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      解答解析幾何中定值問題的兩種路徑

      2022-05-30 10:48:04徐曉玲
      關(guān)鍵詞:特殊化定值斜率

      徐曉玲

      圓錐曲線中的定值問題是與圓、橢圓、雙曲線、拋物線有關(guān)的斜率、距離、面積、比值為定值的問題.這類題目往往具有較強的綜合性,需要運用相關(guān)的解析幾何知識及數(shù)學(xué)思想來證明定值不會受任何變量的影響.在本文中,筆者結(jié)合例題探究如何解答解析幾何中的定值問題.

      一、采用特殊化法

      運用特殊化法解答解析幾何中的定值問題,需從一些特殊的情況入手,如特殊圖形、特殊值、特殊位置等,根據(jù)已知條件求得定值,再證明這個值與變量無關(guān).此方法較為簡單,且較為便捷.

      例1.如圖,已知橢圓 C:+ y2=1的上下頂點分別為 A,B,點 P 在橢圓 C 上且不與點 A,B,重合設(shè)直線 AP,BP 的斜率分別為k1,k2 ,求證:k1?k2為定值.

      證明:

      此題的解法就是從特殊點 A 、B 入手,根據(jù)特殊點 A 、B 的坐標(biāo),求出直線 AP 和 PB 的斜率,再將其相乘,即可得出k1?k2的乘積為定值,從而可以證明結(jié)論.

      二、消參

      消參法是指通過消去參數(shù),求得問題的答案.運用消參法解答解析幾何中的定值問題,要先選取合適的動點坐標(biāo)或直線的斜率,將其看作變量,把要求解的定值表示成含上述變量的式子,并根據(jù)已知條件來減少變量的個數(shù),消去變量,化簡式子得到定值,再由題目的結(jié)論證明定值必定與變量無關(guān).

      例2

      證明:

      由于 P 點為動點,所以以點 P 的坐標(biāo)為變量,然后結(jié)合題目中的條件,用 P 點的坐標(biāo)表示| AM |和|BN |,得出 | AM |?|BN | 的表達(dá)式,接著通過化簡、消參,證明定值與變量無關(guān).

      特殊化法適用于求解選擇題與判斷題,而消參法則適用于解答題.針對不同的題型,需要選擇更加合適的方法進(jìn)行解題.同學(xué)們要從平時的解題訓(xùn)練中不斷總結(jié)歸納解題方法,那么再碰到類似的題目時,就能更加得心應(yīng)手.

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