數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在解析幾何中的考查分析

阮金鋒 趙祥枝

摘? 要：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是高考中考查的重要目標(biāo). 解析幾何是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體. 以2021年全國新高考Ⅰ卷第21題為例，探討數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在解析幾何中的考查，提出備考啟示，優(yōu)化備考復(fù)習(xí).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；解析幾何；考查分析；備考復(fù)習(xí)

一、問題提出

解析幾何的特點(diǎn)是用代數(shù)的方法研究幾何問題，解決解析幾何問題的根本方法為坐標(biāo)法，具體表現(xiàn)為：面對一個(gè)幾何問題時(shí)，應(yīng)該充分挖掘幾何對象的幾何特征，并將其轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式，通過代數(shù)運(yùn)算得到一個(gè)代數(shù)結(jié)果，并將其翻譯成幾何結(jié)論.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程. 數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等.

解析幾何中的數(shù)學(xué)運(yùn)算，是考慮解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，借助幾何條件和圖形性質(zhì)，為解決幾何問題而進(jìn)行的運(yùn)算，而不是純代數(shù)運(yùn)算. 如何在解析幾何中考查學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)是個(gè)值得思考與關(guān)注的課題. 筆者認(rèn)為，解析幾何中的運(yùn)算素養(yǎng)考查，應(yīng)該將解析幾何的特點(diǎn)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的表現(xiàn)形式有機(jī)結(jié)合. 為此，文章以2021年全國新高考Ⅰ卷第21題為例，探討數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在解析幾何中的考查，提出備考啟示，優(yōu)化備考復(fù)習(xí).

二、考查分析

題目? 在平面直角坐標(biāo)系[xOy]中，已知點(diǎn)[F1-17，0，][F217，0， MF1-MF2=2，] 點(diǎn)[M]的軌跡為[C.]

（1）求[C]的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)[T]在直線[x=12]上，過[T]的兩條直線分別交[C]于[A，B]兩點(diǎn)和[P，Q]兩點(diǎn)，且[TA · TB=][TP · TQ，] 求直線[AB]的斜率與直線[PQ]的斜率之和.

此題為2021年全國新高考Ⅰ卷解析幾何壓軸題，以雙曲線為載體，考查雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程，以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng). 此題學(xué)生得分較低，特別是第（2）小題，學(xué)生表現(xiàn)為想不到、消不去、算不對. 第（2）小題該如何尋找解題突破口？文章從數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)視角，結(jié)合解析幾何的學(xué)科特點(diǎn)，進(jìn)行考查分析.

1. 基于理解運(yùn)算對象的考查

解析幾何中的運(yùn)算對象通常是點(diǎn)和線所對應(yīng)的坐標(biāo)與方程，以及長度、角度、面積等幾何量. 因此，在理解解析幾何問題的考查對象時(shí)，應(yīng)該關(guān)注已知條件中的點(diǎn)和線，哪些是已知的、哪些是動態(tài)的；關(guān)注點(diǎn)的坐標(biāo)、線的方程；關(guān)注點(diǎn)與線、線與線之間的位置關(guān)系.

此題中涉及的數(shù)學(xué)對象有點(diǎn)[T，A，B，P，Q，] 直線[x=12，] 直線[AB，PQ，] 雙曲線[x2-y216=1 x≥1，] 以及[TA ? TB=TP ? TQ.] 其中，點(diǎn)[T，A，B，P，Q]是動點(diǎn)，直線[AB，PQ]為動直線. 在這些變化的量中，要關(guān)注到點(diǎn)[T]起主導(dǎo)作用，點(diǎn)[T]是直線[x=12]上的動點(diǎn)，其他點(diǎn)和直線都隨著點(diǎn)[T]的變化而變化. 當(dāng)點(diǎn)[T]變化時(shí)，直線[AB，PQ]也隨之變化，[kAB，kPQ]也在變化，而目標(biāo)中的[kAB+kPQ]的值是否變化？在解題中，對這個(gè)問題的思考能考查學(xué)生是否能夠動態(tài)地理解數(shù)學(xué)運(yùn)算對象，是否具有解決問題的策略：先猜想再驗(yàn)證. 將點(diǎn)[T]特殊化，當(dāng)點(diǎn)[T]在[x]軸上時(shí)，由對稱性，很容易得到[kAB+kPQ=0，] 并進(jìn)行猜想. 先特殊探路，再一般驗(yàn)證，為繁雜的計(jì)算提供了方向.

2. 基于探究運(yùn)算思路的考查

解析幾何中的運(yùn)算思路表現(xiàn)為：（1）坐標(biāo)化，即把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，通過方程運(yùn)算來解決問題；（2）數(shù)形互助，即由形啟數(shù)，尋找運(yùn)算的目標(biāo)、思路和方法，再借助數(shù)對形進(jìn)行定量研究和精準(zhǔn)分析. 解決問題前，還應(yīng)該考慮哪個(gè)點(diǎn)是主導(dǎo)點(diǎn)；哪條線是主導(dǎo)線；設(shè)什么，求什么；用單參還是雙參對點(diǎn)或線進(jìn)行表征；設(shè)線采用一般方程還是參數(shù)方程，正設(shè)還是反設(shè)；先求什么，后求什么；是否需要設(shè)而不求.

此題基于探究運(yùn)算思路的考查表現(xiàn)為：怎樣將幾何條件[TA · TB=TP · TQ]坐標(biāo)化；如何分析[TA ·][TB=TP · TQ]的結(jié)構(gòu)特征；如何對[TA · TB=TP ·][TQ]進(jìn)行不同表征. 從不同視角探究[TA · TB=TP ·][TQ，] 能得到不同的運(yùn)算思路.

解法1：（距離視角）設(shè)點(diǎn)[T12，m，] 若過點(diǎn)[T]的直線的斜率不存在，此時(shí)該直線與曲線[C]無公共點(diǎn).

若過點(diǎn)[T]的直線的斜率存在，不妨設(shè)直線[AB]的方程為[y-m=k1x-12，] 則[y=k1x+m-12k1.]

聯(lián)立[y=k1x+m-12k1，16x2-y2=16，] 消去[y]并整理，得

[k12-16x2+k12m-k1x+m-12k12+16=0.]

設(shè)點(diǎn)[Ax1，y1，Bx2，y2 x1>1，x2>1，]

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

[x1+x2=k12-2k1mk12-16，x1x2=m-12k12+16k12-16.]

所以[TA · TB=1+k12 · x1-12 · x2-12=1+k12 ·][x1x2-x1+x22+14=m2+121+k12k12-16.]

設(shè)直線[PQ]的斜率為[k2，]

同理可得[TP · TQ=m2+121+k22k22-16.]

因?yàn)閇TA · TB=TP · TQ，]

所以[m2+121+k12k12-16=m2+121+k22k22-16.]

整理，得[k12=k22，]

即[k1-k2k1+k2=0.]

顯然，[k1-k2≠0.]

所以[k1+k2=0].

所以直線[AB]與直線[PQ]的斜率之和為[0].

【評析】將幾何關(guān)系[TA · TB=TP · TQ]中的[TA，][TB， TP， TQ]看成4個(gè)距離，進(jìn)行坐標(biāo)化. 具體地，考慮到點(diǎn)[T]在這些點(diǎn)的變化中起主導(dǎo)作用，故將點(diǎn)[T]定為主導(dǎo)點(diǎn)，直線[AB]定為主導(dǎo)線，設(shè)點(diǎn)[T12，m，] 直線[AB：y-m=k1x-12，] 并引入雙參[m，k1.] 聯(lián)想弦長公式，先表示出[TA · TB，] 再根據(jù)對稱結(jié)構(gòu)，同理表示出[TP · TQ.] 結(jié)合設(shè)而不求思想，借助根與系數(shù)的關(guān)系解決問題. 此思路計(jì)算量較大，如果能像前文所說的動態(tài)理解運(yùn)算對象，猜想出[kAB+kPQ=0，] 可為消元提供方向.

解法2：（向量視角）前同解法1.

[TA · TB=TA ? TB=x1-12x2-12+y1-my2-m=]

[1+k12x1x2-12x1+x2+14=m2+121+k12k12-16.]

設(shè)直線[PQ]的斜率為[k2，]

同理可得[TP · TQ=TP ? TQ=m2+121+k22k22-16.]

下同解法1.

【評析】以向量視角，對[TA · TB=TP · TQ]進(jìn)行向量表征，用向量的數(shù)量積求解. 向量表征是解析幾何運(yùn)算對象表征的一大視角. 借助向量工具，將幾何問題代數(shù)化，可以較好地解決問題.

解法3：（參數(shù)方程視角）設(shè)[T12，m，] 直線[AB]的參數(shù)方程為[x=12+tcosα，y=m+tsinα]（[t]為參數(shù)，[α]為直線AB的傾斜角），將直線的參數(shù)方程代入雙曲線方程，得

[16cos2α-sin2αt2+16cosα-2msinαt-m2+12=0.]

由直線參數(shù)方程的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系，得

[TA · TB=t1t2=m2+12sin2α-16cos2α.]

因?yàn)辄c(diǎn)[A，B]在點(diǎn)[T]的同側(cè)，

所以[t1t2>0.]

同理，[TP · TQ=m2+12sin2β-16cos2β]（[β]為直線[PQ]的傾斜角）.

由[TA · TB=TP · TQ，] 得

[m2+12sin2α-16cos2α=m2+12sin2β-16cos2β.]

化簡，得[cos2α=cos2β.]

因?yàn)閇cosα≠cosβ，]

所以[α+β=π.]

所以[k1+k2=0.]

【評析】從參數(shù)方程視角，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，對[TA · TB=TP · TQ]進(jìn)行表征. 參數(shù)方程是研究曲線方程的基本工具，是表示曲線的另一種形式，它彌補(bǔ)了普通方程在表示曲線方面的不足，簡化了運(yùn)算.

觀察[TA · TB=TP · TQ，] 發(fā)現(xiàn)其與平面幾何中圓冪定理的形式相同，將[TA · TB=TP · TQ]表征為切割線定理，確定點(diǎn)[A，B，P，Q]四點(diǎn)共圓. 進(jìn)而重新構(gòu)建運(yùn)算程序，借助圓的一般方程的代數(shù)特征進(jìn)行運(yùn)算推理，利用曲線系方程，得到解法4.

解法4：（四點(diǎn)共圓視角）設(shè)[T12，m，] 直線[AB]的方程為[y=k1x-12+m，] 即[k1x-y-12k1+m=0，] 直線[PQ]的方程為[y=k2x-12+m，] 即[k2x-y-12k2+][m=0，]

則過點(diǎn)[A，B，P，Q]的二次曲線方程為[k1x-y-12k1+m ·][k2x-y-12k2+m+λ16x2-y2-16=0.]

因?yàn)閇TA · TB=TP · TQ，]

所以[A，B，P，Q]四點(diǎn)共圓.

所以方程[k1x-y-12k1+mk2x-y-12k2+m+λ ·][16x2-y2-16=0]表示過[A，B，P，Q]的圓.

所以方程中[xy]的系數(shù)和應(yīng)該為0，

即[k1+k2=0.]

【評析】以四點(diǎn)共圓為視角進(jìn)行表征，利用曲線系方程，結(jié)合圓的方程的特征：方程中[xy]的系數(shù)和應(yīng)該為0，巧妙地解決了問題.

3. 基于優(yōu)化運(yùn)算方法的考查

重新審視解法1的思維過程，發(fā)現(xiàn)所設(shè)的直線[AB]的方程為[y-m=k1x-12，] 其中包含[x-12，] 而所求數(shù)學(xué)表達(dá)式[TA · TB=1+k12x1-12x2-12]中包含[x1-12]和[x2-12，] 調(diào)整運(yùn)算程序，利用整體代換思想，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于[x-12]的二次方程，則所求結(jié)果即為兩根之積，進(jìn)而快速求解.

解法5：（整體代換）根據(jù)弦長公式，有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

聯(lián)立[y-m=k1x-12，16x2-y2=16，] 整理，得

[16-k12x-122+16-2k1mx-12-m2-12=0.]

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

[x1-12x2-12=m2+12k12-16>0.]

所以[TA · TB=1+k12?x1-12x2-12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

重新審視解法1的思維過程，發(fā)現(xiàn)[x1，x2]是方程[x2-116k1x-12+m2-1=0]的兩根. 令[fx=x2-116 ·][k1x-12+m2-1，] 則[fx=1-k2116x-x1x-x2.] 將其與[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12]的結(jié)構(gòu)進(jìn)行對照，可用賦值法，令[x=12，] 則[f12=1-k121612-x1 ·][12-x2.] 使兩式產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，進(jìn)而得解.

解法6：（賦值代換）由弦長公式，有

[TA · TB=1+k12x1-12x2-12.]

聯(lián)立[y-m=k1x-12，16x2-y2=16，] 整理，得

[x2-116k1x-12+m2-1=0.]

令[fx=x2-116k1x-12+m2-1，] [x1，x2]是[fx]的兩個(gè)零點(diǎn)，

則[fx=1-k1216x-x1x-x2.]

所以[f12=1-k1216 · 12-x112-x2.]

所以[TA · TB=1+k21?x1-12x2-12=161+k1216-k12 ?][f12=1+k12m2+12k12-16.]

下同解法1.

三、復(fù)習(xí)啟示

解析幾何是考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是解決高考解析幾何壓軸題的關(guān)鍵. 通過前面的分析，對于如何讓數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)在復(fù)習(xí)教學(xué)中落地，提出以下幾點(diǎn)備考建議.

1. 關(guān)注運(yùn)算對象，理解解析幾何

在解題教學(xué)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生對試題進(jìn)行分析，從具體情境中提取數(shù)學(xué)對象，有意識地讓學(xué)生關(guān)注運(yùn)算對象、分析數(shù)學(xué)對象，并分別從已知與未知、幾何與代數(shù)等角度理解運(yùn)算對象，關(guān)注運(yùn)算對象的變與不變，適當(dāng)時(shí)可進(jìn)行從特殊到一般的路徑探究. 理解解析幾何的本質(zhì)特征——幾何直觀、幾何問題代數(shù)化等，并對運(yùn)算對象進(jìn)行分析轉(zhuǎn)化，探究運(yùn)算思路. 筆者認(rèn)為，通過對問題不斷強(qiáng)化，鞏固學(xué)生的解題意識，能循序漸進(jìn)地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

2. 關(guān)注運(yùn)算思路，探究多種解法

在解題教學(xué)中，教師要注重從學(xué)生的認(rèn)知出發(fā)，有意識地讓學(xué)生關(guān)注運(yùn)算思路，用多種視角表征數(shù)學(xué)對象，充分調(diào)動學(xué)生的活動經(jīng)驗(yàn)、解題經(jīng)驗(yàn)，利用幾何直觀，對運(yùn)算對象進(jìn)行轉(zhuǎn)化、坐標(biāo)化，探究通性、通法，探究多種解法. 探究各種解法的解題切入點(diǎn)，解題過程中的利與弊，以及各種解法的關(guān)聯(lián). 不斷總結(jié)歸納表征途徑（幾何、代數(shù)、三角、向量等），探究一題多解、多解歸一的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)會一題、通一類，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3. 關(guān)注運(yùn)算策略，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算

在解題教學(xué)中，教師應(yīng)該認(rèn)真分析學(xué)生在解題過程中“卡頓”的原因，有意識地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注運(yùn)算策略，優(yōu)化運(yùn)算路徑和求解過程. 引導(dǎo)學(xué)生做到定性明方向、定量求準(zhǔn)確；引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，關(guān)注運(yùn)算結(jié)構(gòu)，充分利用消元思想優(yōu)化運(yùn)算，較好地解決問題. 引導(dǎo)學(xué)生做好解后反思，總結(jié)優(yōu)化運(yùn)算的途徑與方法，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

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收稿日期：2022-08-22

作者簡介：阮金鋒（1979— ），男，一級教師，主要從事高中數(shù)學(xué)教育與解題研究.