孫樹德

[摘 ?要] 2021年廣東省中考數(shù)學(xué)第23題遵循立基礎(chǔ)、考能力、考素養(yǎng)、重思維、重創(chuàng)新的指導(dǎo)思想，考查了多種輔助線的作法和多個(gè)基本圖形的應(yīng)用，聚焦知識(shí)本質(zhì)， 解法開放多元，引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)新思考，凸顯了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，文章對(duì)其進(jìn)行了研究.

[關(guān)鍵詞] 深度學(xué)習(xí);單元復(fù)習(xí)課;高階思維能力

試題呈現(xiàn)

（2021年廣東省中考第23題）如圖1所示，在邊長為1的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn). 連接BE，將△ABE沿BE折疊得到△FBE，BF交AC于點(diǎn)G，求CG的長.

試題評(píng)價(jià)

1. 立意基礎(chǔ)，關(guān)注模型，聚焦本質(zhì)

本題以正方形和三角形折疊為載體，綜合考查了正方形、勾股定理、全等三角形、相似三角形、平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)等核心的基礎(chǔ)知識(shí).在立足基礎(chǔ)知識(shí)上，考查主干，關(guān)注基本圖形，回歸教材，回歸本質(zhì). 本題條件簡(jiǎn)單，圖形簡(jiǎn)潔，但內(nèi)涵非常豐富，簡(jiǎn)約而不簡(jiǎn)單.在問題的解決過程中，嘗試尋找基本圖形，利用題目里折疊的對(duì)應(yīng)角相等以及正方形里的直角、邊的中點(diǎn)等條件，嘗試添加輔助線，構(gòu)造了“一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形，借助勾股定理、相似三角形等知識(shí)，利用模型的本質(zhì)與內(nèi)涵解決求線段長度的問題.本題有效地突出了對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)這 “四基”的考查，引領(lǐng)聚焦數(shù)學(xué)本質(zhì)，考查了學(xué)生的模型思想和應(yīng)用意識(shí).

2. 解法多元，引領(lǐng)創(chuàng)新，凸顯素養(yǎng)

本題命題者精心設(shè)計(jì)，考查了多種輔助線的作法和多個(gè)基本圖形的應(yīng)用，不同的思考方向要添加不同的輔助線，不固化學(xué)生思維，解法開放多元，但學(xué)生需要具備較強(qiáng)的幾何構(gòu)造能力、直觀想象能力、邏輯推理能力與運(yùn)算能力.從閱卷情況來看，大多數(shù)學(xué)生沿著平時(shí)學(xué)習(xí)的 “一線三等角”“8型”或“A型”相似三角形等基本圖形添加輔助線，還有學(xué)生采用“建系法”“截長法”等方法，本題引領(lǐng)學(xué)生創(chuàng)新思考，在簡(jiǎn)潔的圖形中“無中生有”，構(gòu)造了豐富多彩的幾何圖形.題目也有意向高中過渡，與高中銜接，有少數(shù)學(xué)生利用平時(shí)自學(xué)拓展的“二倍角公式”解決問題，這不僅滿足了不同層次學(xué)生的需求，也為激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維提供更多能力展示的空間.本題蘊(yùn)含了方程思想、化歸思想、模型思想等多種重要數(shù)學(xué)思想方法，綜合考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)，這有助于引導(dǎo)初中數(shù)學(xué)教學(xué)要更加注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

解法賞析

1. 思路1：以平行線為視角，構(gòu)造相似三角形

解法1：（基于構(gòu)造“X型”模型添加輔助線）如圖2所示，延長BF交CD于H，連接EH. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB∥CD，∠D=∠DAB=90°，AD=CD=AB=1，由勾股定理得AC=，由翻折的性質(zhì)可知，AE=EF，∠EAB=∠EFB=90°，∠AEB=∠FEB，因?yàn)辄c(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以AE=DE=EF，Rt△EHD≌Rt△EHF（HL），易得∠DEH+∠AEB=90°，∠AEB+∠ABE=90°，所以∠DEH=∠ABE，△EDH∽△BAE，=，DH=，CH=，因?yàn)镃H∥AB，所以==，CG=AC=.

解法2：（基于構(gòu)造“A型”與“X型”模型添加輔助線）如圖3所示，延長AD，BF交于點(diǎn)H. ?易得△HEF∽△HBA，=，BH=2EH.設(shè)EH=x，AH2+AB2=BH2，即

x+2+12=（2x）2，x=，即AH=，因?yàn)椤鱄GA∽△BGC，==，由勾股定理得AC=，得CG=.

解法3：（基于構(gòu)造“一線三等角”添加輔助線）如圖4所示，過點(diǎn)F作CD的平行線分別交AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)G作BC的垂線交BC于點(diǎn)P. 易得△MEF∽△NFB. 設(shè)MF長為x，則FN長為1-x，=，=，ME2+MF2=EF2，即

2+x2=

2，解得x=，ME=，DM=，CN=，F(xiàn)N=. 因?yàn)椤鱃BP∽△FBN， =. 設(shè)GP長為y，則CP長為y，BP長為1-y，F(xiàn)N=，BN=，=，y=，在Rt△PGC中，PC=PG=，∠GPC=90°，由勾股定理得 CG=.

2. 思路2：以平行線和半角為視角，構(gòu)造等腰三角形

解法4：如圖5所示，延長BF交CD于點(diǎn)H，延長BE和CD交于點(diǎn)I. 設(shè)CH長為x，△HIB為等腰三角形，得CH2+CB2=BH2，即x2+12=（2-x）2，x=. 因?yàn)?CH∥AB ，所以△HGC∽△BGA，==，由勾股定理得AC =，CG=.

3. 思路3：以截取等長為視角，構(gòu)造等角

解法5：如圖6所示，延長AB，截取BH=BG，連接GH，過點(diǎn)G作GJ⊥AB，易得∠ABE=∠H，則tan∠ABE=tan∠H=，設(shè)AJ=GJ=x，則JB=1-x， BH=2x-（1-x）=3x-1，在Rt△GBP中，x2+（1+x）2=（3x-1）2，解得x=. 由勾股定理得AC=，CG=.

4. 思路4：以正方形中特殊角45°為視角，構(gòu)造相似三角形

解法6：如圖7所示，連接FH，因?yàn)?AD∥BC ，所以△AHE∽△CHB，==，由勾股定理得AC=，AH=，HC=，易證△AEH≌△FEH，AH=HF=，∠EAH=∠EFH=∠GFH =45°，易證△GFH∽△GCB，==，設(shè)HG= x，F(xiàn)G= y，==， HG=，CG =.

分析 ?上述六種解法都要先添加輔助線，作法多樣，大多數(shù)都要添加多條輔助線，對(duì)學(xué)生提出了一定的挑戰(zhàn)，但這些作法的方向與思路都來源于教學(xué)中重要的基本圖形.這些解法應(yīng)用了相似三角形和勾股定理等核心知識(shí)，考查了學(xué)生幾何直觀想象能力、圖形構(gòu)造能力和創(chuàng)新意識(shí).

5. 思路5：以垂直為視角，建立直角坐標(biāo)系

解法7：如圖8所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，連接AF交BE于點(diǎn)H，正方形ABCD的邊長為1，得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），E為AD中點(diǎn)，AE=，E0，

，設(shè)直線BE的解析式為y=kx+b，由B（1，0），E0，

，得直線BE的解析式y(tǒng)=-x+， 由于△ABE折疊得到△FBE，EF=AE=，設(shè)點(diǎn)F（x，y），則（x-0）2+y-

2= ，因?yàn)榫€段AF的中點(diǎn)H

x，

y在直線BE上，得-×x+=y，聯(lián)立（x-0）2+

y-2=

，

-

×

x+

=

y，解得x=

，

y=

，所以F

，

. 由B，F(xiàn)兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得直線BF的解析式為y=-x+. 聯(lián)立y=-

x+

，

y=x，解得x=-

，

y=

.于是得到點(diǎn)G的坐標(biāo)為

，

，所以CG== .

分析 ?利用建系法把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)變成位置關(guān)系，在直角坐標(biāo)系中找到直線的解析式，學(xué)生需要從邊的數(shù)量找到點(diǎn)的坐標(biāo)，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和合情推理能力.

6. 思路6：以折疊半角為視角，利用二倍角公式

解法8：如圖9所示，作GH⊥AB， 因?yàn)閠an∠ABE=tan∠EBF=，tan∠ABF==，設(shè)HG=AH=4 x，HB= 3x，4x+3x=1， AH=，AG=，CG=.

分析 ?從閱卷的實(shí)際情況看，有少數(shù)學(xué)生采用了二倍角公式解決問題，本題向高中過渡，也可以作為初高中銜接教學(xué)的優(yōu)質(zhì)素材.由于此方法超出初中的學(xué)習(xí)范疇，在此不做太多論述.

教學(xué)導(dǎo)向

1. 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)，關(guān)注基本圖形

基礎(chǔ)知識(shí)是解決問題的基本支撐， 夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)有助于解題思路的形成.本題主要考查了教材中正方形、勾股定理、相似三角形等基礎(chǔ)知識(shí)和重要的基本圖形，但從閱卷中發(fā)現(xiàn)，有不少學(xué)生知識(shí)不夠扎實(shí)，不能把基礎(chǔ)知識(shí)和基本圖形聯(lián)系起來，缺乏在題目圖形中抽離、構(gòu)造、拆分基本圖形的能力，因此在平時(shí)的教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生打好知識(shí)基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生建立并歸納基本圖形，理解基本圖形的內(nèi)涵和本質(zhì)，理解其蘊(yùn)含的幾何特征和代數(shù)關(guān)系，提高學(xué)生的識(shí)圖能力，建立數(shù)量關(guān)系，強(qiáng)化通性通法教學(xué)[1].

2. 優(yōu)化解題路徑，注重思維培養(yǎng)

幾何教學(xué)中輔助線的添加在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中一直是難點(diǎn)，學(xué)生需要具備較強(qiáng)的幾何直觀想象能力和創(chuàng)新能力，有不少學(xué)生遇到這種需添加多條輔助線的幾何題就一籌莫展，不能在知識(shí)關(guān)聯(lián)、圖形的構(gòu)造、解題思路的形成建立思考.在幾何教學(xué)中，怎樣引導(dǎo)學(xué)生形成清晰的解題思路？例如：如何借助基本圖形解決問題？可以概括成四個(gè)步驟：（1）熟記基本圖形;（2）識(shí)別基本圖形;（3）構(gòu)造基本圖形;（4）建立關(guān)系解決. 在平時(shí)的教學(xué)中，多總結(jié)、提煉、熟記，方可敏銳發(fā)現(xiàn)題眼.如果發(fā)現(xiàn)圖形中沒有基本圖形的結(jié)構(gòu)，可以根據(jù)題目的已知條件和基本圖形的結(jié)構(gòu)特征添加輔助線構(gòu)造基本圖形，最后利用基本圖形的特征建立數(shù)量關(guān)系解決問題.在解題教學(xué)中，要留給學(xué)生充足的時(shí)間拆分和構(gòu)造基本圖形，探索基本圖形的特征和數(shù)量關(guān)系，為解決問題積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).教師可以開展開放式教學(xué)和變式教學(xué)，尋找有價(jià)值的“題根”，開展一題一課、一題多變、一題多解、多解歸一等教學(xué)研究，引導(dǎo)學(xué)生多角度、多層次的充分思考、討論，在觀察、分析、比較、選擇、批判中優(yōu)化解題路徑，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，提高學(xué)生邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、發(fā)散性、廣闊性、深刻性和創(chuàng)新性，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[2].

參考文獻(xiàn)：

[1]劉華為. 基于深度學(xué)習(xí)的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)[M]. 上海：華東師范大學(xué)出版社，2020.

[2]劉月霞，郭華. 深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)[M]. 北京：教育科學(xué)出版社，2019.