ABC，∵∠ABC = 60°，∴∠FBP = 30°，∴∠FPB = ∠FBP = 30°，

∴FB = FP，∴△FEB ≌ △FHP，∴BE = PH，∴BE + BH = PH + BH = BP.

在△FBP中，過點(diǎn)F作FR⊥BC于R，∴BR = PR，

∵BR = BF·cos 30° = [32]BF，∴BE + BH = [3]BF.

點(diǎn)評(píng)：此題中，對(duì)角互補(bǔ)四邊形外加一對(duì)角線平分其中一角形成全等型對(duì)角互補(bǔ)模型. 對(duì)角互補(bǔ)模型通常還會(huì)和等邊三角形、等腰直角三角形、正方形等特殊圖形結(jié)合起來考查，解題方法主要有過頂點(diǎn)作雙垂線和旋轉(zhuǎn)法.

二、模型策略

1.全等型對(duì)角互補(bǔ)模型，以雙90°的對(duì)角互補(bǔ)模型為例.

（1）如圖4，∠AOB = ∠DCE = 90°，OC平分∠AOB.

思路1：如圖5，過點(diǎn)C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD ≌ △CNE.

思路2：如圖6，以點(diǎn)C為中心，將CO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交OB于F，則△COD ≌ △CFE.

由此可得以下結(jié)論：①∠CDO + ∠CEO = 180°;②CD = CE;③OE + OD = [2]OC;④S△OCD + S△OCE = ?[12]OC2.

（2）如圖7，∠AOB = ∠DCE = 90°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與OA的反向延長線交于點(diǎn)D.

思路1：如圖8，過點(diǎn)C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD ≌ △CNE.

思路2：如圖9，以點(diǎn)C為中心，將CO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交OB于F，則△COD ≌ △CFE.

由此可得以下結(jié)論：①∠CDO = ∠CEO;②CD = CE;③OE - OD = [2]OC;④S△OCE - S△OCD = ?[12]OC2.

2. 全等型對(duì)角互補(bǔ)模型，以2α和180° - 2α的對(duì)角互補(bǔ)模型為例.

如圖10，∠AOB = 2α，∠DCE = 180° - 2α，OC平分∠AOB.

嘗試探究：①∠CDO和∠CEO的數(shù)量關(guān)系;②CD和CE的數(shù)量關(guān)系;③OE，OD，OC的數(shù)量關(guān)系;④S△OCD，S△OCE與OC的關(guān)系. （請(qǐng)?jiān)趫D11和圖12中進(jìn)行探究）

3.相似型對(duì)角互補(bǔ)模型，以雙90°的對(duì)角互補(bǔ)模型為例.

（1）如圖13，∠AOB = ∠DCE = 90°，借助作雙垂線和旋轉(zhuǎn)法探究.

思路1：如圖14，過點(diǎn)C作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，則△CMD∽△CNE，[CECD=CNCM=tan∠COB].

思路2：如圖15，以點(diǎn)C為中心，將CO逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°交OB于F，則△COD∽△CFE，[CECD=CFCO=tan∠COB].

（2）如圖13，∠AOB = ∠DCE = 90°，借助四點(diǎn)共圓探究.

思路3：如圖16，∵∠AOB = ∠DCE = 90°，

∴O，D，C，E四點(diǎn)共圓，

∴DE為直徑，∠CDE = ∠COB，

∴[CECD=tan∠CDE=tan∠COB].

（作者單位：沈陽市于洪區(qū)教育研究中心）