西雪俠

多面體的外接球問題主要包括求多面體的外接球的體積、表面積、半徑.求解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征尋找球心的位置，即與多面體各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的位置，從而求得多面體的外接球的半徑、體積、表面積.對(duì)于一些不規(guī)則的幾何體，我們常需將其割補(bǔ)為規(guī)則的簡單幾何體，如長方形、直棱柱、圓錐、圓柱等，以便根據(jù)這些簡單幾何體的特征、結(jié)構(gòu)，快速確定球心的位置，求得多面體的外接球的半徑.

一、構(gòu)造長方體

若長方體 ABCD - A1B1C1D1 的體對(duì)角線 AC1 、 BD1 、CA1 、DB1 交于同一點(diǎn) O，則 O 為體對(duì)角線的中點(diǎn)，O 到長方體的 8 個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等，那么 O 即為長方體的外接球的球心，其外接球的半徑 R = a2 + b 2 + c 2 2 ，其中 a、b、c 分別為長方體的長、寬、高.特別的，當(dāng) a = b = c 時(shí)，正方體的外接球的半徑為 R = 3a 2 ，其中a為正方體的棱長.

若從長方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，可得具有以下特征的三棱錐：（1）共頂點(diǎn)的三系棱兩兩互相垂直的三棱錐 A -BDA1（如圖1）;（2）兩個(gè)面為直角三角形，且有公共斜邊的三棱錐 A -A1B1C1（如圖2）;（3）三組對(duì)棱相等的三棱錐 B -A1C1D （如圖3）.還可以從長方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取5、6、7個(gè)不共面的頂點(diǎn)，構(gòu)造多面體 A -A1B1C1D1、多面體 AB -A1B1C1D1、多面體 BCD -A1B1C1D1等.由于長方體的對(duì)角線中點(diǎn)到8個(gè)頂點(diǎn)的距離均相等，所以以上棱錐的外接球即為長方體的外接球，根據(jù)這些棱錐的特點(diǎn)構(gòu)造長方體，便可將棱錐的外接球問題都轉(zhuǎn)化為長方體的外接球問題，根據(jù)長方體的結(jié)構(gòu)、特征來解題.

例1.在四面體 A -BCD 中，AB = CD =AD =BC =， AC =BD =，求該四面體的外接球的半徑.

分析：四面體的對(duì)棱相等，可以構(gòu)造出一個(gè)面對(duì)角線分別為 AB、BC、AC 的長方體，顯然四面體 A -BCD 與該長方體有共同的外接球，求得該長方體的長、寬、高以及體對(duì)角線的長，即可求得四面體外接球的半徑.

解：

二、構(gòu)造直棱柱

如圖 4，設(shè)直棱柱上下底面的外心為 O1 、O2 ，則 O1O2 ⊥底面ABC ，取 O1O2 的中點(diǎn) O ，易證 O 到直棱柱的所有頂點(diǎn)的距離均相等，則 O 為直棱柱的外接球的球心.設(shè)底面三角形的外接圓的半徑為r，直棱柱的高為h，則該直棱柱的外接球的半徑 R = r 2 +（ h 2 ） 2 .

若棱錐的一條棱垂直于底面或側(cè)面，則可將其填補(bǔ)為直棱柱，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)來求解棱錐的外接球問題.

例2.四棱錐 A -BCDE 的底面為矩形，ΔABE 為正三角形.若 BE =2，BC =4，平面ABE⊥平面BCDE ，求 A -BCDE 的外接球體積.

解：

解答本題，需先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明 BC ⊥平面ABE ，據(jù)此構(gòu)造以 BC 為棱，ΔABE 為底面的直棱柱，便可根據(jù)直棱柱的性質(zhì)求得四棱錐 A - BCDE 的半徑，進(jìn)而求得問題的答案.

三、構(gòu)造圓錐

若圓錐有外接球，則圓錐的頂點(diǎn)與圓錐底面圓周均在同一球面上.設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，球的半徑為R，球心為O，則O到底面圓心的距離為d，由圖 5 易知 r + d = h ，由勾股定理可得 R2 - h2 = d2 ，則球的半徑 R = r 2 + h2 2h .

若棱錐的頂點(diǎn)在底面的投影為底面外接圓的圓心，或所有的側(cè)棱均相等，則可構(gòu)造以棱錐的底面為底，以其側(cè)棱為棱的圓錐，根據(jù)圓錐的性質(zhì)來確定外接球的球心，求得該外接球的半徑.

例3

解：

根據(jù)題意可知棱錐 S - BCD 的頂點(diǎn)在底面的投影為底面外接圓的圓心，即可構(gòu)造以 A 為底面的圓心， SA為高的圓錐，根據(jù)圓錐的性質(zhì)以及勾股定理就能求得三棱錐的外接球的半徑.

例4

解：

解答本題，關(guān)鍵在于根據(jù) CM ⊥平面PAB ，構(gòu)造以 ΔPAB 的外接圓半徑為底面半徑，三棱錐C-PAB的高為高的圓錐，根據(jù)圓錐的性質(zhì)即可求得三棱錐外接圓的半徑.

多面體的外接球問題較為復(fù)雜.同學(xué)們?cè)谇蠼舛嗝骟w的外接球問題時(shí)，要學(xué)會(huì)通過割補(bǔ)圖形，構(gòu)造出簡單的長方體、直棱柱、圓錐，這樣便能將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的規(guī)則立體幾何圖形問題，達(dá)到化難為易的效果.