【摘 要】 ?大單元教學觀的理論依據(jù)是系統(tǒng)論,強調(diào)知識學習應放在系統(tǒng)中理解,知識運用應具有全局視野.基于大單元教學觀的微專題教學設計可從五個環(huán)節(jié)設計:大任務驅動;真情境設置;大概念引領;高觀點反思;教學評一體.以學習為中心是大單元教學觀的核心思想,在教學中需要做好學生的個性化輔導.
【關鍵詞】 ??大單元教學;微專題;大概念;高觀點
1 ?提出問題
微專題教學由于切口小、針對性強,有利于知識的拓展與深入探究,因而成為數(shù)學教學的重要課型.但又因知識指向性過于明確,很容易造成微專題教學題型化,形成知識孤島的困境.解決這一困境,需要教師運用大單元教學觀設計教學.
大單元教學觀的理論依據(jù)是系統(tǒng)論,強調(diào)知識學習應放在系統(tǒng)中理解,知識運用應具有全局視野.大單元教學具有五個內(nèi)涵特征,一是大任務驅動,系統(tǒng)設計教學目標;二是真情境設置,問題串引導教學進程;三是大概念引領,分析并解決問題;四是高觀點反思,構建新認知體系;五是教學評一體,達成學生學科素養(yǎng).下面以微專題“將軍飲馬及其變式”為例,加以闡述.
2 ?大單元教學觀下的微專題教學設計與思考
大任務驅動的路徑是通過課前預習或練習,明確教學目標.
過程1 ?大任務驅動
課前練習:自主完成學案,激活已學基礎知識,初步感受將軍飲馬數(shù)學模型
1.如圖1,從甲地到乙地有3條路,走哪條路較近?根據(jù)的是我們學過的哪個基本事實?
2.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖2所示,點B的坐標為(3,4),D是AB的中點,點E在OA上;當△CDE的周長最小時,求點E的坐標.
3.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖3所示,點B的坐標為(3,4),D是AB的中點,線段EF在AO上且EF=1,連接CE,DF;當四邊形CDFE的周長最小時,求點F的坐標.
4.矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖4所示,點B的坐標為(3,4),D是AB的中點,點E的坐標為(1,0),點G,F(xiàn)分別在BC、CO上;連接FE,ED,DG,GF,當四邊形GDEF的周長最小時,求點F的坐標.
對于“大任務驅動”的思考
基于大單元教學觀的大任務從兩個方面驅動課堂教學走向深度:一是激趣性驅動,“將軍飲馬”本身會激起學生想知道“是什么”的興趣,在學習中感受到數(shù)學知識與生活息息相關;二是挑戰(zhàn)性驅動,所給問題能夠表明知識時序性,即過去、現(xiàn)在與將來,入口較淺,學生應用所學知識可能具有分析與解決能力,但并非一帆風順.
課前練習的四個小題明確本節(jié)內(nèi)容任務群:1題幫助學生回顧知識,2題要求學生能夠應用知識完成簡單問題,3、4兩題具有一定挑戰(zhàn)性與延展性,能夠引發(fā)學生獨立思考,即“將軍飲馬”難道就是平移對稱與多次對稱嗎?還會有其他的變式嗎?
過程2 ?真情境設置
真情境設置的路徑是設置具有數(shù)學史、社會文化、現(xiàn)實生活等背景的實例.
問題1 ?何謂“將軍飲馬”?
“白日登山望烽火,黃昏飲馬傍交河.”這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩.而由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學問題,通常稱為“將軍飲馬”.
文字語言與圖象語言
如圖5,將軍在點A處,現(xiàn)在他要先帶馬去河邊喝水,然后返回軍營,問:將軍怎么走,路程最短?
數(shù)學語言、圖象語言與符號語言
如圖6,在直線l上找一點P,使得PA+PB最???
問題2 ?如圖7,在直線l上找一點P,使得PA+PB最小?
問題3 ?如圖8,在OA,OB上分別取點M,N,使得△PMN周長最?。?/p>
問題4 ?如圖9,在OA、OB上分別取點M,N,并滿足MN⊥OB,使得△PMN周長最小.
問題5 ?如圖10,在OA,OB上分別取點M,N,使得四邊形PMNQ的周長最?。?/p>
對于“真情境設置”的思考
教學中的情境是指“人為優(yōu)化的環(huán)境”,包括教學育人的客觀之“境”和心理場域之“境”,聚焦教學目標,充盈著德性、智慧和美感.“美”“智”“趣”的教學情境建構出了學生、教師和情境多維互動的“心理場”,優(yōu)化完善學生認知結構,發(fā)生積極審美愉悅以及情感體驗,實現(xiàn)了學生認知活動,是教育發(fā)展的自我超越[1].
真情境設置問題鏈起到課堂引入、整合知識體系的作用,并不一定是難題,難度可以略低于課前練習,但問題間需要具有一定的邏輯關聯(lián),可以是遞進關 系,可以是總分關系,也可以是并列關系,目的是形成夯實基礎的問題鏈.在過程2中,真情境設置5個問題都是以基本事實1(兩點之間,線段最短)作為依據(jù).問題1中的數(shù)學建模涉及數(shù)學表征、數(shù)學符號應用、數(shù)形結合以及等價轉化等多種思想方法,完成對將軍飲馬這一數(shù)學模型的認知;問題2中的數(shù)學模型是兩定點在定直線的同側,自然會聯(lián)想到兩定點在定直線的異側問題;通過問題1與問題2的解決提煉出此類數(shù)學模型的方法是對稱轉化;問題3與問題4是一點關于一角邊的對稱,與基本事實2(經(jīng)過兩點有且只有一條直線)共同完成了新問題的生成;問題5是兩點關于角兩邊兩次對稱問題,屬于一種方法的復合構成.5個問題既集中指向數(shù)學模型,又迭加生成新問題.
過程3 ?大概念引領
大概念引領的路徑是多題一解,即所設置問題共同指向核心大概念.
例1 ?如圖11,∠AOB=30 ° ,點M在邊OA上,且OM=3,OQ=5,求MP+PQ的最小值.
變式1 ?如圖12,∠AOB=45 ° ,P是∠AOB內(nèi)的一點,PO=10,點Q,R分別在∠AOB的兩邊上,求△PQR周長的最小值.
變式2 ?如圖13,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,線段MN在對角線BD上運動,若⊙O的面積為2 π ,MN=1,求在此過程中△AMN周長的最小值.
變式3 ?如圖14,在等腰直角三角形ABC中,斜邊AB的長為2,D為AB的中點,E為AC邊上的動點,ED⊥DF交BC于點F,P為EF的中點,連接PA,PB,求PA+PB的最小值.
對于“大概念引領”的思考
大概念引領的目的是培養(yǎng)學生集中思維能力.大概念是指向學科核心內(nèi)容和教學核心任務、反映學科本質的、能將學科關鍵思想和相關內(nèi)容聯(lián)系起來的、關鍵的、特殊的概念.大概念不能狹義地理解為知識概念,可以是某種思想、某個觀點、某項主題,具有一定的抽象性質[2].
將軍飲馬數(shù)學建模的大概念是“化折為直”,數(shù)學模型關鍵特征是“兩點之間,線段最短”.在真情境設置中對簡單常見形式進行羅列,幫助學生拓展將軍飲馬數(shù)學模型的表現(xiàn)形式,停留在問題表層.大概念引領則是指向思維層面,只要是涉及折線段問題,都可以考慮化折為直的思想方法.例1中折線段之和最小值接近基本模型;變式1為兩次對稱找出兩個定點還加少量計算;變式2需要通過平移構造,有的資料也稱之為“造橋選址”模型;變式3中P點軌跡是一條定直線.其中變式2與變式3的難度較高,教學中需要體現(xiàn)大概念的創(chuàng)造性應用.
過程4 ?高觀點反思
高觀點反思的路徑是一題多解,培養(yǎng)學生發(fā)散思維.
例2 ?如圖15,在平面直角坐標系中,點M的坐標為(3,0),N為y軸上一動點,連接MN,將線段MN繞點M逆時針旋轉60 ° ,得到線段MK,連接NK,OK,求線段OK的最小值.
對于“高觀點反思”的思考
反思是師生共同成長的最好路徑,高觀點是反思的方法.狹義的“高觀點”是指用高等數(shù)學的內(nèi)容、思想和方法來分析與解決初等數(shù)學中的問題,它包含三個方面的內(nèi)容:一是將高等數(shù)學的思想、觀點和方法滲透到中學數(shù)學教學中去;二是揭示中學數(shù)學內(nèi)容中某些不容易解釋和處理的問題的高等數(shù)學背景,即數(shù)學史角度;三是通過具體材料或實例展示高等數(shù)學對中學數(shù)學的指導意義[3].廣義的“高觀點”還包括三個方面,一是相對于所處學段更高學段的知識內(nèi)容,如高中相對于初中;二是跨模塊知識應用,如代數(shù)應用于幾何,復數(shù)應用于旋轉等;三是跨學科知識應用,如用物理知識解決數(shù)學問題,用化學知識理解數(shù)學內(nèi)容. 學生的高觀點反思目的是形成策略性知識,即默會知識.從認知心理學的知識分類角度,數(shù)學知識分為陳述性知識與程序性知識,前者在人腦中以命題和命題網(wǎng)絡的方式來表征,是一種相對“靜態(tài)”的知識;程序性知識則是由要領和規(guī)則構成,以“產(chǎn)生式”的方式表征,以一系列的“條件”及由相應“條件”下產(chǎn)生的動態(tài)“操作流程”的形式儲存于我們大腦中,是一種相對“動態(tài)”的知識[4].
教師的高觀點體現(xiàn)在站在知識的更上位.既幫助學生理解知識,又有利于學生進一步學習,為今后的發(fā)展預留空間,更多體現(xiàn)在選題與講解方法上.例2表面上是兩點間最短距離,本質是軌跡問題.此題可以從高中解析幾何角度得到動點K的軌跡是一條定直線,問題可以轉化為點到直線的距離,旋轉可以從矩陣角度來理解,還可以通過復數(shù)刻畫旋轉,當然,這些并不要求教師上課時進行講解,但教師自已在設計教案時要以高觀點選擇例題,為學生可持續(xù)發(fā)展奠定基礎.
過程5 ?教學評一體
通過完成三種水平的數(shù)學題,體現(xiàn)教的生成性、學的深刻性、評的一致性.
課時作業(yè) 1.(基礎)如圖16,∠AOB=30 ° ,C是BO上的一點,CO=4,點P為AO上的一動點,點D為CO上的一動點,則PC+PD的最小值為 ,當PC+PD的值取最小值時,則△OPC的面積為 .
2.(提高)如圖17,已知以AB為直徑的半圓O,C為弧AB上一點,∠ABC=60 ° ,P為弧BC上任意一點,DC⊥CP交AP于D,連接BD,若AB=6,則BD的最小值為 .
3.(拓展)如圖18,在△ABC中,AC=BC=12,∠ACB=120 ° ,點D是AB邊上一點,連接CD,以CD為邊作等邊△CDE,點D在AB邊上移動過程中,連接BE,取BE的中點F,連接CF,DF,過點D作DG⊥AC于點G,將△CFD沿CF翻折得△CFD′,連接BD′,求出BD′的最小值.
對于“教學評一體”的思考
評測是優(yōu)質教育的第一要素.“基于基準的學業(yè)成就評測是以提高教育質量為目標的教育規(guī)劃和改革的基石.”“為了提高教育質量,各國必須確保建立一個基準體系,以確定目前的學習水平和未來的學習目標.”[5]新授課教學應以學生為中心,作為復習課的專題課教學,應以學習為中心的教學目標.前者強調(diào)知識的生成與建構,利于學生學科基本素養(yǎng)的達成,后者強調(diào)知識的深度與廣度,利于學生學業(yè)的進一步發(fā)展.因此評測的題型結構需要與之對應.
教師視角下的數(shù)學課堂評測有四個維度:一是知識維度,以大概念為核心的結構化知識體系;二是能力維度,以關鍵能力為核心,實現(xiàn)路徑是課堂表現(xiàn)與對習題解決提出自己的優(yōu)化策略;三是情境維度,問題情境一般分為簡單良性結構、一般良性結構、復雜良性結構以及劣性結構情境;四是水平維度,指學生對知識能力品格等運用的熟練程度.在過程5中,題1是一般良性結構問題,難度一般;題2是軌跡問題,屬于復雜良性結構,難度偏難;題3是旋轉與對稱變換,屬于劣性結構情境,難度較高.
學習視角下的數(shù)學課堂評測以反思為中心,培養(yǎng)六個方面能力,分別是邏輯思維、質疑批判、問題探究、自我意識、主觀能動以及元認知能力.路徑主要有兩條:一是對知識的構建;二是在現(xiàn)實生活中應用知識,及時回顧與反思解題活動中的不足,正確估計自己已達到的認知水平,評價解題策略,及時調(diào)整.
大單元教學觀不僅需要教師具有良好的業(yè)務素養(yǎng),還要求學生主動建構知識與遷移能力.大單元教學面向學生全體,在現(xiàn)行班級授課制情況下,教學難度面對學生的水平層次有所不同,如有的學校定位于百分之五十左右.因此,以學習為中心的大單元教學中,會有部分學生學習遇到障礙,需要教師做好個性化學法指導. ?3 ?結束語
大單元教學觀下的微專題教學,要求教師從整體單元的視角理解一節(jié)課或一個專題,立足知識系統(tǒng),面向全體學生,培養(yǎng)學生能力,提升學習效率.同時需要教師對學生進行個性化指導,培養(yǎng)其全局觀點,培養(yǎng)良好學習品質,最終形成終身受益的學科素養(yǎng).
參考文獻
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中學數(shù)學雜志(初中版)2022年5期