梁雪梅

數(shù)形融合，是指通過(guò)數(shù)上構(gòu)形或形中覓數(shù)來(lái)求解的一類(lèi)思維方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，它既是一個(gè)主要的數(shù)學(xué)思維理論與方式，也是一個(gè)認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的有效手段。人們?cè)谘芯繑?shù)的時(shí)候，總是要通過(guò)對(duì)形狀的直接認(rèn)識(shí)來(lái)分析，使數(shù)更加清澈、透徹;而在研究形的時(shí)候，則總是偏離數(shù)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中有機(jī)地滲入了數(shù)形融合思想，通過(guò)探索數(shù)和形間的聯(lián)系，就可以使疑難定義、困難問(wèn)題都豁然開(kāi)朗、迎刃而解。

1. 以形悟數(shù)，在直觀中建立概念

數(shù)概念是數(shù)理經(jīng)驗(yàn)的種子，是發(fā)展學(xué)生思維能力的重要源頭。所以，學(xué)校在教育抽象化的數(shù)概念時(shí)，應(yīng)用圖形的直觀形式來(lái)表現(xiàn)數(shù)的精確，讓學(xué)生在認(rèn)識(shí)概念的同時(shí)抽象出數(shù)概念的內(nèi)容和外延，以便形成合理的、科學(xué)的數(shù)概念。在案例1：人教版四年級(jí)下冊(cè)“小數(shù)的近似數(shù)”中，強(qiáng)調(diào)“在表示接近數(shù)時(shí)，小數(shù)結(jié)尾的零不能去掉”。學(xué)生雖然能記住這種概念，但很容易和小數(shù)的性質(zhì)（小數(shù)的末尾添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變）混淆。如何引導(dǎo)學(xué)生比較近似值七點(diǎn)八和七點(diǎn)八零的異同點(diǎn)呢？教學(xué)中筆者在數(shù)軸上表示出接近似值七點(diǎn)八和七點(diǎn)八零的取值范圍，讓學(xué)生更清楚地看出了為什么以七點(diǎn)八零結(jié)尾的零沒(méi)有去除，同時(shí)又深切地感受到七點(diǎn)八零比七點(diǎn)八更精確。而通過(guò)用幾何軸直接、形象的解析，不但有助于學(xué)生掌握接近數(shù)的定義，同時(shí)也在學(xué)生頭腦中形成了小數(shù)與接近值的模型，對(duì)精確到小數(shù)的位號(hào)有了更本質(zhì)的理解。

2. 以形解數(shù)，在連接中體悟方法

小學(xué)生的基本邏輯思考主要以表象思考為主，而抽象式思考則相對(duì)薄弱。在課堂教學(xué)中，將抽象式的數(shù)量關(guān)系通過(guò)直接的形象圖來(lái)表現(xiàn)，可以做到化隱為顯、化難為易，以便于將某些數(shù)學(xué)問(wèn)題加以合理地轉(zhuǎn)化，使解法思路更為明確了。在案例2：教學(xué)人教版四年級(jí)下冊(cè)的“乘法分配律”后，發(fā)現(xiàn)了“1997×2013-1996×2014”一題。因?yàn)轭}目中的數(shù)值相當(dāng)大，直接運(yùn)算相當(dāng)困難且易出錯(cuò)，所以必須分二次使用乘法分配律來(lái)運(yùn)算，能掌握的學(xué)生很少。于是筆者將這道題通過(guò)代數(shù)變形法加以教學(xué)，形象而直接地表示了此題的含義，準(zhǔn)確率也大大提高了。在課堂教學(xué)時(shí)，利用圖形展開(kāi)了下面的教學(xué)內(nèi)容：長(zhǎng)方形ABCD和正方形AEFG，其中CD=2013， AD=1997， AE=2014， EF=1996。由圖可知，由于ABHG是二正方形交叉的區(qū)域，所以我們可以將原始的計(jì)算方式轉(zhuǎn)換為求二正方形的面積之差，亦即求正方形GDCH與長(zhǎng)方形BEFH的積面之差，通過(guò)幾何學(xué)直接方便地得到正方形GDCH與正方形BEFH的寬都為1，所以，兩者之差：2013×1-1996×1=17。經(jīng)過(guò)如此直觀、形象的剖析，學(xué)生從數(shù)和形的連接中充分體會(huì)到了解題策略的多樣性。

3. 以形構(gòu)數(shù)，在過(guò)程中探究奧秘

數(shù)與形是研究的兩種對(duì)象，在處理某些抽象的、繁雜的、不好理解的教育問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用形象、直接的來(lái)闡述繁雜、抽象思考的數(shù)學(xué)教育問(wèn)題，在數(shù)上構(gòu)形、形中覓數(shù)，使繁雜提問(wèn)簡(jiǎn)潔化、抽象思考提問(wèn)具體，化難為易，化抽象思考為直接，既充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)趣味，也促使了學(xué)習(xí)者思想能力的提高。案例3：人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”解決特殊的分?jǐn)?shù)加法計(jì)算：…在教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生通過(guò)仔細(xì)地觀察計(jì)算中加數(shù)之間有哪些規(guī)律，然后依序類(lèi)推，將無(wú)限多個(gè)加數(shù)相加，到底之和是什么？然后指導(dǎo)學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖來(lái)思考，以此突出圖畫(huà)的重要性?？梢詫⒁婚L(zhǎng)方形作為1，先取，然后取再加下去，就這么一直不斷地加下去，發(fā)現(xiàn)這樣一直不斷加下去，直到空白部分愈來(lái)愈小，一部分學(xué)生就縮小得沒(méi)有了，而陰影部分也占滿(mǎn)了整個(gè)長(zhǎng)方形，很自然地得出了它的和無(wú)限逼近一，也就是等于一的道理。如此，通過(guò)數(shù)與形的結(jié)合，既使學(xué)生從繪畫(huà)中探索了數(shù)學(xué)的奧妙，也在探索的過(guò)程中更深入地體會(huì)極限的思維，從而體驗(yàn)了探索數(shù)學(xué)奧妙的趣味過(guò)程。

4. 以數(shù)顯形，在觀察中理解本質(zhì)

在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，有意識(shí)地用形來(lái)引導(dǎo)學(xué)生從觀察中，找出了計(jì)算背后所蘊(yùn)藏的算理，以之來(lái)揭示計(jì)算的全過(guò)程，讓學(xué)習(xí)者從觀察中真正掌握和領(lǐng)會(huì)。案例4：六年級(jí)下冊(cè)“數(shù)與形”中的基本計(jì)算題：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=？和1+3+5+…+197+199=？指導(dǎo)學(xué)生將其中的每一個(gè)加數(shù)都設(shè)想為一點(diǎn)，并通過(guò)從點(diǎn)陣圖中的分布中去探索、去觀察，進(jìn)而找到以另一種視角去思維的經(jīng)典方法。由上到下一層一層數(shù)，就可以得到：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，然后再仔細(xì)觀察，圖四按順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)約45°就得出圖四中直視的所有正方形點(diǎn)陣圖形，也可以得出總數(shù)為10×10=100。然后再按照?qǐng)D四由下向上沿著折線數(shù)，便可得到結(jié)果：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔細(xì)觀察圖形，可以找到這二題都可以用同一方法10×10=100來(lái)運(yùn)算的規(guī)律性。正是通過(guò)這樣的教育方法，不但讓學(xué)生看到了不同的運(yùn)算可以用同一的形式來(lái)表現(xiàn)其所包含的本質(zhì)，而且讓學(xué)生可以從觀察中發(fā)現(xiàn)數(shù)和形的一一對(duì)應(yīng)性，更深入地感悟到了計(jì)算方法的多樣性。

5. 以數(shù)想形，在對(duì)比中抽象本真

在實(shí)際課程中，學(xué)習(xí)者在樹(shù)立形象后，一般用數(shù)的抽象特征來(lái)解決形的直觀問(wèn)題，而很少?gòu)亩嘟嵌热ヌ骄扛拍詈退季S的本質(zhì)本真。但實(shí)踐證明，賦予了學(xué)習(xí)者充分的學(xué)習(xí)時(shí)間，使學(xué)習(xí)者把握數(shù)的具體特征，在探究過(guò)程中從各種視角去想象、分析、思維，從比較、概括過(guò)程中逐漸理解概念、抽出實(shí)質(zhì)，以使學(xué)習(xí)者的空間觀得以發(fā)揮，思維能力也得以訓(xùn)練。案例5：根據(jù)人教版五年級(jí)數(shù)學(xué)課本“三角形的面積”的教學(xué)內(nèi)容，在給出三角形的面積公式后，有助于學(xué)習(xí)者理解“同底等高的三角形面積相同”這一特性。首先讓學(xué)生進(jìn)行測(cè)量下三角形的面積，再讓學(xué)生進(jìn)行想象，底為六高為四的三角形就只有這一個(gè)嗎？若不只一個(gè)，還可能是怎樣的？讓每個(gè)學(xué)生都進(jìn)行頭腦大風(fēng)暴，在對(duì)照中一一呈現(xiàn)。幫助學(xué)生從這個(gè)外形截然不同的三角形中展開(kāi)比較，慢慢領(lǐng)會(huì)“同底等高的三角體積都相同”這一特性的本真。

6. 以數(shù)釋形，在明理中構(gòu)建概念

圖象直接、形象地把握著人的視線，在數(shù)學(xué)課堂中也是這樣，但在有些教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中，教師單純地憑直接圖像展示數(shù)學(xué)課堂，有時(shí)非但無(wú)法很好地理解圖像，也無(wú)法掌握?qǐng)D像背后的精神，有時(shí)甚至影響到數(shù)學(xué)課堂的本真。這時(shí)，教師需用數(shù)來(lái)闡釋圖像的價(jià)值和圖像后所蘊(yùn)含的特點(diǎn)、規(guī)律等，讓學(xué)習(xí)者更好地認(rèn)識(shí)圖象，從而使形達(dá)到更好的教學(xué)效果。案例6：在人教版六年級(jí)下冊(cè)“圖像的擴(kuò)大與變小”課程中，教師給出了幾樣不同尺寸的長(zhǎng)方形國(guó)旗，并詢(xún)問(wèn)學(xué)習(xí)者：這幾幅圖中，哪幾幅看上去舒適，外形也一致？原因?yàn)楹?？在這些提問(wèn)的引導(dǎo)下，學(xué)習(xí)者初步了解在實(shí)際生活中什么外形是正規(guī)的。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步讓學(xué)習(xí)者去探究長(zhǎng)擴(kuò)大的倍數(shù)是否與寬擴(kuò)大的倍數(shù)相等。體會(huì)擴(kuò)大和變小的“大小不同，外形相同”，以便更加理解比的實(shí)質(zhì)意義和比在實(shí)際生活中的運(yùn)用，為以后的教學(xué)打下了基礎(chǔ)。

7. 數(shù)形互譯，在融合中構(gòu)建新知

數(shù)與形相融合的實(shí)例，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教材中比比皆是。在數(shù)學(xué)課程中，將算理定義和運(yùn)算常用數(shù)與形一一對(duì)接，讓學(xué)習(xí)者切身地感受進(jìn)行算理的流程，從而深入了解算理的實(shí)質(zhì);在定義課程中，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，幫助學(xué)生在了解定義的同時(shí)，以形的直觀來(lái)增進(jìn)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，并以數(shù)的真實(shí)來(lái)提升學(xué)習(xí)者對(duì)形的體驗(yàn)，使其更進(jìn)一步地構(gòu)建數(shù)理新知;在計(jì)算數(shù)學(xué)廣角的課程中，更離不開(kāi)數(shù)與形的融合，通過(guò)數(shù)與形讓學(xué)習(xí)者在認(rèn)識(shí)的深入程度上降低了認(rèn)識(shí)困難，從而增強(qiáng)了解題的能力。案例7：在人教版六年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”的練習(xí)題中發(fā)現(xiàn)了完全平方公式，用現(xiàn)代小學(xué)知識(shí)點(diǎn)怎樣了解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們應(yīng)該根據(jù)圖形用面積計(jì)算的知識(shí)來(lái)思考。（a+b）2只能看成邊長(zhǎng)是a+b的大方塊面積，在大方塊中分出一組邊長(zhǎng)為a的長(zhǎng)方塊、一組邊長(zhǎng)為b的中方塊和兩個(gè)相等的長(zhǎng)方塊，認(rèn)為大方塊面積等于a2+2ab+b2，所以得到（a+b）2==a2+2ab+b2。另外，在容斥問(wèn)題、行程提問(wèn)中，圖是個(gè)好助手，甚至于應(yīng)該說(shuō)如果脫離了圖，小學(xué)生就很難認(rèn)識(shí)這一類(lèi)提問(wèn)。但在課堂教學(xué)中將數(shù)與形有機(jī)地融合起來(lái)，既可充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也可促進(jìn)學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)地掌握，進(jìn)而高效建構(gòu)新知，使課堂教學(xué)工作到達(dá)合理、高效的程度。

8. 數(shù)形互譯，在理解中提升思維

人教版六年級(jí)下冊(cè)“策略問(wèn)題”中有一個(gè)練習(xí)：一只螞蟻，從一個(gè)6×5網(wǎng)格的左下角A點(diǎn)處，要爬到右上角的B點(diǎn)去，如果其中間只有一個(gè)4×1的長(zhǎng)方形空格，而其他都是長(zhǎng)方形，那么螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路徑有多少種爬法？這個(gè)題目如果用列舉法處理，將相當(dāng)復(fù)雜而且容易出錯(cuò)。若透過(guò)數(shù)形相結(jié)，并將題中的數(shù)量聯(lián)系轉(zhuǎn)換成形式聯(lián)系，便可更直接、簡(jiǎn)潔地探討出數(shù)學(xué)語(yǔ)言的奧妙。這樣，就很容易計(jì)算出從A到B的最短路線，共一百八十二條。這樣，就將數(shù)的精確體現(xiàn)在形的直觀上，二者和諧融合，讓數(shù)、形都充滿(mǎn)生命力，從而達(dá)到了教育的效果，進(jìn)而更好地提高了中小學(xué)生的思維能力。

結(jié)束語(yǔ)：

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，將數(shù)與形有機(jī)地融合一起，以形的形式直接展現(xiàn)數(shù)的奧妙，以數(shù)的形式精確掀開(kāi)圖形中所蘊(yùn)涵的實(shí)質(zhì)，讓數(shù)形結(jié)合和相融，從而有助于學(xué)習(xí)者建立數(shù)的基本概念，深入認(rèn)識(shí)數(shù)的實(shí)質(zhì)，讓解題思路和步驟更為具體，同時(shí)使學(xué)習(xí)者體驗(yàn)探索數(shù)學(xué)教育奧妙的整個(gè)流程，從而更好地展現(xiàn)科學(xué)知識(shí)生成的整個(gè)流程，并以此鍛煉學(xué)習(xí)者的思想、提高學(xué)習(xí)者的數(shù)理素養(yǎng)，切實(shí)提高課堂教學(xué)效率。