解答解析幾何中定值問題的兩種路徑

徐曉玲

圓錐曲線中的定值問題是與圓、橢圓、雙曲線、拋物線有關(guān)的斜率、距離、面積、比值為定值的問題.這類題目往往具有較強的綜合性，需要運用相關(guān)的解析幾何知識及數(shù)學(xué)思想來證明定值不會受任何變量的影響.在本文中，筆者結(jié)合例題探究如何解答解析幾何中的定值問題.

一、采用特殊化法

運用特殊化法解答解析幾何中的定值問題，需從一些特殊的情況入手，如特殊圖形、特殊值、特殊位置等，根據(jù)已知條件求得定值，再證明這個值與變量無關(guān).此方法較為簡單，且較為便捷.

例1.如圖，已知橢圓 C：+ y2=1的上下頂點分別為 A，B，點 P 在橢圓 C 上且不與點 A，B，重合設(shè)直線 AP，BP 的斜率分別為k1，k2 ，求證：k1?k2為定值.

證明：

此題的解法就是從特殊點 A 、B 入手，根據(jù)特殊點 A 、B 的坐標(biāo)，求出直線 AP 和 PB 的斜率，再將其相乘，即可得出k1?k2的乘積為定值，從而可以證明結(jié)論.

二、消參

消參法是指通過消去參數(shù)，求得問題的答案.運用消參法解答解析幾何中的定值問題，要先選取合適的動點坐標(biāo)或直線的斜率，將其看作變量，把要求解的定值表示成含上述變量的式子，并根據(jù)已知條件來減少變量的個數(shù)，消去變量，化簡式子得到定值，再由題目的結(jié)論證明定值必定與變量無關(guān).

例2

證明：

由于 P 點為動點，所以以點 P 的坐標(biāo)為變量，然后結(jié)合題目中的條件，用 P 點的坐標(biāo)表示| AM |和|BN |，得出 | AM |?|BN | 的表達(dá)式，接著通過化簡、消參，證明定值與變量無關(guān).

特殊化法適用于求解選擇題與判斷題，而消參法則適用于解答題.針對不同的題型，需要選擇更加合適的方法進(jìn)行解題.同學(xué)們要從平時的解題訓(xùn)練中不斷總結(jié)歸納解題方法，那么再碰到類似的題目時，就能更加得心應(yīng)手.