探究試題規(guī)律 發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美

王尊甫

[摘 要]探究試題背后隱秘的規(guī)律，并將相關(guān)結(jié)論進行推廣，既可以為問題探究提供范式，也可以提高學(xué)生的解題能力。

[關(guān)鍵詞]試題;規(guī)律;探究;數(shù)學(xué)美

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2022）11-0013-03

羅素曾說過，如果正確地看數(shù)學(xué)，它不但擁有真理，而且也具有至高的美。數(shù)學(xué)的美不僅包括外在的形式美和簡潔美，還包括內(nèi)在的抽象美以及隱秘的理性美。

許多圓錐曲線問題中都有著隱秘的結(jié)論和規(guī)律。很多結(jié)論和規(guī)律可以進一步引申和推廣，這也充分體現(xiàn)了圓錐曲線的拓展美和奇異美。

一、試題呈現(xiàn)

（2021年高考全國甲卷理科第20題）拋物線[C]的頂點為坐標(biāo)原點[O]，焦點在[x]軸上，直線[l]：[x=1]交[C]于[P]，[Q]兩點，且[OP⊥OQ]。已知點[M（2， 0）]，且⊙[M]與[l]相切。

（1）求[C]，⊙[M]的方程;

（2）設(shè)[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三個點，直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙[M]相切，判斷直線[A2A3]與⊙[M]的位置關(guān)系，并說明理由。

解：（1）[C]：[y2=x]，⊙[M]：[（x-2）2+y2=1];

（2）設(shè)[A1（a2， a）]，[A2（b2， b）]，[A3（c2， c）]。

當(dāng)[a=±1]或[a=±3]，可證直線[A2A3]與⊙[M]相切。

當(dāng)[a≠±1]且[a≠±3]時，

則直線[A1A2]：[y=1a+b（x-a2）+a]，

[A1A3]：[y=1a+c（x-a2）+a]，

[A2A3]：[y=1b+c（x-b2）+b]。

因為直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙[M]相切，

所以點[M（2， 0）]到[A1A2]，[A1A3]兩直線的距離均相等，且距離為[1]。

即[2+ab1+（a+b）2=2+ac1+（a+c）2=1]，

可知[b]，[c]是方程[2+ax1+（a+x）2=1]的兩個不等根，

即[b]，[c]是方程[（a2-1）x2+2ax+3-a2=0]的兩個不等根，

所以[b+c=-2aa2-1]， [bc=3-a2a2-1]。

則點[M（2， 0）]到直線[A2A3]的距離為

[2+bc1+（b+c）2=1+a2a2-11+-2aa2-12=1+a2（1+a2）2=1]，

因此，直線[A2A3]與⊙[M]也相切。

二、提出問題

培養(yǎng)學(xué)生的問題探究意識是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要方面，它對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)有著重要的意義，有助于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的能力，有助于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新能力。

問題求解之后，筆者與學(xué)生進行了交流。學(xué)生對解題思路轉(zhuǎn)化印象深刻，并驚訝于結(jié)果的奇異美。學(xué)生不約而同地提出了一個問題：該圓是不是隨意設(shè)定的，其圓心位置和半徑有無必然的聯(lián)系？

筆者引導(dǎo)學(xué)生利用GeoGebra軟件輔助研究。學(xué)生對⊙[M]的圓心和半徑分別進行了調(diào)整，發(fā)現(xiàn)直線[A2A3]與⊙[M]不再相切，這表明⊙[M]：[（x-2）2+y2=14]的設(shè)定是基于某種隱秘的規(guī)律，它與拋物線肯定存在著某種聯(lián)系。

三、問題探究

基于學(xué)生的能力基礎(chǔ)，筆者將⊙[M]設(shè)定為圓心在拋物線軸上的圓，并提出問題：

設(shè)拋物線[C]：[y2=2px（p>0）]，已知⊙[M]：[（x-x0）2+y2=R2（R>0）]，設(shè)[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三個點。若⊙[M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓，試分析[x0]與[R]應(yīng)滿足的關(guān)系。

我們不妨先借助圖像的對稱性，由特殊位置入手探究。

當(dāng)[A1]為坐標(biāo)原點時，則必有[A2]，[A3]關(guān)于[x]軸對稱。

不妨設(shè)直線[A1A2]的方程為[x=my]，

與拋物線[C]：[y2=2px（p>0）]方程聯(lián)立得[y2=2pmy]。

因為⊙[M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓，所以點[M]到直線[A1A2]，[A2A3]的距離均為[R]，

即[R=x01+m2=2pm2-x0]，

整理得[x0=R22p+R]。

下面證明當(dāng)⊙[M]的半徑為[R]，圓心為[R22p+R， 0]時，⊙[M]是拋物線的內(nèi)接三角形[△A1A2A3]的內(nèi)切圓。

設(shè)[A1a22p， a]，[A2b22p， b]，[A3c22p， c]，

則直線[A1A2]：[y=2pa+bx+aba+b]，

[A1A3]：[y=2pa+cx+aca+c]，

[A2A3]：[y=2pb+cx+bcb+c]。

當(dāng)直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙[M]相切時，

點[MR22p+R， 0]到兩直線的距離均相等，且距離為[R]。

即[R2+2pR+ab4p2+（a+b）2=R2+2pR+ac4p2+（a+c）2=R]，

可知[b]，[c]是方程[R2+2pR+ax4p2+（a+x）2=R]的兩個不等根，

即[b]，[c]是方程[（a2-R2）x2+4pRax+R4+4pR3-a2R2=0]的兩個不等根，

所以[b+c=-4pRaa2-R2]， [bc=R4+4pR3-a2R2a2-R2]。

則點[MR22p+R， 0]到直線[A2A3]的距離為[R2+2pR+bc4p2+（b+c）2=R2+2pR+R4+4pR3-a2R2a2-R24p2+4pRaa2-R22=R（a2+R2）（a2+R2）2=R]。

于是，直線[A2A3]與⊙[M]也相切。

綜上，[x0]與[R]應(yīng)滿足[x0=R22p+R]。

基于此，可得到以下結(jié)論。

結(jié)論1 設(shè)拋物線[C]：[y2=2px（p>0）]，已知[⊙M]：[（x-x0）2+y2=R2（R>0）]，設(shè)[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三個點，若⊙[M]是[△A1A2A3]的內(nèi)切圓，則必有[x0=R22p+R]。

四、揭示本源

從以上探究過程可以發(fā)現(xiàn)，只要⊙[M]是拋物線[C]某一內(nèi)接三角形[MNP]的內(nèi)切圓，那么就必定滿足：設(shè)[A1]，[A2]，[A3]是[C]上的三個點，直線[A1A2]，[A1A3]均與⊙[M]相切，那么直線[A2A3]與⊙[M]必定也相切。

結(jié)論2 已知拋物線[C]：[y2=2px（p>0）]，動點[A（x1， y1）]在拋物線上，由點[A]引拋物線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交拋物線于點[B]，[C]，則直線[BC]必與該圓相切。

如果推廣到橢圓和雙曲線，也有類似的結(jié)論。

結(jié)論3 已知橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，動點[A（x1， y1）]在橢圓上，由點[A]引橢圓某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交橢圓于點[B]，[C]，則直線[BC]必與該圓相切。

[例題]已知橢圓[C]：[x24+y2=1]，點[A]，[M]，[N]在橢圓上，且點[A]是橢圓的左頂點，點[M]，[N]關(guān)于[x]軸對稱。若圓[E]：[x2+y2=r2（r>0）]是[△AMN]的內(nèi)切圓。

（1）求[r];

（2）點[P（x0， y0）]是橢圓上任意一點，由點[P]引圓[E]的兩條切線分別交橢圓于點[S]，[T]，則直線[ST]必與圓[E]也相切。

解析：（1）由題意知，點[A（-2， 0）]，設(shè)[M（r， yM）]，則[r2+4yM2=4]，

且原點[O]到直線[AM]的距離為[r]，因此有[yM2+r=r4-r2]，

兩式聯(lián)立得[r=23]。

（2）點[P（x0， y0）]是橢圓上任意一點，故[x204+y20=1]，設(shè)[S（x1， y1）]，[T（x2， y2）]。

當(dāng)直線[PS]，[PT]斜率均存在時，設(shè)直線[PS]：[y=k1（x-x0）+y0]，直線[PT]：[y=k2（x-x0）+y0]。

因為直線[PS]，[PT]均與圓[E]：[x2+y2=49]相切，故原點到兩條直線的距離均為[23]。

于是有[y0-kx01+k2=23]，即[（9x20-4）k2-18x0y0k+9y20-4=0]，

則[k1]，[k2]為該方程的兩個不等根，因此[k1+k2=18x0y09x20-4]， [k1k2=9y20-49x20-4]。

將直線[PS]與橢圓[C]：[x24+y2=1]聯(lián)立，

得[（1+4k21）x2+8k1（y0-k1x0）x+4（y0-k1x0）2-4=0]，

于是[x0+x1=8k1（k1x0-y0）1+4k21]，解得[x1=（4k21-1）x0-8k1y01+4k21]，

代入直線[PS]方程得[y1=-2k1x0-（4k21-1）y01+4k12];

同理，可得[x2=（4k22-1）x0-8k2y01+4k22]，[y2=-2k2x0-（4k22-1）y01+4k22]，

因此，直線[MN]的斜率[kMN=y1-y2x1-x2=-14×x1+x2y1+y2]，將上式代入可得[kMN=-x02y0]。

于是，直線[MN]的方程為[y=-x02y0（x-x1）+y1]。

原點到直線[MN]的距離為[d=x0x1+2y0y1x20+4y20=x0x1+2y0y12]，

將[x1=（4k21-1）x0-8k1y01+4k21]，[y1=-2k1x0-（4k21-1）y01+4k21]，

以及[（9x20-4）k21-18x0y0k1+9y20-4=0]代入，

可得[d=-（1+2k21）（x20+4y20）+83k21+832（1+4k21）=163k21+432（1+4k21）=23]。

因此，直線[ST]與圓[E]也相切。

本題的第（1）問以橢圓中的特殊位置開啟思路，以圖形的對稱性為切入點，形成簡潔的求解思路。第（2）問則將特殊位置推廣至一般位置，以探究引發(fā)學(xué)生深度思考，進而揭示其中隱秘的規(guī)律。

如果繼續(xù)深入探究，可得到：

若圓[O]：[x2+y2=r2（r>0）]是橢圓[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓，則必有[r=aba+b]。

結(jié)論4 已知雙曲線[C]：[x2a2-y2b2=1（a>0， b>0）]，動點[A（x1， y1）]在雙曲線上，由點[A]引雙曲線某內(nèi)接三角形的內(nèi)切圓的切線分別交雙曲線于點[B]，[C]，則直線[BC]必與該圓相切。

五、總結(jié)反思

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)美，運用數(shù)學(xué)美的感染力，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動性和積極性，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進學(xué)生理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成知識的有序結(jié)構(gòu)和解題方法體系，還可以激發(fā)學(xué)生對真和美的追求，陶冶學(xué)生的思想情操，培養(yǎng)學(xué)生的進取精神。教師應(yīng)充分挖掘美育素材，抓住有利時機來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)審美能力。

在本文中，筆者從一道高考題出發(fā)，經(jīng)過大膽的猜想與嚴謹?shù)那笞C，最終得到了題目背后隱秘的規(guī)律，感悟到圓錐曲線結(jié)論中的奇異美與統(tǒng)一美，這正是數(shù)學(xué)探究的魅力。

教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的發(fā)展規(guī)律和認知能力，幫助學(xué)生實現(xiàn)經(jīng)問題的合情推理步入深度的數(shù)學(xué)探究，進而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在這個過程中，我們可以清晰地看到，學(xué)生在以“美”為感性追求的活動中逐步形成了對“真”的理性追求。

[? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?]

[1]? 波利亞.怎樣解題[M].涂弘，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?，2002.

（責(zé)任編輯 黃桂堅）